104 : Nombres premiers.
Pr´erequis : B´ezout, Gauss, indicatrice d’Euler ϕ
On consid`erera uniquement les nombres premiers
positifs.
I- D´efinitions et exemples
D´ef : pNest premier s’il a exactement 2
diviseur : 1 et p. Dans le cas contraire on dit qu’il
est compos´e. On note Pl’ensemble des nombres
premiers.
Prop : Soit un entier compos´e n>2 alors il existe
pPtel que p|net p6n
Appli : Crible d’Eratosth`ene.
Prop : Card(P) = +
Th (fond. de l’arith.) : Tout nN\{1}s’´ecrit
de mani`ere unique `a l’ordre pr`es : n=pα1
1. . . pαk
k
avec : i piP, αiN.
Appli : PGCD et PPCM de deux entiers.
Exo : Mq les nombres premiers p≡ −1 (mod 6)
sont infinis. Gd p.13
Mˆeme chose avec p3 (mod 4). X-ENS p.134
Exemples : Gd p. 11
Nombres de Mersenne : an1Pa= 2, n P
R´eciproque fausse : 211 1 = 23 ×89.
On ne sait pas s’il y en a une infinit´e.
Nombres de Fermat : 2m+1 P⇒ ∃nN, m = 2n
n=0,1,2,3,4 Ok.R´ecip fausse : 641|225+ 1
On ne sait mˆeme pas s’il y en a d’autre premier.
II- Propri´et´es
Prop : On a ´equivalence entre :
(i)pP.
(ii)Z/pZest un corps.
(iii)Z/pZest int`egre.
Appli : La caract´eristique d’un anneau unitaire
int`egre est 0 ou pPGd p. 30
Exo :(p1, . . . , pn)Pn2 `a 2distincts p1. . . pn6∈ Q
Th de Fermat : Si pP, ϕ(p) = p1 et donc
aZ, p 6 |aap11 (mod p)
R´ecip. fausse : nbr de Carmichael 561 = 3.11.17
Appli : Gd p. 31 + Per p. 74
Si pPalors (Z/pZ)'Z/(p1)Z(cyclique)
Th (Wilson) : pP(p1)! ≡ −1 (mod p)
Gd p. 9, X-ENS p. 128
Exo :
1) 2 < p P. Mq 1 est un carr´e dans Z/pZssi
p1 (mod 4).
2) En d´eduire qu’il existe une infinit´e de nbr pre-
mier p1 (mod 4). Gd p. 37
Exo : Soit la suite croissante (pn)n1=P.
1) Montrer que P
n1
1
pndiverge.
2) D´eduire que Card{pP;p6n}=π(n) = o(n)
X-ENS (analyse) p. 153
Th´eor`emes admis :
th. des nbres premiers : π(x)x
ln x
th. Dirichlet : ab=1=(∃∞pP)p=an +b
th. Tchebychev : (n>2)(pP)n < p < 2n
III- Applications
Th : Soit pP,pest somme de 2 carr´es ssi p= 2
ou p1 (mod 4). Per p. 57
(N´ecessite : si A principal alors pirred (p) pre-
mier que l’on peut trouver dans X-ENS p. 93 )
Cryptographie (RSA) : p, q Pdistincts. n=pq.
Si cd 1 (mod ϕ(n)) alors tZtcd t(mod n)
Gd p. 34
Crit`ere d’Eisenstein : PZ[X], P (X) =
n
P
k=0
akXk.
Si (pP)p|akk= 0,1, ..., n 1; p6 |an;p26 |a0
alors Pest irreductible sur Q[X]
Gd p. 58
Th. Cauchy (groupes finis) : Soit Gun groupe fini
et pP. Si p|Card(G) alors Gcontient un ´el´ement
d’ordre p.
Gd p. 27
Prop : Le centre d’un p-groupe est non trivial.
Appli : Les groupes d’ordre p2, p Psont ab´eliens.
Gd p. 27
Jos´e Gregorio : http://agregorio.net
1
1 / 1 100%
La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !