Supposons que A, B ∈G. Alors, A, B appartienent à un filtre en commun, donc
leur intersection appartient audit filtre, lui-même inclus dans G. Enfin, si A∈G
et A⊂B, alors A∈Fpour un certain F∈C. Mais alors, B∈Fet donc
F∈G.
Si on regarde la preuve a)⇒b)on a créé un nouveau filtre F(A)à partir d’un
ancien filtre Fet d’un sous-ensemble A⊂Esous la condition que A∩B6=∅si
B∈F. On peut généraliser cette construction et parler du filtre engendré par
une partie :
Proposition 2.2. Soit S⊂P(E)un ensemble de partie tel que toute inter-
section finie d’éléments de Ssoit non vide. Alors, il existe un plus petit filtre F
qui contienne S, appellé le filtre engendré par Set noté F(S)ou FE(S).
On appelle Sune base de filtre.
Démonstration. Soit F={A| ∃S1, . . . , Sn∈S, ∩n
i=1Si⊂A}. Clairement,
S⊂Fet Fdéfinit bien un filtre, minimal par construction.
Dans le cas précédent, on avait S=U∪A.
2.2 Filtres et suites
Dans le formalisme des filtres, à toute suite on peut associer un filtre, comme
le montre l’exemple 2.1. En fait, on a une définition de points d’accumulation
d’un filtre, de point limite d’un filtre ... Dans le cas d’un filtre provenant d’une
suite, les notions coïncident.
Soit Fun filtre sur un espace topologique X. On dit que xest un point
limite de F, noté F→x, si Vx⊂F. On dit que xest un point d’accumulation
de Fsi pour tout voisinage Ude x, pour tout A∈Fon a A∩U6=∅.
On peut voir facilement que xest un point d’accumulation de Fsi et seulement
si x∈ ∩A∈FA.
Proposition 2.3. Tout point limite d’un filtre Fest un point d’accumulation.
La réciproque est vraie si Fest un ultrafiltre.
Démonstration. Soit xtel que F→x. Si Vx⊂F,A∩U∈Fet donc en
particulier non-vide.
Si A∩Uest non-vide pour tout A∈F, U ∈Vxalors on peut prendre le filtre
Gengendré par Fet Vx, qui existe d’après 2.2. Par définition de GVx⊂Get
F⊂G. Par maximalité G=Fet donc Vx⊂F.
Proposition 2.4. Si Xest Hausdorff, alors un filtre n’admet qu’au plus qu’un
point limite.
Démonstration. Un filtre admet plusieurs limites si et seulement si il existe
un filtre Fengendré par Vxet Vy. Mais alors, tout voisinage de xet de y
s’intersectent et donc Xn’est pas Hausdorff.
Proposition 2.5. Soit (xn)n∈Nune suite dans un espace Xet Fle filtre associé
à la suite. Alors F→x⇔xn→x
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