Corrigé du TP n o9 - Suite - Résolution numérique des

Corrigé du TP no9 - Suite - Résolution numérique des
équations diérentielles
Mathématiques supérieures le 16 Mars 2017
1. Exercice sur la méthode d’Euler
Exercice 1.
Exercice 1. gChute libre d’une boule de pétanqueChute libre d’une boule de pétanque
On cherche résoudre numériquement l’équation diérentielle satisfaite par la vitesse d’une boule
de pétanque en chute libre soumise à la force de frottement exercée par l’air.
On rappelle que que la vitesse vde la boule vérie
m˙v=mg −
1
2Cρπr2v2.
où
—mest la masse de la boule ;
—rest le rayon de la boule ;
—Cest une constante et
—ρest la masse volumique de l’air.
Dans notre cas, on prendra m= 700g,r= 75mm,C= 1,ρ= 1kg.m−3. On considère la
condition initiale suivante : v(0) = 0 (la boule de pétanque est simplement lâchée).
1. Écrire le problème de Cauchy correspondant à la situation précédente.
2. Résoudre numériquement cette équation diérentielle grâce à la méthode d’Euler explicite.
On tracera la solution approchée de vsur [0,30] (temps en seconde) et on veillera à exprimer
ven m.s−1.
Que remarque-t-on ?
1t_final =30
2g=9.8
3rho =1
4r=0.075
5m=0.7
6
7
8def bouleV(n):
9delta=t_final/n
10 Y=[0]
11 for iin range(1,n):
12 yk=Y[-1]
13 tk=(i-1)*delta
14 Y.append(yk+delta*(g-(1/2*m)*rho*np.pi*(r**2)*yk**2))
15 return Y
16
17
18
1

19 def euler_bouleV(n):
20
21 T=np.linspace(0,t_final, n)
22 Y=bouleV(n)
23
24 plt.figure(figsize=(4,16))
25
26 plt.plot(T,Y, color="blue", label="solution approchée")
27
28 plt.legend(loc="upper left")
29
30 plt.show()
2