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Physique
MECANIQUE DU POINT MATERIEL
EXERCICE D’ ORAL
-EXERCICE 13.2• ENONCE :
« Particule dans un champ magnétique avec frottement fluide »
q ! 0 , de masse m , est placée à l’origine O d’un référentiel galiléen
"
"
(repère cartésien Oxyz), avec une vitesse initiale : v0 = v0 ex .
"
"
• Cette particule est soumise à l’action d’un champ magnétique uniforme et permanent B = Bez ;
"
"
par ailleurs, elle subit une force de frottement fluide : f = − kv .
• Une particule, de charge
1) Donner la loi de vitesse
v(t ) , où v est le module du vecteur vitesse ; en déduire la
L de la trajectoire.
2) Déterminer le point limite M ∞ atteint par la particule au bout d’un temps « très long »,
m
qB
notion que l’on précisera (on pourra poser τ =
, et ω =
).
k
m
longueur
3) Donner qualitativement l’allure de la trajectoire.
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Christian MAIRE
 EduKlub S.A.
Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la
consultation individuelle et privée sont interdites.
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MECANIQUE DU POINT MATERIEL
EXERCICE D’ ORAL
• CORRIGE :
«Particule dans un champ magnétique avec frottement fluide »
1) On applique le Théorème de l’Energie Cinétique à la particule, en rappelant que la force
magnétique ne travaille pas :
dEC d  1 2 
dv(t ) k
dv " "
+ v(t ) = 0 ⇒
=  mv  = mv × = f ⋅ v = −kv 2 ⇒
dt
m
dt
dt  2
dt

v(t ) = v0 exp( −t / τ )
τ=
m
k
Rq : au bout d’un temps « très long » (en pratique, au bout de quelques constantes de temps
τ ), la vitesse de la particule devient nulle (rappelons que v(3τ ) = 0, 05 × v0 ).
• On sait que :
v (t ) =
ds (t )
dt
∞
(où
s (t ) est l’abscisse curviligne de la particule le long de sa
∞
∞
L = ∫ ds (t ) = ∫ v(t )dt = ∫ v0 exp( −t / τ )dt = −v0τ [exp(−t / τ ]0
0
0
0
"
dv
" " "
= qv ∧ B − kv
2) Appliquons maintenant le PFD à la particule, il vient : m
dt
trajectoire) ⇒
∞
⇒
L = v0τ
Le champ magnétique ne dépendant pas du temps, on peut intégrer simplement l’équation
précédente entre t = 0 et t = ∞ , d’où :
####"
####"
∞
∞
dv
dOM "
dOM
∫0 m dt × dt = ∫0 q dt ∧ B × dt − ∫0 k dt × dt (où M est la position de la particule) ; alors :
####" " ∞
####" ∞
####"
" ####"
"
"
"
m[v (∞) − v (0)] = − mv0 = q OM ∧ B  − k OM  = qOM ∞ ∧ B − kOM ∞ ; en projection, il vient :
∞
0
0
 − mv0 = qBy∞ − kx∞ (1)

0 = − qBx∞ − ky∞ (2)
x∞ =
3)
y
O
y∞
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"
v0
τ v0
1 + ω 2τ 2
x∞
x
"
B
La résolution de ce système permet d’écrire :
et
y∞ = −ωτ x∞ = −ωτ ×
τ v0
1 + ω 2τ 2
On sait qu'en l'absence de frottements, la trajectoire
serait un cercle contenu dans le plan xOy, tangent à
la vitesse initiale en O.
Les résultats des questions précédentes suggèrent
l'allure de courbe ci-contre : il s'agit en fait d'une
spirale logarithmique convergeant vers M ∞ .
Christian MAIRE
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