104 : Nombres premiers. Prérequis : Bézout, Gauss, indicatrice d’Euler ϕ On considèrera uniquement les nombres premiers positifs. II- Propriétés III- Applications I- Définitions et exemples Prop : On a équivalence entre : (i) p ∈ P. (ii) Z/pZ est un corps. (iii) Z/pZ est intègre. Th : Soit p ∈ P, p est somme de 2 carrés ssi p = 2 ou p ≡ 1 (mod 4). Per p. 57 (Nécessite : si A principal alors p irred ⇔ (p) premier que l’on peut trouver dans X-ENS p. 93 ) Déf : p ∈ N est premier s’il a exactement 2 diviseur : 1 et p. Dans le cas contraire on dit qu’il est composé. On note P l’ensemble des nombres premiers. Prop : Soit un entier composé n > 2 alors il existe √ p ∈ P tel que p|n et p 6 n Appli : Crible d’Eratosthène. Appli : La caractéristique d’un anneau unitaire intègre est 0 ou p ∈ P Gd p. 30 √ Exo :(p1 , . . . , pn ) ∈ Pn 2 à 2distincts p1 . . . pn ∈ 6 Q Cryptographie (RSA) : p, q ∈ P distincts. n = pq. Si cd ≡ 1 (mod ϕ(n)) alors ∀t ∈ Z tcd ≡ t (mod n) Gd p. 34 Th de Fermat : Si p ∈ P, ϕ(p) = p − 1 et donc ∀a ∈ Z, p 6 |a ⇒ ap−1 ≡ 1 (mod p) Récip. fausse : nbr de Carmichael 561 = 3.11.17 Critère d’Eisenstein : P ∈ Z[X], P (X) = n P ak X k . k=0 Prop : Card(P) = +∞ Th (fond. de l’arith.) : Tout n ∈ N∗ \{1} s’écrit de manière unique à l’ordre près : n = pα1 1 . . . pαk k avec : ∀i pi ∈ P, αi ∈ N∗ . Appli : Gd p. 31 + Per p. 74 Si p ∈ P alors (Z/pZ)∗ ' Z/(p − 1)Z (cyclique) Th (Wilson) : p ∈ P ⇐⇒ (p − 1)! ≡ −1 (mod p) Gd p. 9, X-ENS p. 128 Appli : PGCD et PPCM de deux entiers. Exo : Mq les nombres premiers p ≡ −1 (mod 6) sont infinis. Gd p.13 Même chose avec p ≡ 3 (mod 4). X-ENS p.134 Exemples : Gd p. 11 Nombres de Mersenne : an − 1 ∈ P ⇒ a = 2, n ∈ P Réciproque fausse : 211 − 1 = 23 × 89. On ne sait pas s’il y en a une infinité. Nombres de Fermat : 2m +1 ∈ P ⇒ ∃n ∈ N, m = 2n 5 n=0,1,2,3,4 Ok.Récip fausse : 641|22 + 1 On ne sait même pas s’il y en a d’autre premier. Exo : 1) 2 < p ∈ P. Mq −1 est un carré dans Z/pZ ssi p ≡ 1 (mod 4). 2) En déduire qu’il existe une infinité de nbr premier p ≡ 1 (mod 4). Gd p. 37 Exo : Soit la suite (pn )n≥1 = P. Pcroissante 1 1) Montrer que diverge. pn Si (∃p ∈ P) p|ak k = 0, 1, ..., n − 1; p 6 |an ; p2 6 |a0 alors P est irreductible sur Q[X] Gd p. 58 Th. Cauchy (groupes finis) : Soit G un groupe fini et p ∈ P. Si p|Card(G) alors G contient un élément d’ordre p. Gd p. 27 Prop : Le centre d’un p-groupe est non trivial. Appli : Les groupes d’ordre p2 , p ∈ P sont abéliens. Gd p. 27 n≥1 2) Déduire que Card{p ∈ P; p 6 n} = π(n) = o(n) X-ENS (analyse) p. 153 Théorèmes admis : th. des nbres premiers : π(x) ∼ lnxx th. Dirichlet : a ∧ b = 1 =⇒ (∃∞p ∈ P) p = an + b th. Tchebychev : (∀n > 2)(∃p ∈ P) n < p < 2n José Gregorio : http://agregorio.net