TD 1 Arithmétique.

ESTIA UNIV
08.10.08
TD 1
Arithmétique.
1.Division euclidienne dans Z, identité de Bezout et applications.
Exercice 1 :
(1) Soit n un entier naturel. Effectuer la division euclidienne de 3n + 1 par 2n.
(2) Est-ce que 3n + 1 et 2n sont premiers entre eux ?
Exercice 2 : Résolution d’équations diophantiennes.
(0) Calculer le pgcd de 270 et 105 et trouver un couple (u,v) d’entiers réalisant l’identité de Bezout entre ces deux nombres en utilisant l’algorithme d’Euclide
étendu.
(1) Même question pour les nombres 41 et 11.
(2) Déterminer l’ensemble des couples (x,y) de Z2 tels que :
11x+41y=4.
(3) En s’inspirant de (1) et (2), déterminer l’ensemble des couples (x,y) de Z2
tels que :
12x + 3y = 21
8x + 30y = 7
(4) Décrire une méthode générale de résolution d’équations diophantiennes du
type ax + by = c avec a et b premiers entre eux.
Exercice 3 :
(1) En utilisant la question (1) de l’exercice 2 trouver l’inverse de 41 (resp. 11)
dans Z/11Z (resp. Z/41Z).
(2)
(i) Soit n un entier naturel. Caractériser les éléments inversibles de l’anneau
Z/nZ. Que peut-on dire si n est premier ?
(ii) Déterminer les éléments inversibles de Z/20Z.
(iii) Résoudre dans (Z/20Z)2 le système
4x+7y=10 (mod 20)
5x+14y=18 (mod 20)
(3) Résoudre l’équation x2 = 1 dans Z/19Z, puis dans Z/58Z.
Exercice 4.
(ii) Trouver l’ensemble des entiers k ∈ Z vérifiant les 3 propriétés suivantes :
(a) k − 1 est divisible par 4,
(b) k + 3 est divisible par 5,
(c) k − 2 est divisible par 7
Exercice 5. Soient m et n deux entiers naturels premiers entre eux avec m ≥ 2
et n ≥ 2 . Pour x ∈ Z, on désigne par ẋ la classe de x dans Z/nmZ, par x la
classe de x dans Z/mZ et par x̃ la classe de x dans Z/nZ. Pour x ∈ Z, on pose
ϕ(ẋ) = (x,x̃) ; ϕ est donc une application de Z/nmZ vers (Z/mZ) × (Z/nZ).
˙
1. a. Vérifier que pour tous x, y ∈ Z, on a ϕ(ẋ + ẏ) = ϕ(ẋ) + ϕ(y).
1
2
b. Montrer que ϕ est injective.
2. a(révision du cours)
Soient u et v deux éléments de Z tels que :
mu + nv = 1
2
Montrer
que pour (a, b) ∈ Z , x0 = bmu + avn est solution dans Z du système
x ≡ a mod m
(S)
x ≡ b mod n
x ≡ x0 mod m
b. Montrer que x∈ Z est solution de (S) si et seulement si
si
x ≡ x0 mod n
et seulement si x ≡ x0 mod mn
(on pourra utiliser le théorème de Gauss).
Quel est alors l’ensemble solution de (S) ?
3. Montrer que l’application ϕ est surjective et est donc un isomorphisme de
groupes.
2.Primalité.
Exercice 1.
Calculer les décompositions en produits de facteurs premiers de 9800 et 3024.
En déduire le PGCD et le PPCM de 9800 et 3024.
Exercice 2.
Soit n un entier naturel.
Est-ce que n4 + 4 est un nombre premier ?
Exercice 3.
Si p est premier, montrer qu’il n’existe pas de rationnel x vérifiant x2 = p.
En particulier la racine carrée de 2 n’est pas rationnelle.
Exercice 4.
Soit n un entier naturel non nul. Montrer que si 2n -1 est premier alors n est
premier.
Exercice 5.
Pour
n ∈ N, √montrer qu’ il existe un couple unique (an , bn ) ∈ N2 tel que
√ tout
n
(1 + 2) = an + bn 2, an ∧ bn = 1.
Exercice 6.
(i) Montrer que pour tout couple d’entiers (x, n), 1 + x divise 1 + x2n+1 .
(ii) En déduire que si 2m + 1 est premier alors m est une puissance de 2.
Exercice 7.
Soit n ≥ 2 un entier. On pose m = 1+n!. Montrer que tous les diviseurs premiers
de m sont strictement supérieurs à n. En déduire qu’il existe une infinité de nombres
premiers.