104 : Nombres premiers

104 : Nombres premiers.
Pr´erequis : B´ezout, Gauss, indicatrice d’Euler ϕ
On consid`erera uniquement les nombres premiers
positifs.
I- D´efinitions et exemples
D´ef : p∈Nest premier s’il a exactement 2
diviseur : 1 et p. Dans le cas contraire on dit qu’il
est compos´e. On note Pl’ensemble des nombres
premiers.
Prop : Soit un entier compos´e n>2 alors il existe
p∈Ptel que p|net p6√n
Appli : Crible d’Eratosth`ene.
Prop : Card(P) = +∞
Th (fond. de l’arith.) : Tout n∈N∗\{1}s’´ecrit
de mani`ere unique `a l’ordre pr`es : n=pα1
1. . . pαk
k
avec : ∀i pi∈P, αi∈N∗.
Appli : PGCD et PPCM de deux entiers.
Exo : Mq les nombres premiers p≡ −1 (mod 6)
sont infinis. Gd p.13
Mˆeme chose avec p≡3 (mod 4). X-ENS p.134
Exemples : Gd p. 11
Nombres de Mersenne : an−1∈P⇒a= 2, n ∈P
R´eciproque fausse : 211 −1 = 23 ×89.
On ne sait pas s’il y en a une infinit´e.
Nombres de Fermat : 2m+1 ∈P⇒ ∃n∈N, m = 2n
n=0,1,2,3,4 Ok.R´ecip fausse : 641|225+ 1
On ne sait mˆeme pas s’il y en a d’autre premier.
II- Propri´et´es
Prop : On a ´equivalence entre :
(i)p∈P.
(ii)Z/pZest un corps.
(iii)Z/pZest int`egre.
Appli : La caract´eristique d’un anneau unitaire
int`egre est 0 ou p∈PGd p. 30
Exo :(p1, . . . , pn)∈Pn2 `a 2distincts √p1. . . pn6∈ Q
Th de Fermat : Si p∈P, ϕ(p) = p−1 et donc
∀a∈Z, p 6 |a⇒ap−1≡1 (mod p)
R´ecip. fausse : nbr de Carmichael 561 = 3.11.17
Appli : Gd p. 31 + Per p. 74
Si p∈Palors (Z/pZ)∗'Z/(p−1)Z(cyclique)
Th (Wilson) : p∈P⇐⇒ (p−1)! ≡ −1 (mod p)
Gd p. 9, X-ENS p. 128
Exo :
1) 2 < p ∈P. Mq −1 est un carr´e dans Z/pZssi
p≡1 (mod 4).
2) En d´eduire qu’il existe une infinit´e de nbr pre-
mier p≡1 (mod 4). Gd p. 37
Exo : Soit la suite croissante (pn)n≥1=P.
1) Montrer que P
n≥1
1
pndiverge.
2) D´eduire que Card{p∈P;p6n}=π(n) = o(n)
X-ENS (analyse) p. 153
Th´eor`emes admis :
th. des nbres premiers : π(x)∼x
ln x
th. Dirichlet : a∧b=1=⇒(∃∞p∈P)p=an +b
th. Tchebychev : (∀n>2)(∃p∈P)n < p < 2n
III- Applications
Th : Soit p∈P,pest somme de 2 carr´es ssi p= 2
ou p≡1 (mod 4). Per p. 57
(N´ecessite : si A principal alors pirred ⇔(p) pre-
mier que l’on peut trouver dans X-ENS p. 93 )
Cryptographie (RSA) : p, q ∈Pdistincts. n=pq.
Si cd ≡1 (mod ϕ(n)) alors ∀t∈Ztcd ≡t(mod n)
Gd p. 34
Crit`ere d’Eisenstein : P∈Z[X], P (X) =
n
P
k=0
akXk.
Si (∃p∈P)p|akk= 0,1, ..., n −1; p6 |an;p26 |a0
alors Pest irreductible sur Q[X]
Gd p. 58
Th. Cauchy (groupes finis) : Soit Gun groupe fini
et p∈P. Si p|Card(G) alors Gcontient un ´el´ement
d’ordre p.
Gd p. 27
Prop : Le centre d’un p-groupe est non trivial.
Appli : Les groupes d’ordre p2, p ∈Psont ab´eliens.
Gd p. 27
Jos´e Gregorio : http://agregorio.net
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