f P N v

Licence Sciences et Technologies
UE Forces-Champs-Énergie
25 juin 2008
Examen de rattrapage 2ème session – 2 heures
Documents, téléphone et calculatrice non autorisés
Exercice 1. Frottements
Un expérimentateur désire déplacer une caisse de masse M posée sur une surface horizontale
rugueuse. Il exerce sur l’un des côtés de la caisse une force FP parallèle à la surface. On appellera µs
et µc les coefficients de frottement statique et cinétique et g l’accélération de la pesanteur.
a- L’intensité de la force est insuffisante pour que la caisse glisse : établir l’expression de la force de
frottement f0 .
b- L’expérimentateur pousse alors plus fortement de telle sorte que la caisse commence tout juste à
glisser : déduire l’expression de la force de frottement f1 .
c- La caisse est maintenant en déplacement : déduire l’expression de la force de frottement f2 .
d- On place devant M une autre caisse de masse M’ et l’expérimentateur pousse l’ensemble de
manière à lui communiquer une accélération a . On suppose que les coefficients de frottement sont
les mêmes que pour la première caisse.
Établir l’expression de l’accélération.
En déduire la force de contact entre les deux caisses.
Exercice 2.
1) Un objet de masse m est placé dans le champ de pesanteur terrestre g au voisinage de la surface.
Donner l’expression de la force qu’il subit et établir l’expression de son travail lorsque l’objet se
déplace entre deux points D1 et D2 d’altitudes respectives z1 et z2 (axe vertical dirigé vers le haut).
2) Cet objet peut se déplacer en restant constamment sur un cercle
de rayon R contenu dans un plan vertical. Il est soumis à son
poids P , à la réaction N du support et à une force attractive f
exercée à partir du point B. Celle-ci est proportionnelle à la
distance BM : f = − k BM (où k est une constante positive).
On communique au mobile une vitesse initiale v o dirigée vers
le haut, et il se déplace le long de l’arc AC en ne subissant
aucun frottement.
En utilisant le théorème de l’énergie cinétique établir, en
fonction de m, k, g et R, l’expression de la norme vo de v o lui
permettant d’atteindre le point C avec une vitesse nulle. On
pourra utiliser la décomposition BM = BO + OM .
vo
C
N
M
O
B
A
f
P
Exercice 3. Particule soumise à un champ magnétique
Une particule électrisée de masse m porte une charge q. Elle est placée dans une région de l’espace où
règne un champ magnétique B uniforme (vecteur identique en tout point) et indépendant du temps.
Dans ce problème on travaille dans un référentiel fixe auquel on attache un repère d’origine O.
À un instant t, la particule a une vitesse v et subit une force magnétique qui s’écrit f = q v ∧ B . Le
poids de la particule est beaucoup plus faible que la force magnétique et sera négligé.
On se propose d’étudier toutes les caractéristiques du mouvement de cette particule soumise à l’action
du champ magnétique.
1) Préciser l’orientation de la force magnétique par rapport à la vitesse et au champ magnétique.
2) Calculer le travail de la force magnétique entre deux points quelconques de la trajectoire. En
déduire une caractéristique essentielle de l’énergie cinétique de cette particule. Que peut-on dire de
la norme et de la direction de la vitesse le long de la trajectoire ?
3) À l’instant initial, la particule a une vitesse v o perpendiculaire à B . En calculant la dérivée par
rapport au temps du produit scalaire v•B , puis en utilisant le principe fondamental de la dynamique
montrer que l’angle entre v et B est constant. En tenant compte des conditions initiales, montrer
que le mouvement de la particule se fait dans un plan.
En déduire que la norme de la force magnétique est constante.
4) Donner l’expression de l’accélération en coordonnées intrinsèques. En déduire que le mouvement
de la particule est circulaire uniforme. Exprimer le rayon du cercle en fonction des paramètres du
problème.
5) On rappelle que pour un mouvement circulaire uniforme le vecteur vitesse s’écrit v = ω ∧OM , où
ω est le vecteur rotation instantanée et où OM est le vecteur position. En déduire l’accélération de
q
la particule et montrer que le vecteur ω peut alors s’écrire : ω = − B.
m
- Quelle conclusion en tirer suivant le signe de q ?
- Quelle est la durée T nécessaire à la particule pour faire un tour complet ?
6) Application : La spectrométrie de masse.
Dans un accélérateur de particules, les particules chargées sont soumises à une différence de
potentiel V. Une énergie, égale au produit de la charge par la différence de potentiel, leur est ainsi
fournie et est intégralement transformée en énergie cinétique.
Les particules pénètrent ensuite dans une région où règne un champ B perpendiculaire à leur
vitesse.
On considère ici un proton (de charge qp et de masse mp) et un noyau de deutérium
( qd = q p , md ≈ 2mp ).
a) Calculer le rapport de la vitesse vp du proton à la vitesse vd du noyau de deutérium à la sortie de
l’accélérateur.
b) Calculer le rapport des rayons des trajectoires de ces 2 particules.
Faire un schéma des trajectoires, en précisant le sens de rotation (placer le champ B
perpendiculaire au plan de figure). Conclusion.
c) Pour une particule quelconque de masse m, de charge q positive, soumise à un champ B , exprimer
le rayon de la trajectoire en fonction de q/m, V et B. En déduire que l’on peut, par cette méthode
expérimentale « simple », distinguer des particules différentes.