Topologie et Ultrafiltre - Les

Topologie et Ultrafiltre
Résumé
Les filtres généralisent la notion de convergence, et donc sont particulièrement utiles en topologie.
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Introduction
Les suites sont des notion extrêmement utiles dans les espaces métriques
mais malheureusement insuffisantes en topologie générale. Il existe un espace X
et deux topologies ayant les mêmes suites convergentes, par exemple X = N et
T1 la topologie discrète, T2 la topologie cofinie. Dans ces deux cas, xn → x si
et seulement si xn = x a partir d’un certain rang.
Les suites ne sont donc pas toujours suffisante pour caractériser la topologie
associé à notre espace. Il existe une notion de suite généralisées qui est aussi
puissante que les filtres : cependant, des subtilités parfois difficiles à voir sont
cachées derrières les indices utilisés sur ces "suites généralisées". Par exemple, il
existe des "sous-suites" de suites généralisés tel que le cardinal de la sous-suite
est strictement plus grand que le cardinal de la suite originel.
L’étude des filtres est assez simple une fois le formalisme de la théorie des
ensembles assimilées, et donne des preuves courtes et élégantes.
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Qu’est ce qu’un filtre ?
2.1
Premier pas avec les filtres
Soit E un ensemble. Une topologie T sur E définit une famille d’ouverts, et
si P ∈ E, on peut définir l’ensemble V des voisinages d’un point P ∈ E comme
les sous-ensembles A qui continennent un ouvert U , contenant P .
V possède les 4 propriétés suivantes dont la vérification est immédiate :
I) Si A ∈ V et A ⊂ B alors B ∈ V (extentionnalité)
II) Si A ∈ V et B ∈ V alors A ∩ B ∈ V (intersection)
III) E ∈ V
IV) ∅ ∈
/V
1
Définition 2.1. Soit E un ensemble. Un filtre sur E est une famille F ⊂ P(E)
qui vérifie les axiomes précédents. De plus, si pour tout filtre G on a F ⊂ G ⇒ F = G
alors F est appellé un ultrafiltre.
Si F ⊂ G on dit que G est plus fin que F . Un ultrafiltre n’admet donc pas de
filtre plus fin que lui.
A partir de maintenant, sauf mention du contraire on supposera que tous les
filtres sont définis sur un ensemble E, et plus tard sur un espace topologique X.
Exemple 2.1. On peut donner plusieurs exemples de filtres et d’ultrafiltres.
Si E est un ensemble non-vide, à chaque x ∈ E on peut associer l’ultrafiltre
Ux = {A ⊂ E | x ∈ A}. Cet ultrafiltre est appellé ultrafiltre principal, ou atomique.
Si x0 ∈ R, on peut prendre le filtre F = {A ⊂ R | ∃ε > 0, (x0 , x0 + ε) ⊂ A} qui
n’est pas un ultrafiltre (prendre A = Q).
On a le filtre de Fréchet F = {A ⊂ N | Ac est fini }. Un ultrafiltre sur N est
principal si et seulement si il ne contient pas F .
Soit (xn )n∈N une suite et Fn = {xn , xn+1 , xn+2 , . . .}. Alors, F = {A ∈ X |
Fn ⊂ A pour n ∈ N} est un filtre.
Voici une première proposition pour se familiariser avec les ultrafiltres :
Proposition 2.1. On a les équivalences entre les propositions suivantes :
a) U est un ultrafiltre.
b) Pour tout A ⊂ E, soit A ∈ U soit Ac ∈ U .
c) Si A ∪ B ∈ U alors A ∈ U ou B ∈ U .
Démonstration.
a) ⇒ b) Soit U un ultrafiltre tel que Ac ∈
/ U . Alors, pour
tout B ∈ U : B ∩ A 6= ∅. Sinon, on aurait ∅ 6= B ∩ Ac ∈ U et donc par
l’axiome I) Ac ∈ U . Par conséquent, la famille U ∪ {C | A ∩ B ⊂ C, B ∈
U } définit un filtre plus fin que U . Par maximalité, U + = U et donc
A∈U.
b) ⇒ c) Supposons que B ∈
/ U . Par hypothèse, on a donc B c ∈ U et donc
c
(A ∪ B) ∩ B = A ∈ U .
c) ⇒ a) Supposons que U ne soit pas maximal. Alors, soit F un filtre contenant U et A ∈ F \U . On a A ∈
/ U , et donc Ac ∈ U . En effet, E ∈ U et
c
c
E = A ∪ A . Par conséquent, A ∈ F et A ∈ F donc ∅ ∈ F et on obtient
une contradiction.
Théorème 2.1. Soit F un filtre sur un ensemble E. Il existe un ultrafiltre U
tel que F ⊂ U .
Démonstration. L’ensemble des
S filtres est partiellement ordonné. Si C est une
chaîne de filtres, alors G = F ∈C F est un filtre. En effet, si ∅ ∈ G alors il
existe un F ∈ C tel que ∅ ∈ F , ce qui est impossible. Clairement, E ∈ G .
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Supposons que A, B ∈ G . Alors, A, B appartienent à un filtre en commun, donc
leur intersection appartient audit filtre, lui-même inclus dans G . Enfin, si A ∈ G
et A ⊂ B, alors A ∈ F pour un certain F ∈ C. Mais alors, B ∈ F et donc
F ∈ G.
Si on regarde la preuve a) ⇒ b) on a créé un nouveau filtre F (A) à partir d’un
ancien filtre F et d’un sous-ensemble A ⊂ E sous la condition que A ∩ B 6= ∅ si
B ∈ F . On peut généraliser cette construction et parler du filtre engendré par
une partie :
Proposition 2.2. Soit S ⊂ P(E) un ensemble de partie tel que toute intersection finie d’éléments de S soit non vide. Alors, il existe un plus petit filtre F
qui contienne S, appellé le filtre engendré par S et noté F (S) ou FE (S).
On appelle S une base de filtre.
Démonstration. Soit F = {A | ∃S1 , . . . , Sn ∈ S, ∩ni=1 Si ⊂ A}. Clairement,
S ⊂ F et F définit bien un filtre, minimal par construction.
Dans le cas précédent, on avait S = U ∪ A.
2.2
Filtres et suites
Dans le formalisme des filtres, à toute suite on peut associer un filtre, comme
le montre l’exemple 2.1. En fait, on a une définition de points d’accumulation
d’un filtre, de point limite d’un filtre ... Dans le cas d’un filtre provenant d’une
suite, les notions coïncident.
Soit F un filtre sur un espace topologique X. On dit que x est un point
limite de F , noté F → x, si Vx ⊂ F . On dit que x est un point d’accumulation
de F si pour tout voisinage U de x, pour tout A ∈ F on a A ∩ U 6= ∅.
On peut voir facilement que x est un point d’accumulation de F si et seulement
si x ∈ ∩A∈F A.
Proposition 2.3. Tout point limite d’un filtre F est un point d’accumulation.
La réciproque est vraie si F est un ultrafiltre.
Démonstration. Soit x tel que F → x. Si Vx ⊂ F , A ∩ U ∈ F et donc en
particulier non-vide.
Si A ∩ U est non-vide pour tout A ∈ F , U ∈ Vx alors on peut prendre le filtre
G engendré par F et Vx , qui existe d’après 2.2. Par définition de G Vx ⊂ G et
F ⊂ G . Par maximalité G = F et donc Vx ⊂ F .
Proposition 2.4. Si X est Hausdorff, alors un filtre n’admet qu’au plus qu’un
point limite.
Démonstration. Un filtre admet plusieurs limites si et seulement si il existe
un filtre F engendré par Vx et Vy . Mais alors, tout voisinage de x et de y
s’intersectent et donc X n’est pas Hausdorff.
Proposition 2.5. Soit (xn )n∈N une suite dans un espace X et F le filtre associé
à la suite. Alors F → x ⇔ xn → x
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Démonstration. ⇒) Si F → x alors Vx ⊂ F . En particulier, si U est un voisinage arbitraire de x, U ∈ F par hypothèse et donc il existe un rang k tel que
(xn )n≥k ⊂ U . Ainsi xn → x.
⇐ Si xn → x, soit U un voisinage arbitraire de x. Alors, il contient un ensemble
de la forme (xn )n≥k et donc Vx ⊂ F .
Il en est de même avec les points d’accumulation : la preuve est similaire. Si x
est un point d’accumulation de F tout ouvert contenant x intersecte toute partie
contenant un (xn )n≥k ce qui revient à dire que x est un point d’accumulation
de xn .
2.3
Image directe d’un filtre
Définition 2.2. Soit f : X → Y une application ensembliste, et F un filtre
sur X. L’image direct de F par f , noté f∗ F , est le filtre engendré par les f (A)
pour A ∈ F .
Ce filtre est bien défini. En effet, on a f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B). Comme
A ∩ B 6= ∅ l’ensemble S = {f (A) : A ∈ F } forme bien une base de filtre.
Proposition 2.6. f∗ F = {B ⊂ Y | f −1 (B) ∈ F }
Démonstration. Soit B ∈ f∗ F . Alors, f (A) ⊂ B pour A ∈ F . On a alors
f −1 (f (A)) ⊂ f −1 (B). Comme A ⊂ f −1 (f (A)) on en déduit que f −1 (B) ∈ F .
Pour la deuxième inclusion, supposons que f −1 (B) ∈ F . Alors, f (f −1 (B) ∈ F
et f (f −1 (B) ⊂ B.
En particulier
Proposition 2.7. Si f est surjective alors f∗ F = {f (A) | A ∈ F }
Démonstration. Il suffit juste de montrer que f∗ F ⊂ {f (A) | A ∈ F }. Soit
B ∈ f∗ F d’après la caractérisation précédente f −1 (B) ∈ F . Comme f est
surjective, f (f −1 (B)) = B. Par conséquent, en prenant A = f −1 (B) on a bien
l’inclusion f∗ F ⊂ {f (A) | A ∈ F }.
Proposition 2.8. Soit f : N → X une suite. Alors, f∗ F → x si et seulement
si fn → x, où F est le filtre de fréchet.
Démonstration. Si f∗ F → x alors, pour tout voisinage de x f −1 (V ) ∈ F et
donc fn → x.
L’autre direction est similaire : si fn → x, alors f −1 (V ) ⊂ N\A, avec A fini, ce
qui montre l’inclusion Vx ⊂ f∗ F .
Proposition 2.9. Soit f : X → Y une application continue entre espace topologique. Si x est un point d’accumulation de F alors f (x) est un point d’accumulation de f∗ F .
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Démonstration. Soit B ∈ f∗ F et W un voisinage de f (x). Alors, f −1 (B) ∈ F
et donc f −1 (W ) ∩ f −1 (B) 6= ∅ (car x est un point d’accumulation de F ). On a
donc ∅ 6= f (f −1 (W ) ∩ f −1 (B)) ⊂ B ∩ W ce qui montre que f (x) est un point
d’accumulation de f∗ F .
Proposition 2.10. Soit f : X → Y une application ensembliste. Alors, f est
continue en x si et seulement si F → x ⇒ f∗ F → f (x) pour tout filtre F .
Démonstration. Pour la première implication, supposons que f est continue en
x. Soit F → x. On a donc l’inclusion Vx ⊂ F . Soit V un voisinage de f (x).
f −1 (V ) ∈ F par hypothèse, mais alors par définition V ∈ f∗ F ce qui signifie
que Vf (x) ⊂ f∗ F .
Pour la réciproque il suffit de prendre le cas particulier F = Vx .
Proposition 2.11. Si f : X → Y est une application ensembliste et U est un
ultrafiltre, f∗ U est un ultrafiltre.
Démonstration. Soit B ∈
/ f∗ U . Alors, f −1 (B) ∈
/ U . Donc, f −1 (B)c ∈ U . Mais
−1
c
c
c
f (f (B) ) ⊂ B et donc B ∈ f∗ U .
Proposition 2.12. Soit (Xi )i∈I une famille d’espaces topologiques, X leur produit, et πi : X → Xi la i-ème projection, Fi := πi∗ F . Alors, si F est un filtre
sur X on a équivalence entre F → x et Fi → xi .
Démonstration. Par la proposition 2.10 le sens direct est immédiat.
Q
Supposons que πi∗ F → xi pour tout i. Prenons un voisinage U de x, U = i Ui
où Ui = Xi pour presque tout les indices i. Par hypothèses, Ui ∈ πi∗ F et donc
U ∈ F , autrement dit F → x.
Proposition 2.13. On a l’équivalence suivante :
a) X est quasi-compact.
b) Tout filtre sur X admet un point d’accumulation.
c) Tout ultrafiltre converge.
Démonstration.
a) ⇒ b) Soit F un filtre sur X. On sait, par compacité de
X, que x ∈ ∩A∈F A si et seulement si x ∈ ∩ni=1 Ai pour Ai ∈ F , mais la
dernière égalité est trivialement impliquée par la définition d’un filtre.
b) ⇒ c) C’est clair : b) indique que tout ultrafiltre admet un point d’accumulation, mais d’après la proposition 2.3 c’est équivalent à avoir un point
limite.
c) ⇒ a) Supposons que tout ultrafiltre converge. Soit E = (Fi )i∈I une famille de fermés possédant la propriété d’intersection finie (voir l’appendix
pour plus de détails). Alors, elle définit une base de filtre et par le théorème
de l’ultrafiltre on peut étendre F (E ) en un ultrafiltre U . Comme ce dernier converge, il existe x tel que x ∈ ∩A∈U A et en particulier x ∈ ∩F ∈E F .
5
3
3.1
Applications en topologie
Ultrafiltre et compacité
Théorème 3.1 (Tychonoff).
Soit (Xi )i∈I une famille d’espaces quasi-compacts.
Q
Alors, le produit X = i∈I Xi est quasi-compact.
Démonstration. Selon 2.13 il suffit de vérifier que tout ultrafiltre converge. Selon
2.12 il suffit de vérifier que l’image de chaque ultrafiltre converge dans chaque
facteur. Mais selon 2.11 l’image d’un ultrafiltre est un ultrafiltre, et comme par
hypothèse les espaces Xi sont tous quasi-compacts le résultat s’ensuit.
On a utilisé l’axiome du choix (=Zorn) pour prouver Tychonoff, mais à
présent on peut le récupérer !
Théorème 3.2
Q (Axiome du choix). Soit Xi des ensembles non vides, alors le
produit X := i∈I Xi est non vide.
Démonstration. On munit chaque Xi de la topologie grossière et on considère
Y
Qi = Xi t {∗}. La topologie sur les Yi est Ti = {∅, {∗}, Xi , Yi }. Par Tychonoff
−1
i Yi est quasi-compact. De plus, Xi est fermé dans Yi et donc Ai = πi (Xi )
est un fermé. Les (Ai ) vérifient la PIF : en effet, si Ai1 , . . . , Ain sont en nombre
fini (sans l’axiome du choix car l’ensemble est fini !), on peut donc choisir xj ∈
Xij pour j = 1, . . . , n. On obtient alors un élément x ∈ ∩nj=1 Aij définit par :
πi (x) = {∗} si i 6= ij et πj (x)
Q = xj sinon.
Ainsi par la PIF ∩i∈I Ai = i Xi est non-vide.
Les ultrafiltres permettent de démontrer une autre théorème, proche de Tychonoff.
Théorème 3.3 (théorème de la sous-base d’Alexander). Supposons que tout recouvrement de X par des éléments d’une sous-base S admette un sous-recouvrement
fini, alors X est quasi-compact.
Démonstration. Supposons que les éléments de S ne recouvrent pas X. Alors,
il existe un point x tel que l’unique ouvert contenant x soit X, et la compacité
de X est immédiate.
Dans le cas contraire, on a un recouvrement S ∈ S de X. Par l’absurde, supposons que U sois un ultrafiltre sans point limite. Pour tout x ∈ X on trouve
donc un ouvert Ux = S1 ∩ · · · ∩ Sn tel que x ∈ Ux ∈
/ U . Comme U est un filtre,
on obtient pour tout x ∈ X un ouvert de la sous-base Sx tel que x ∈ Sx ∈
/ U.
Mais alors, X = ∪x Sx et par compacité X = Sx1 ∪ . . . Sxn . Comme U est un
filtre, X ∈ U . Comme U est un ultrafiltre, l’un des Sxi doit être dans U , ce
qui est une contradiction.
Ascoli
Le théorème d’Ascoli est un théorème fondamental en analyse réelle (Montel
étant la version complexe). Il se prouve très naturellement dans le contexte des
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ultrafiltres et réduit significativement la preuve initial. On écrit Y X pour la
X
topologie produit et Yuni
pour la topologie uniforme.
Théorème 3.4 (Ascoli). Soit X un espace compact, Y un espace métrique
et F ⊂ Y X une famille de fonctions équicontinues, tel que pour tout x ∈ X
X
Fx = {f (x) | f ∈ F} soit précompact. Alors, F est précompact dans Yuni
, muni
de la topologie uniforme.
X
Démonstration. Soit i : Yuni
→ Y X l’identité. Soit G = i(F) ⊂ Y X , G est compact par hypothèse (et Tychonoff). Donc si on montre que i−1 (G) est compact,
on a gagné. Soit U un ultrafiltre sur i−1 (G).
Par hypothèse G est compact donc i∗ (U ) a un point limite, g. Soit Bu (g, ε) la
boule uniforme, centrée autour de g et de rayon ε. Par des considérations standard on peut réduire arbitrairement les distances d(f (x), f (y)) et d(f, g) à condition d’être dans un ouvert suffisament petit. On obtient supx∈X d(f (x), g(x)) <
ε pour tout f ∈ i−1 (V ) (V étant l’ouvert bien choisi). On en conclut que
Buni (g, ε) ∈ U et donc U → g.
4
4.1
Appendix
Propriété d’intersection finie
Définition 4.1. Soit X un espace topologique. X est quasi-compact si pour tout
recouvrement ouvert X = ∪i∈I Ui il existe un recouvrement fini X = ∪nj=1 Uij .
On remarque immédiatement que cette condition est équivalente à la suivante : si il existe une famille de fermée tel que ∩i∈I Fi = ∅ alors il existe des
fermés Fij en nombre fini tel que ∩nj=1 Fij = ∅. La contraposé de cette proposition est une reformulation extrêmement utile de la compacité :
Proposition 4.1. On a équivalence entre :
– X est quasi-compact.
– Pour toute famille de fermée E tel que toute intersection finie d’éléments
de E soit non-vide, alors ∩F ∈E F 6= ∅.
On dit que la famille E possède la propriété d’intersection finie, ou plus
simplement la PIF.
4.2
Anneaux booléens
Soit A un anneau. Un anneau est appellé booléen si pour tout a ∈ A on a la
relation a2 = a.
Par exemple, si E est un ensemble, P (E) muni de A · B = A ∩ B et A +
B = A∆B := (A\B) ∪ (B\A). On a les propriétés suivantes pour les anneaux
booléens :
Proposition 4.2. A est de caractéristique 2, et commutatif. Tout idéal finiment
engendré est principal. Tout idéal premier est maximal.
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Démonstration. Comme ∀x ∈ A x + 1 = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 = x + 2x + 1.
Ainsi A est bien de caractéristique 2.
Si a, b ∈ A on a a + b = (a + b)2 = a2 + b2 + ab + ba ainsi ab = −ba. Comme
−1 = 1 dans A on obtient la commutativité de A.
Supposons I = (a, b). Si on pose c = a + b − ab on peut voir que ac = a et bc = b
donc I = (c). Le cas I = (a1 , . . . , an ) se fait par induction.
Pour le dernier point, si p est premier, alors A/p est intègre, et tout 0 6= b ∈ A/p
vérifie b(b − 1) = 0. Comme p est premier, l’anneau quotient est intègre et donc
b = 0 ou b = 1 ce qui montre que l’anneau n’a que deux éléments, et donc
A/p ∼
= Z/2Z qui est un corps montrant la maximalité de p.
Proposition 4.3. Nil(A) = Jac(A) = {0}.
Démonstration. Comme tout les idéaux premiers de A sont maximaux on a
l’égalité Nil(A) = Jac(A). Un élément a ∈ A, a 6= 0 est dans Nil(A) si et
seulement si an = 0 pour n ∈ N mais an = a 6= 0 et par conséquent Nil(A) =
{0}.
4.3
Topologie sur l’espace des filtres
On peut aussi considérer les filtres comme des points d’un espace noté
Flt(X).
Proposition 4.4. L’ensemble formé des XM = {F ∈ Flt(X) | M ∈ F } forme
une base de topologie.
Démonstration. Soit F un filtre, F ∈ XX ce qui montre que tout F est dans
un ouvert de base.
Montrons que XM ∩N = XM ∩ XN , ce qui revient à montrer M, N ∈ F ⇒ M ∩
N ∈ F , ce qui est clair par l’axiome de l’intersection et M ∩ N ∈ F ⇒ M ∈ F
et N ∈ F ce qui est clair par l’axiome de l’extensionnalité.
Proposition 4.5. Soit X un espace topologique ou un ensemble et U (X) les
ultrafiltres sur X. On peut mettre une topologie
T sur U (X), les fermés de U (X)
étant les ensembles d’ultrafiltres S tel que
F ⊂ U ⇒ U ∈ S, et l’ensemble
F ∈S
vide.
Démonstration. Par définition l’ensemble vide et X sont fermés.
Une
de fermés est fermé, c’est clair en se rappellant que A ⊂ B ⇒
T intersection
T
A
⊂
A∈B
A∈A A.
T
Soit S, T deux ouverts. Supposons qu’on ait F ∈S∪T F ⊂ U
T . On veut montrer
que U T
∈ S ∪ T sinon il existerait Y, Z ⊂ X tel que T
Y ∈ F ∈S F et Y ∈
/ U
et Z ∈
/ F ∈T F . Par l’axiome d’extension, Y ∪ Z ∈ F inS∪T F et donc on a
Y ∈
/ U ,Z ∈
/ U et Y ∪ Z ∈ U , ce qui contredit la définition d’un ultrafiltre.
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4.4
Compactifié de Stone Cech de N
Soit βN l’espace des ultrafiltres sur N, muni de la topologie T dont la base
d’ouvert est donnée par XM = {U ∈ βN|M ∈ U } où M ⊂ N.
Proposition 4.6. βN est compact.
Démonstration. Prouvons que βN est Hausdorff. Soit U et W deux ultrafiltres
différents. Comme U 6= W il existe M ∈ U , M ∈
/ W . Comme U , W sont des
ultrafiltres N\M ∈
/ U et N \M ∈ Q
W . Alors, XM et XN\M séparent U et W .
On a l’inclusion évidente βN ,→ M ∈P (N) {0, 1} := X, ce dernier espace étant
compact par Tychonoff. Si on prends un élément µ de X\βN on remarque qu’une
des 5 possibilités suivantes doit tenir :
– µ(∅) = 1
– µ(N) = 0
– Il existe A tel que µ(A) = µ(N\A) = 0
– Il existe µ(A) = 1 et pour un A ⊂ B on a µ(B) = 0.
– Il existe A, B tel que µ(A ∩ B) = 0 et µ(A) = µ(B) = 1.
Si l’une des deux premières propriétés sont vérifiées on a µ ∈ π∅−1 (1) ∪ πN−1 (0)
qui est un ouvert.
Supposons par exemple qu’il existe A tel que µ(A) = µ(N\A) = 0. Alors µ ∈
−1
−1
πA
(0) ∩ πN\A
(0).
−1
Le cas suivant, µ ∈ πA
(1) ∩ πB 0. On peut traiter le dernier cas de manière
similaire. Finalement, chaque point dans X possède un voisinage dans X : βN
est donc compact.
La preuve marche également pour tout espace discret.
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