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EME DE TYCHONOFF
Ce qui suit est enti`erement pomp´e de :
Douady & Douady : Alg`ebre et th´eories galoisiennes, Cassini (2005) ;
Kelley : General Topology, Springer Verlag (1975).
D´efinition 1. Soit Eun ensemble. Une fonction de choix sur Eest une application
τ:P(E)\ {} → E
telle que (X∈ P(E)\ {})τ(X)X.
Axiome du choix : Pour tout ensemble E, il existe une fonction de choix sur E.
´
Enonc´e ´equivalent : Si X,Ysont des ensembles et f:XYune application surjective,
alors fadmet une section (ie. il existe g:YXtelle que fg= IdY).
Attention : “il existe” ne doit pas ˆetre pris dans le sens “on peut construire explicite-
ment”.
En 1938, G¨odel a prouv´e que si la th´eorie des ensembles (avec les axiomes de Zermelo-
Fraenkel) est contradictoire lorsqu’on lui ajoute l’axiome du choix, alors elle l’est aussi
sans. Demˆeme (Cohen, 1963), si la th´eorie des ensembles n’est pas contradictoire, elle ne
le devient pas si on ajoute l’axiome : “il n’existe pas de fonction de choix sur R”.
De nos jours, presque tout le monde admet et utilise l’axiome du choix, bien qu’il ait
des cons´equences ´etonnantes (cf. paradoxe de Banach-Tarski).
D´efinition 2. Soit (E, )un ensemble ordonn´e. On dit qu’il est
bien ordonn´e si toute partie non vide de Eadmet un plus petit ´el´ement ;
inductif si toute partie bien ordonn´ee est major´ee.
Th´eor`eme de Zorn : Tout ensemble ordonn´e inductif poss`ede au moins un ´el´ement
maximal.
C’est l’une des incarnations les plus utiles de l’axiome du choix. En voici quelques
cons´equences.
Si X,Ysont des ensembles, il existe une injection de Xdans You il existe une
injection de Ydans X.
Tout ensemble peut ˆetre muni d’un bon ordre (th´eor`eme de Zermelo).
Si Aest un anneau commutatif et I(Aun id´eal propre, il existe un id´eal maximal
mde Atel que Im.
Tout espace vectoriel adment une base.
Tout produit d’espaces topologiques compacts est compact pour la topologie produit
(th´eor`eme de Tychonoff).
Si Eest un espace vectoriel norm´e sur Rou C,xEde norme 1, il existe une forme
lin´eaire usur Etelle que kuk= 1 et u(x) = 1 (th´eor`eme de Hahn-Banach).
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Tychonoff avec filtres.
D´efinition 3. Soit Xun espace topologique. Un filtre sur Xest une partie F⊆ P(X)
telle que :
(i) Fest stable par intersection nie ;
(ii) (FFet FG)GF;
(iii) 6∈ F.
Exemple de base : Pour xX, l’ensemble Vxdes voisinages de xest un filtre sur X.
D´efinition 4. Soient Fet Gdeux filtres sur X. On dit que
Fest plus fin que Gsi GF;
Fet Gsont compatibles s’il existe un filtre Hqui est plus fin que Fet G(pour
cela, il faut et suffit que (FF) (GG)FG6=et dans ce cas FG=
{FG}FF,GG–le filtre intersection– est la borne sup´erieure de Fet Gpour la
relation de finesse) ;
Fconverge vers x(resp. Fadmet xcomme valeur d’adh´erence) si Fest plus fin
(reps. compatible avec) Vx.
Remarque : un filtre Fadmet xcomme valeur d’adh´erence si et seulement si xF
pour tout FF.
D´efinition 5. Un ultrafiltre est un filtre maximal pour la relation de finesse (ie. au sens
de l’inclusion).
Exemple : si xX,Ux={FX, x F}est un ultrafiltre.
Proposition 1. (a) Si un ultrafiltre Uadmet xcomme valeur d’adh´erence, alors U
converge vers x.
(b) Si Fest un filtre sur X, il existe un ultrafiltre plus fin que F.
emonstration. (a) Si un ultrafiltre Uest compatible `a Vx, alors UVxest plus fin
que Ud’o`u UVx=Uie. VxU.
(b) Zorn.
Proposition 2. (Caract´erisation des compacts). Soit Xun espace topologique s´epar´e.
Conditions ´equivalentes :
(i) Xest compact ;
(ii) tout filtre sur Xadmet une valeur d’adh´erence ;
(iii) tout ultrafiltre sur Xest convergent.
emonstration. (i)(ii) Soit Fun filtre sur X. L’ensemble de ses valeurs d’adh´erence
est T
FF
F. Si ce dernier est vide, il existe F1,...,FnFtels que
n
T
i=1
Fi=(par
compacit´e). On a a fortiori
n
T
i=1
Fi=, ce qui est impossible.
(ii)(i) Soit {Fi}iIune famille de ferm´es de Xtelle que pour tout JIavec Jfini,
on T
jJ
Fj6=. Soit Fle filtre engendr´e par {Fi}iI(le plus petit filtre contenant les
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Fi, il en existe vu l’hypoth`ese sur (Fi)iI). Comme Fadmet un valeur d’adh´erence,
T
FF
F6=et a fortiori T
iI
Fi6=
(ii)(iii) Tout ultrafiltre qui admet une valeur d’adh´erence est convergent.
(iii)(ii) Soit Fun filtre sur X. Si Uest un ultrafiltre sur Xplus fin que F(il en
existe), Uconverge vers xX, donc Fadmet xcomme valeur d’adh´erence.
Construction : filtre image par une application.
Soit f:XYune application et Fun filtre sur X. Le filtre image de Fpar fest le
filtre fFd´efini par
GfFf1(G)F.
Proposition 3. (a) Le filtre image d’un ultrafiltre est un ultrafiltre.
(b) Si (Xi)iIest une famille d’espaces topologiques, soient X=Q
iI
Ximuni de la topo-
logie produit et pour iI,pi:XXila projection sur le facteur d’indice i. Pour
qu’un filtre Fsur Xsoit convergent, il faut et suffit que pour tout iI, le filtre
piFsoit convergent (remarque : c’est faux avec admette une valeur d’adh´erence” `a
la place de “soit convergent”).
emonstration. (a) Remarquer que pour qu’un filtre soit un ultrafiltre, il faut et suffit
que pour tout AX, on a AFou X\AF(consid´erer {FA}FFet
{F(X\A)}FF).
(b) ´
Evident.
Le th´eor`eme de Tychonoff r´esulte des deux propri´et´es qui pr´ec`edent.
Tychonoff sans filtres.
Th´eor`eme 1. (Alexandrov) Soit Xun espace topologique et Bune base d’ouverts pour la
topologie de Xtelle que de tout recouvrement de Xpar des ´el´ements de B, on peut extraire
un recouvrement fini. Alors Xest compact.
emonstration. Disons qu’une famille de parties de Xest non couvrante (NC) si elle ne
recouvre pas X, et niment non couvrante (FNC) si aucune sous-famille finie ne recouvre
X. Si Xest un espace tologique s´epar´e, la compacit´e de X´equivaut `a : toute famille
d’ouverts (FNC) est (NC). Il s’agit de montrer que l’on peut se restreindre aux ouverts
appartenant `a B.
Fait 1. Toute famille d’ouverts qui est (FNC) est incluse dans une famille d’ouverts
(FNC) maximale (au sens de l’inclusion).
La classe des familles d’ouverts de Xqui sont (FNC) est inductive (pour l’inclusion).
En effet, soit {Fi}iIune famille bien ordonn´ee de familles d’ouverts, avec Fi(FNC) pour
tout iI. Posons F=S
iI
Fi. C’est une famille d’ouverts qui majore les Fi. Montrons
qu’elle est (FNC). Supposons le contraire : on a U1,...,Un∈ F tels que X=U1· · · Un.
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Comme {Fi}iIest bien ordonn´ee, il existe i0Itel que U1,...,Un∈ Fi0, ce qui contredit
le fait que Fi0est (FNC). Il suffit alors d’appliquer le th´eor`eme de Zorn.
Fait 2. Soit Fune famille d’ouverts (FNC) maximale (toujours au sens de l’inclusion). On
a alors : si U1,...,Unsont des ouverts de Xtels que qu’il existe V∈ F avec U1· · ·Un
V, alors il existe i∈ {1, . . . , n}tel que Ui∈ F.
En raisonnant par r´ecurrence, il suffit de traiter le cas n= 2.
Supposons U16∈ F. Par maximalit´e deF, la famille F ∪ {U1}n’est pas (FNC) : il existe
A1, . . . , Ar∈ F tels que U1A1 · · · Ar=X. Supposons U26∈ F. De mˆeme, il existe
B1, . . . , Bs∈ F tels que U2B1 · · · Bs=X. On a alors
X=U1A1 · · · ∪ ArU2B1 · · · Bs
= (U1U2)A1 · · · ArB1 · · · Bs.
Si on avait U1U2Vavec V∈ F, on aurait a fortiori VA1· · ·ArB1· · ·Bs=X,
ce qui contredirait le fait que Fest (FNC).
Preuve du th´eor`eme. Soit une famille d’ouverts (FNC) quelconque, montrons qu’elle
est (NC). Quitte `a remplacer Fpar une famille d’ouverts (FNC) maximale qui la contient
(possible en vertu du fait 1), on peut supposer Fmaximale.
Comme Fest (FNC), il en est de mˆeme de B ∩ F. Il suffit donc de montrer que
[
U∈F
U=[
U∈B∩F
U.
Soit U∈ F et xU. Comme Best une base de la topologie de X, il existe V1,...,Vn∈ B
tels que xV1 · · · VnU. D’apr`es le fait 2, il existe i∈ {1,...,n}tel que Vi∈ F
(rappelons que Fest maximal). On a donc xVi B ∩ F, d’o`u l’iclusion de l’ensemble
de gauche dans celui de droite. L’inclusion r´eciproque est ´evidente. Comme S
U∈B∩F
U6=X
(car B ∩ F est (FNC) donc (NC)), on a fini.
Th´eor`eme 2. (Tychonoff) Tout produit d’espaces compacts est compacts.
emonstration. Le fait qu’un produit d’espaces s´epar´es est s´epar´e est ´evident.
Soit (Xi)iIune famille d’espaces compacts on pose X=Q
iI
et pour iI, on note
pi:XXila projection sur le i-`eme facteur. On d´efinit une base d’ouverts de X(pour
la topologie produit) en posant
B={p1
i(U), U ouvert de Xi}.
D’apr`es le th´eor`eme d’Alexandrov, il suffit de montrer que toute sous-famille Fde Bqui
est (FNC) est (NC).
Pour iI, posons
Fi={UXi, U ouvert, p1
i(U)∈ F}.
Comme Fest (FNC), c’est aussi le cas de Fi(car Fi⊆ F). Pour tout iI, il existe donc
xiXi\S
U∈Fi
U. Si x= (xi)iIX, on a alors xX\S
U∈F
Uet Fest (NC).
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