Corrigé du TP n o9 - Suite - Résolution numérique des

Mathématiques supérieures
le 16 Mars 2017
o
Corrigé du TP n 9 - Suite - Résolution numérique des
équations différentielles
1. Exercice sur la méthode d’Euler
Exercice 1.
gChutelibre
Chute
libred’une
d’uneboule
boulededepétanque
pétanque
On cherche résoudre numériquement l’équation différentielle satisfaite par la vitesse d’une boule
de pétanque en chute libre soumise à la force de frottement exercée par l’air.
On rappelle que que la vitesse v de la boule vérifie
1
mv̇ = mg − Cρπr2 v 2 .
2
où
— m est la masse de la boule ;
— r est le rayon de la boule ;
— C est une constante et
— ρ est la masse volumique de l’air.
Dans notre cas, on prendra m = 700g, r = 75mm, C = 1, ρ = 1kg.m−3 . On considère la
condition initiale suivante : v(0) = 0 (la boule de pétanque est simplement lâchée).
1. Écrire le problème de Cauchy correspondant à la situation précédente.
2. Résoudre numériquement cette équation différentielle grâce à la méthode d’Euler explicite.
On tracera la solution approchée de v sur [0, 30] (temps en seconde) et on veillera à exprimer
v en m.s−1 .
Que remarque-t-on ?
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t_final = 30
g = 9.8
rho = 1
r = 0.075
m = 0.7
def bouleV(n):
delta=t_final/n
Y=[0]
for i in range(1,n):
yk=Y[-1]
tk=(i-1)*delta
Y.append(yk+delta*(g-(1/2*m)*rho*np.pi*(r**2)*yk**2))
return Y
1
19 def euler_bouleV(n):
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T=np.linspace(0,t_final, n)
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Y=bouleV(n)
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plt.figure(figsize=(4,16))
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plt.plot(T,Y, color="blue", label="solution approchée")
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plt.legend(loc="upper left")
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30
plt.show()
2