Topologie et Ultrafiltre - Les

Topologie et Ultrafiltre
Résumé
Les filtres généralisent la notion de convergence, et donc sont particu-
lièrement utiles en topologie.
1 Introduction
Les suites sont des notion extrêmement utiles dans les espaces métriques
mais malheureusement insuffisantes en topologie générale. Il existe un espace X
et deux topologies ayant les mêmes suites convergentes, par exemple X=Net
T1la topologie discrète, T2la topologie cofinie. Dans ces deux cas, xn→xsi
et seulement si xn=xa partir d’un certain rang.
Les suites ne sont donc pas toujours suffisante pour caractériser la topologie
associé à notre espace. Il existe une notion de suite généralisées qui est aussi
puissante que les filtres : cependant, des subtilités parfois difficiles à voir sont
cachées derrières les indices utilisés sur ces "suites généralisées". Par exemple, il
existe des "sous-suites" de suites généralisés tel que le cardinal de la sous-suite
est strictement plus grand que le cardinal de la suite originel.
L’étude des filtres est assez simple une fois le formalisme de la théorie des
ensembles assimilées, et donne des preuves courtes et élégantes.
2 Qu’est ce qu’un filtre ?
2.1 Premier pas avec les filtres
Soit Eun ensemble. Une topologie Tsur Edéfinit une famille d’ouverts, et
si P∈E, on peut définir l’ensemble Vdes voisinages d’un point P∈Ecomme
les sous-ensembles Aqui continennent un ouvert U, contenant P.
Vpossède les 4 propriétés suivantes dont la vérification est immédiate :
I) Si A∈Vet A⊂Balors B∈V(extentionnalité)
II) Si A∈Vet B∈Valors A∩B∈V(intersection)
III) E∈V
IV) ∅/∈V
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Définition 2.1. Soit Eun ensemble. Un filtre sur Eest une famille F⊂P(E)
qui vérifie les axiomes précédents. De plus, si pour tout filtre Gon a F⊂G⇒F=G
alors Fest appellé un ultrafiltre.
Si F⊂Gon dit que Gest plus fin que F. Un ultrafiltre n’admet donc pas de
filtre plus fin que lui.
A partir de maintenant, sauf mention du contraire on supposera que tous les
filtres sont définis sur un ensemble E, et plus tard sur un espace topologique X.
Exemple 2.1. On peut donner plusieurs exemples de filtres et d’ultrafiltres.
Si Eest un ensemble non-vide, à chaque x∈Eon peut associer l’ultrafiltre
Ux={A⊂E|x∈A}. Cet ultrafiltre est appellé ultrafiltre principal, ou ato-
mique.
Si x0∈R, on peut prendre le filtre F={A⊂R| ∃ε > 0,(x0, x0+ε)⊂A}qui
n’est pas un ultrafiltre (prendre A=Q).
On a le filtre de Fréchet F={A⊂N|Acest fini }. Un ultrafiltre sur Nest
principal si et seulement si il ne contient pas F.
Soit (xn)n∈Nune suite et Fn={xn, xn+1, xn+2, . . .}. Alors, F={A∈X|
Fn⊂Apour n∈N}est un filtre.
Voici une première proposition pour se familiariser avec les ultrafiltres :
Proposition 2.1. On a les équivalences entre les propositions suivantes :
a) Uest un ultrafiltre.
b) Pour tout A⊂E, soit A∈Usoit Ac∈U.
c) Si A∪B∈Ualors A∈Uou B∈U.
Démonstration. a) ⇒b) Soit Uun ultrafiltre tel que Ac/∈U. Alors, pour
tout B∈U:B∩A6=∅. Sinon, on aurait ∅ 6=B∩Ac∈Uet donc par
l’axiome I) Ac∈U. Par conséquent, la famille U∪ {C|A∩B⊂C, B ∈
U}définit un filtre plus fin que U. Par maximalité, U+=Uet donc
A∈U.
b) ⇒c) Supposons que B /∈U. Par hypothèse, on a donc Bc∈Uet donc
(A∪B)∩Bc=A∈U.
c) ⇒a) Supposons que Une soit pas maximal. Alors, soit Fun filtre conte-
nant Uet A∈F\U. On a A /∈U, et donc Ac∈U. En effet, E∈Uet
E=A∪Ac. Par conséquent, Ac∈Fet A∈Fdonc ∅ ∈ Fet on obtient
une contradiction.
Théorème 2.1. Soit Fun filtre sur un ensemble E. Il existe un ultrafiltre U
tel que F⊂U.
Démonstration. L’ensemble des filtres est partiellement ordonné. Si Cest une
chaîne de filtres, alors G=SF∈CFest un filtre. En effet, si ∅ ∈ Galors il
existe un F∈Ctel que ∅ ∈ F, ce qui est impossible. Clairement, E∈G.
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Supposons que A, B ∈G. Alors, A, B appartienent à un filtre en commun, donc
leur intersection appartient audit filtre, lui-même inclus dans G. Enfin, si A∈G
et A⊂B, alors A∈Fpour un certain F∈C. Mais alors, B∈Fet donc
F∈G.
Si on regarde la preuve a)⇒b)on a créé un nouveau filtre F(A)à partir d’un
ancien filtre Fet d’un sous-ensemble A⊂Esous la condition que A∩B6=∅si
B∈F. On peut généraliser cette construction et parler du filtre engendré par
une partie :
Proposition 2.2. Soit S⊂P(E)un ensemble de partie tel que toute inter-
section finie d’éléments de Ssoit non vide. Alors, il existe un plus petit filtre F
qui contienne S, appellé le filtre engendré par Set noté F(S)ou FE(S).
On appelle Sune base de filtre.
Démonstration. Soit F={A| ∃S1, . . . , Sn∈S, ∩n
i=1Si⊂A}. Clairement,
S⊂Fet Fdéfinit bien un filtre, minimal par construction.
Dans le cas précédent, on avait S=U∪A.
2.2 Filtres et suites
Dans le formalisme des filtres, à toute suite on peut associer un filtre, comme
le montre l’exemple 2.1. En fait, on a une définition de points d’accumulation
d’un filtre, de point limite d’un filtre ... Dans le cas d’un filtre provenant d’une
suite, les notions coïncident.
Soit Fun filtre sur un espace topologique X. On dit que xest un point
limite de F, noté F→x, si Vx⊂F. On dit que xest un point d’accumulation
de Fsi pour tout voisinage Ude x, pour tout A∈Fon a A∩U6=∅.
On peut voir facilement que xest un point d’accumulation de Fsi et seulement
si x∈ ∩A∈FA.
Proposition 2.3. Tout point limite d’un filtre Fest un point d’accumulation.
La réciproque est vraie si Fest un ultrafiltre.
Démonstration. Soit xtel que F→x. Si Vx⊂F,A∩U∈Fet donc en
particulier non-vide.
Si A∩Uest non-vide pour tout A∈F, U ∈Vxalors on peut prendre le filtre
Gengendré par Fet Vx, qui existe d’après 2.2. Par définition de GVx⊂Get
F⊂G. Par maximalité G=Fet donc Vx⊂F.
Proposition 2.4. Si Xest Hausdorff, alors un filtre n’admet qu’au plus qu’un
point limite.
Démonstration. Un filtre admet plusieurs limites si et seulement si il existe
un filtre Fengendré par Vxet Vy. Mais alors, tout voisinage de xet de y
s’intersectent et donc Xn’est pas Hausdorff.
Proposition 2.5. Soit (xn)n∈Nune suite dans un espace Xet Fle filtre associé
à la suite. Alors F→x⇔xn→x
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Démonstration. ⇒) Si F→xalors Vx⊂F. En particulier, si Uest un voisi-
nage arbitraire de x,U∈Fpar hypothèse et donc il existe un rang ktel que
(xn)n≥k⊂U. Ainsi xn→x.
⇐Si xn→x, soit Uun voisinage arbitraire de x. Alors, il contient un ensemble
de la forme (xn)n≥ket donc Vx⊂F.
Il en est de même avec les points d’accumulation : la preuve est similaire. Si x
est un point d’accumulation de Ftout ouvert contenant xintersecte toute partie
contenant un (xn)n≥kce qui revient à dire que xest un point d’accumulation
de xn.
2.3 Image directe d’un filtre
Définition 2.2. Soit f:X→Yune application ensembliste, et Fun filtre
sur X. L’image direct de Fpar f, noté f∗F, est le filtre engendré par les f(A)
pour A∈F.
Ce filtre est bien défini. En effet, on a f(A∩B)⊂f(A)∩f(B). Comme
A∩B6=∅l’ensemble S={f(A) : A∈F}forme bien une base de filtre.
Proposition 2.6. f∗F={B⊂Y|f−1(B)∈F}
Démonstration. Soit B∈f∗F. Alors, f(A)⊂Bpour A∈F. On a alors
f−1(f(A)) ⊂f−1(B). Comme A⊂f−1(f(A)) on en déduit que f−1(B)∈F.
Pour la deuxième inclusion, supposons que f−1(B)∈F. Alors, f(f−1(B)∈F
et f(f−1(B)⊂B.
En particulier
Proposition 2.7. Si fest surjective alors f∗F={f(A)|A∈F}
Démonstration. Il suffit juste de montrer que f∗F⊂ {f(A)|A∈F}.Soit
B∈f∗Fd’après la caractérisation précédente f−1(B)∈F. Comme fest
surjective, f(f−1(B)) = B. Par conséquent, en prenant A=f−1(B)on a bien
l’inclusion f∗F⊂ {f(A)|A∈F}.
Proposition 2.8. Soit f:N→Xune suite. Alors, f∗F→xsi et seulement
si fn→x, où Fest le filtre de fréchet.
Démonstration. Si f∗F→xalors, pour tout voisinage de x f−1(V)∈Fet
donc fn→x.
L’autre direction est similaire : si fn→x, alors f−1(V)⊂N\A, avec A fini, ce
qui montre l’inclusion Vx⊂f∗F.
Proposition 2.9. Soit f:X→Yune application continue entre espace topo-
logique. Si xest un point d’accumulation de Falors f(x)est un point d’accu-
mulation de f∗F.
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Démonstration. Soit B∈f∗Fet Wun voisinage de f(x). Alors, f−1(B)∈F
et donc f−1(W)∩f−1(B)6=∅(car xest un point d’accumulation de F). On a
donc ∅ 6=f(f−1(W)∩f−1(B)) ⊂B∩Wce qui montre que f(x)est un point
d’accumulation de f∗F.
Proposition 2.10. Soit f:X→Yune application ensembliste. Alors, fest
continue en xsi et seulement si F→x⇒f∗F→f(x)pour tout filtre F.
Démonstration. Pour la première implication, supposons que fest continue en
x. Soit F→x. On a donc l’inclusion Vx⊂F. Soit Vun voisinage de f(x).
f−1(V)∈Fpar hypothèse, mais alors par définition V∈f∗Fce qui signifie
que Vf(x)⊂f∗F.
Pour la réciproque il suffit de prendre le cas particulier F=Vx.
Proposition 2.11. Si f:X→Yest une application ensembliste et Uest un
ultrafiltre, f∗Uest un ultrafiltre.
Démonstration. Soit B /∈f∗U. Alors, f−1(B)/∈U. Donc, f−1(B)c∈U. Mais
f(f−1(B)c)⊂Bcet donc Bc∈f∗U.
Proposition 2.12. Soit (Xi)i∈Iune famille d’espaces topologiques, Xleur pro-
duit, et πi:X→Xila i-ème projection, Fi:= πi∗F. Alors, si Fest un filtre
sur Xon a équivalence entre F→xet Fi→xi.
Démonstration. Par la proposition 2.10 le sens direct est immédiat.
Supposons que πi∗F→xipour tout i. Prenons un voisinage Ude x,U=QiUi
où Ui=Xipour presque tout les indices i. Par hypothèses, Ui∈πi∗Fet donc
U∈F, autrement dit F→x.
Proposition 2.13. On a l’équivalence suivante :
a) Xest quasi-compact.
b) Tout filtre sur Xadmet un point d’accumulation.
c) Tout ultrafiltre converge.
Démonstration. a) ⇒b) Soit Fun filtre sur X. On sait, par compacité de
X, que x∈ ∩A∈FAsi et seulement si x∈ ∩n
i=1Aipour Ai∈F, mais la
dernière égalité est trivialement impliquée par la définition d’un filtre.
b) ⇒c) C’est clair : b) indique que tout ultrafiltre admet un point d’accu-
mulation, mais d’après la proposition 2.3 c’est équivalent à avoir un point
limite.
c) ⇒a) Supposons que tout ultrafiltre converge. Soit E= (Fi)i∈Iune fa-
mille de fermés possédant la propriété d’intersection finie (voir l’appendix
pour plus de détails). Alors, elle définit une base de filtre et par le théorème
de l’ultrafiltre on peut étendre F(E)en un ultrafiltre U. Comme ce der-
nier converge, il existe xtel que x∈ ∩A∈UAet en particulier x∈ ∩F∈EF.
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