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Introduction ` a la Cryptologie
Chapitre 4 : Arithm ´ etique modulaire
Michael Eisermann (Institut Fourier, UJF Grenoble)
Ann´ ee 2008-2009
IF / IMAG, Master 1, S1-S2
document mis ` a jour le 7 juillet 2009
FOURIER
INSTITUT
f
i
www-fourier.ujf-grenoble.fr/~eiserm/cours # crypto
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Objectifs de ce chapitre
D´ eveloppement math´ ematique :
Comprendre le calcul dans Zmodulo un entier m
Construire l’anneau quotient Z/
mdes entiers modulo m
D´ eveloppement algorithmique :
D´ evelopper des algorithmes efficaces pour le calcul dans Z/
m
Puissance modulaire rapide («puissance dichotomique »)
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Sommaire
1Premiers exemples
Entiers pairs et impairs
Entiers modulo 3
Processeurs binaires
2L’anneau Z/
mdes entiers modulo m
Congruences et calcul modulo m
Relations d’´ equivalence et quotients
L’anneau Z/
mdes entiers modulo m
3Puissance modulaire rapide
L’algorithme na¨ ıf est trop lent
La puissance modulaire rapide
Un exemple d´ etaill´ e
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Entiers pairs et impairs
Les nombres entiers se r´ epartissent en entiers pairs et entiers impairs :
¯
0 := {a∈Z|arem 2 = 0}
¯
1 := {a∈Z|arem 2 = 1}
Les tables suivantes r´ esument les r` egles comme «pair plus impair = impair »
ou «pair fois impair = pair »:
+¯ 0¯ 1
¯
0¯ 0¯ 1
¯
1¯ 1¯ 0
·¯ 0¯ 1
¯
0¯ 0¯ 0
¯
1¯ 0¯ 1
§1.1 4/22

Entiers modulo 3
G´ en´ eralisons cette id´ ee des entiers pairs et entiers impairs,
et regardons maintenant le reste modulo 3au lieu de 2.
Ici les nombres entiers se r´ epartissent en trois classes :
¯
0 := {a∈Z|arem 3 = 0}
¯
1 := {a∈Z|arem 3 = 1}
¯
2 := {a∈Z|arem 3 = 2}
Les tables suivantes r´ esument les r` egles de calculs que l’on observe sur les
restes modulo 3:
+¯ 0¯ 1¯ 2
¯
0¯ 0¯ 1¯ 2
¯
1¯ 1¯ 2¯ 0
¯
2¯ 2¯ 0¯ 1
·¯ 0¯ 1¯ 2
¯
0¯ 0¯ 0¯ 0
¯
1¯ 0¯ 1¯ 2
¯
2¯ 0¯ 2¯ 1
L’objectif de ce chapitre et de g´ en´ eraliser cette construction de m= 2 et
m= 3 ` a tout m∈Zpuis d’analyser assez finement la structure qui en r ´ esulte.
§1.2 5/22