Chap 4N - Exercices

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Exercices : planètes et satellites – Les lois de Kepler Page 1 / 2
Correction dÊexercices
Planètes et satellites – Les lois de Kepler
Exercice n°3 page 214
Le mouvement du solide est circulaire puisque la longueur du fil est constante (le solide fait donc des
oscillations suivant un arc de cercle). En revanche, il n’est pas uniforme puisque le solide accélère en
descendant et ralentit en remontant.
Exercice n°5 page 214
Deimos a un rayon de 15 km alors que la distance entre les centres de Deimos et de Mars est de 23500 km.
1600
15
10.5,23
L
r
3
==
La taille de Deimos est 1600 fois inférieure à la distance Deimos – Mars donc négligeable et Deimos peut
être considéré comme ponctuel.
Le satellite Deimos n’est soumis qu’à la force d’attraction gravitationnelle exercée
par Mars donc :
amF
D
ext
×=
∑
donc amF
D
D/M
×=
D’après le cours, le vecteur a a pour coordonnées, dans le repère de Frenet :
dt
dv
a
T
= et
r
v
a
2
N
= or le vecteur D/M F est centripète (suivant N ) et n’a pas de coordonnée suivant
T
.
On a donc : 0
dt
dv
aT== et donc v = cte
Le mouvement est circulaire et uniforme (et la loi des aires est respectée).
Exercice n°7 page 215
D’après la deuxième loi de Kepler dite « loi des aires », l’aire A est égale à l’aire A’. Les durées entre P1 et
P2 puis entre P3 et P4 étant égales mais les distances parcourues différentes, les vitesses ont nécessairement
différentes. La distance P1P2 est supérieure à la distance P3P4 donc la planète va plus vite quand elle est près
du Soleil, et moins vite quand elle est loin.
Remarque : la loi des aires (intuitivement surprenante) est liée au fait que le système planète – soleil est
isolé, et traduit une conservation énergétique (énergies potentielle et cinétique).
Exercice n°8 page 215
On peut remarquer que, pour chaque satellite de Jupiter, le rapport
3
2
R
T a la même valeur.
SI10.1,3
R
T
R
T
R
T
R
T
16
3
Callisto
2
Callisto
3
IGanymède
2
Ganymède
3
Europe
2
Europe
3
Io
2
Io
−
====
La troisième loi de Kepler est donc vérifiée. Elle permet en outre de calculer la masse de Jupiter :
SI10.1,3
GM
4
R
T
16
J
2
3
Satellite
2
Satellite
−
=
π
= donc kg10.9,1
10.1,310.67,6 4
M
27
1611
2
J
=
×
π
=
−−
D/M
F

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Exercices : planètes et satellites – Les lois de Kepler Page 2 / 2
Exercice n°10 page 215
r
GM
v= v est la vitesse orbitale de la particule (m.s
-1)
G = 6,67.10-11 SI (constante universelle de gravitation)
M est la masse de Saturne (kg)
r est le rayon de la trajectoire circulaire de la particule (m)
Si r augmente, alors v diminue donc pour être plus rapide, une particule doit être plus proche de Saturne.
Par définition
t
d
v∆ = donc, si l’on considère une révolution entière de la particule :
T
r2
vπ =
On a donc : r
GM
Tr2
v=
π
= d’où
r
GM
T
r4
2
22
=
π et
3
2
2
r
GM
4
T×
π
=
D’après ce que l’on vient de démontrer, la particule de l’anneau B se déplace plus vite que la particule de
l’anneau A, et elle a en outre une distance moins grande à parcourir pour réaliser une révolution. Les deux
particules ne peuvent donc pas rester alignées avec le centre de Saturne. Les anneaux sont donc
obligatoirement composés de particules petites et indépendantes et ne peuvent pas être d’un seul tenant.
Exercice n°16 page 218
Dans le référentiel géocentrique, ce satellite respecte les trois lois de Kepler (voir page 211).
La distance TP est très inférieure à la distance TA or les aires balayées
en des durées égales doivent être égales donc la vitesse du satellite
varie sur son orbite. Elle est maximale au périgée (point le plus
proche) et minimale à l’apogée (point le plus éloigné).
Exercice n°20 page 219
La trajectoire n°2 est incompatible avec les lois de Kepler, puisque celle-ci dit que l’orbite d’un satellite est
plane et forme une ellipse dont le centre de la planète est un des foyers. Ici, le centre de la Terre n’est pas
dans le plan de la trajectoire elliptique, ce qui est impossible.
La trajectoire n°2 est donc incohérente. La trajectoire n°3 est possible puisque le centre de la Terre est
compris dans le plan du mouvement elliptique du satellite, mais le satellite n’est pas géostationnaire puisqu’il
ne tourne pas dans le même plan qu’un point de la surface de la Terre. La seule trajectoire possible pour un
satellite géostationnaire est donc la trajectoire n°1, où le satellite tourne dans le plan équatorial de la Terre.
Pour que le satellite soit géostationnaire, c’est-à-dire qu’il reste à chaque instant à la verticale d’un même
point de la Terre (et de l’équateur), il doit avoir une période de révolution égale à la période de rotation de la
Terre (T
Terre
= T
Satellite
) :
322
2
22411
2
2
T
3
m10.5,7
4
8616410.0,610.67,6
4
TGM
r =
π
××
=
π
×
=
−
donc r = 42200 km
Le rayon de la trajectoire d’un satellite correspond à la somme du rayon de la Terre et de son altitude :
R = R
T
+ z donc z = r – R
T
= 42200 – 6400 = 35800 km
Le satellite Anik 1 est donc un satellite géostationnaire (il s’agit d’un satellite de télécommunication
canadien). La station internationale ISS, quant à elle, n’est pas géostationnaire puisqu’elle effectue environ
16 tours de Terre par jour et survole l’ensemble de la planète. Vous pouvez la suivre en direct sur le site
http://iss.destination-orbite.net/live.php ou http://www.ustream.tv/channel/live-iss-stream ou encore la
regarder passer au dessus de Tanger à l’œil nu en choisissant bien le moment (http://iss.astroviewer.net).
P
T
A