omslaga 6..6

{orders}ms/990839/benhis.3d -21.11.00 - 10:13
E
¨LE ¨MENTS ALGE ¨BRIQUES SUR LE CORPS
DES SE
¨RIES FORMELLES GE ¨NE ¨RALISE ¨ES EN
CARACTE
¨RISTIQUE FINIE
ALI BENHISSI
Introduction
Soient Kun corps commutatif et Gun groupe abe
¨lien totalement ordonne ¨.
Nous donnons des moyens de construction d'e
¨le ¨ments alge ¨briques sur le
corps KG des se
¨ries formelles ge ¨ne ¨ralise ¨es a ©supports bien ordonne ¨s.
Nous nous sommes inspire
¨s des travaux de Stephanescu [7] et [8] sur les
se
¨ries formelles usuelles dans plusieurs endroits de cet article.
Dans tout l'article, Gÿf2G;<0get 
Kde
¨signe une clo ªture alge ¨bri-
que de K.Sifest une se
¨rie formelle ge ¨ne ¨ralise ¨e, on note vfsa valuation
naturelle et Sfson support.
xx1. Ge
¨ne ¨ralisation de la me ¨thode de Rayner-Ribenboim
Nous reprenons les de
¨finitions et notations de Rayner dans [4] et [5]. Soient
ll'ensemble des sous corps de  Kde degre
¨fini sur K,l'enveloppe divisible
de Get pGla plus petite famille-corps de contenant l'ensemble bG,
des parties bien ordonne
¨es de G.
Plus pre
¨cise ¨ment, de ¨signons par al'ensemble des parties Ade telles que
le sous groupe hG[Aide engendre
¨par G[Aest de type fini modulo G;
c'est a
©dire hG[AiGX
r
i1
Zi, avec i2Aet p1Gf
S
n;S2bG;
n2Ng.OnapGp1G\a.
L'ensemble KpG  ff2K;Sf2pGg est un sous corps de
K contenant KG.
1.1. Proposition.Le corps C [
L2l
LpG est une clo
ªture alge
¨brique de
KG dans chacun des deux cas suivants:
MATH. SCAND. 85 (1999), 161^168
Received April 28, 1997.

{orders}ms/990839/benhis.3d -21.11.00 - 10:13
a) la caracte
¨ristique de K est nulle.
b) K est parfait de caracte
¨ristique p 6 0et G est p-divisible.
De
¨monstration.Cest hense
¨lien pour sa valuation naturelle v,d'apre ©s[4],
lemme 2 et alge
¨brique sur KG d'apre ©s[5]th.3.
Le cas a) re
¨sulte de [6], lemme 5.1.(i).
Supposons dans b) que C ne soit pas alge
¨briquement clos. D'apre ©s[6],
lemme 5.1.(ii), il existe f2C;vf<0, tel que le polyno
ªme XpÿXÿfsoit
irre
¨ductible sur C.Ona:fcf1f2, avec c2
K,vf1>0etSf2Gÿ.
Les polyno
ªmes : XpÿXÿfi,i1;2 admettent les se
¨ries g1ÿX
1
i0
fpi
1et
g2X
1
i1
fpÿi
2pour racines dans C. Notons que Sg2[
1
i1
pÿiSf2, qui est
bien ordonne
¨,d'apre ©s [6], p.133. On trouve une contradiction.
L'exemple suivant montre qu'en caracte
¨ristique non nulle, si les conditions
de (b) ne sont pas ve
¨rifie ¨es, le corps Cn'est plus alge ¨briquement clos.
Exemple. On suppose que caract Kp6 0. Soient a2K,2Gÿet
fX
1
i1
apÿiTpÿi.OnafpÿfÿaT0.
Si  a
p
p=2Kou n'est pas p-divisible, alors f=2C.
xx2. Crite
©res d'alge ¨bricite ¨en caracte ¨ristique non nulle
On suppose dans le reste de l'article que la caracte
¨ristique de Kest p6 0.
Soient Kpÿ1 [
1
n0
Kpÿnla clo
ªture radicielle de K,ll'ensemble des sous
corps de  Kde degre
¨sfinissurKpÿ1 et G0=fpÿn;n2N;2Gg.
Alors ~ K[
L2l
LpG0 contient une clo
ªture alge ¨brique de KG.
2.1. Exemples de se
¨ries de Neumann alge ¨briques. Soit f2~
Kune se
¨rie al-
ge
¨brique sur KG de valuation vf>0. Il re ¨sulte de [1], th. p.268, que si
X
1
n0
anXnest une se
¨rie de 
KX alge
¨brique sur 
KX, alors la se
¨riedeNeu-
mann X
1
n0
anfnest alge
¨brique sur KG.
a) Si qest une puissance de pet gX
1
n0
fqn,alorsgqÿgf0.
162 ali benhissi

{orders}ms/990839/benhis.3d -21.11.00 - 10:14
b) Si anest la somme, re
¨duite modulo p, des chiffres de n,enbasep,et
gX
1
n0
anfn,alorsfpÿ1fÿ1gpÿfÿ12gf0:
c) Soient s2Net gX
1
n0Cn
2nsfn.Ona:gpÿ1X
pÿ1
2
i0Ci
2isfiÿ1
.
On suppose maintenant que p2. Soit gX
1
n0
anfn;ou©anest une suite
d'e
¨le ¨ments de F2,de
¨finie dans [2] pour chacun des exemples suivants:
d) Si anest la suite de Rudin-Shapiro, alors: 1f5g21f4g
f30:
e) Si anest la suite de Baum et Sweet, alors: g3fg 10:
f) Si anest la suite de pliage de papier, alors: f1f4g21f4g
10:
Notation. Dans tout le reste de l'article qde
¨signe une puissance de pet d
un entier naturel non divisible par p.
2.2. Lemme.Soit f X
s2S
asTs
dqnsune se
¨rie de ~
K, ou
©ns2Zet s2Gÿ.
On suppose que sn'est pas q-divisible pour tout s 2Setsÿtn'est pas q-
divisible de
©s que s6 t.
Si f est alge
¨brique sur KG, alors il existe n 2Net h 2
K1
dG tels que:
h;f;fq; :::; fqnsoient line
¨airement de ¨pendants sur K.
De
¨monstration.Ilexisten2Net g;g0; :::; gn2KG non tous nuls tels
que: g0fg1fq::: gnfqng. On peut supposer que: gibiThi, avec
les bi2Knon tous nuls, >0etvhi0.
On a: X
n
i0
biX
s2S
aqi
sT
s
dqnsÿi
!
TX
n
i0
hiX
s2S
aqi
sT
s
dqnsÿi
!
g.
Notons E1et E2les deux expressions de gauche. Pour voir si un terme de
E1se re
¨duit avec un terme de E2, on est amene ¨a ©e ¨crire des e ¨galite ¨sdutype:
s
dqnsÿit dqntÿj;ou©>0;0i;jn:
Supposons que: nsÿiu>0.
Si ntÿjÿv0, alors squdqvtet qdivise s: absurde.
Si ntÿjv>0;on distingue les trois cas suivants
a) Si uv,alorssÿtdqu, donc s6 tet qdivise sÿt.
b) Si u<v,alorstqvÿusÿdqv, donc qdivise t.
c) Si v<u, on trouve que qdivise s.
Dans les trois cas, on aboutit aussi a
©une contradiction.
Ainsi les termes de E1qui se re
¨duisent constituent une se ¨rie de 
K1
dG
e
¨le ¨ments alge ¨briques sur le corps des se ¨ries formelles ... 163

{orders}ms/990839/benhis.3d -21.11.00 - 10:15
et les autres se trouvent, par identification dans g.D'ou©:
X
n
i0
bifqih2 K1
dG:
Notation.Danslasuite,de
¨signe un e ¨le ¨ment de Gÿnon divisible par q.
Exemple.Siaiest une suite d'e
¨le ¨ments de 
K,pe
¨riodique a ©partir d'un
certain rang, alors la se
¨rie fX
1
i0
aiT
dqide ~
K, est alge
¨brique sur KG.
En effet, quitte a
©changer un nombre fini de termes, on peut supposer qu'il
existe n2N, tel que ainai, pour tout i2N.
On a
fX
nÿ1
i0X
1
k0
aiknT
dqikn
X
nÿ1
i0
aiX
1
k0
T
dqkn
!
qÿi
:
Soit gX
1
k0
T
dqkn .OnagqnÿgÿTqn
d0. On conclut que fest alge
¨brique
sur KG.
2.3. Proposition.La se
¨rie f X
1
i0
aiT
dqide ~
K est alge
¨brique sur KG si
et seulement si il existe n 2Ntel que le syste
©me X
n
t0
aqt
itYt0i2N
admet une solution non triviale dans K.
De
¨monstration.Sifest alge
¨brique, il existe h2
K1
dG et des con-
stantes non toutes nulles c0; :::; cn2Ktels que: c0fc1fq::: cnfqnh.
On trouve: X
n
t0X
t
i0
ctaqt
iTqtÿi
dX
1
i1X
n
t0
ctaqt
it
!
T
dqih.
D'ou©:X
n
t0
ctaqt
it0, pour tout i2N.
Re
¨ciproquement, soit c0; :::; cnune solution non triviale du syste
©me.
On a: X
n
t0
ctfqtX
n
t0X
t
i0
ctaqt
itTqtÿi
d:
2.4. Corollaire.Soit aiune suite d'e
¨le ¨ments de Kpÿ1 et L Kai;i2N.
164 ali benhissi

{orders}ms/990839/benhis.3d -21.11.00 - 10:15
Si la se
¨rie fX
1
i0
aiT
dqiest alge
¨brique sur KG, alors l'extension L=Kest
d'exposant fini.
De
¨monstration.Ilexisten2Net c0; :::; cnÿ12Ktels que: aqn
in
X
nÿ1
t0
aqt
itct,pourtouti2N:Par re
¨currence, il existe s2Ntel que: LpsK.
2.5. Corollaire.Soient f et g deux se
¨ries de ~
Kalge
¨briques sur KG
telles que: SgGÿet f X
1
i0
aiT
dqi. Alors la se
¨rie: h X
1
i0
aig1
qiest aussi
alge
¨brique sur KG.
De
¨monstration.Soitc0; :::; cn2Kune solution non triviale de  pour f.
On a: X
n
t0
cthqtX
n
t0X
t
i0
ctaqt
igqtÿi.
xx3. Application aux corps finis
3.1. Proposition.Soit f X
1
i0
aiT
dqi2~
K une se
¨rie a ©coefficients dans un
corps fini. Alors f est alge
¨brique sur KG si et seulement si la suite aiest
pe
¨riodique.
De
¨monstration. Soit c0; :::; cn2Kune solution non triviale de .On
peut supposer cn1. Pour i2N;on pose: Aiai;ai1; :::; ainÿ1:Il existe
i6 jtels que AiAj.D'ou©:ainajn; :::; ainkajnk,pourtoutk2N:
Exemples.
a) La se
¨rie fX
1
i0
T
q2iest transcendante sur KG.
b) De
¨finissons les polyno ªmes syme ¨triques:
SkX1; :::; Xn X
1i1:::ikn
Xi1:::Xik:
Soient a1; :::; andes e
¨le ¨ments non nuls de 
Fp.
La se
¨rie: fX
1
k1
Ska1; :::; anT
dqkest alge
¨brique sur KG.
3.2. Corollaire. Soient ai2N,0aipÿ1pour tout i 2N,et
ail'image
de aidans Fp,alorslase
¨rie f X
1
i0
aiT
dqiest alge
¨brique sur KG si et seu-
lement si le nombre re
¨el: X
1
i0
ai
piest rationnel.
e
¨le ¨ments alge ¨briques sur le corps des se ¨ries formelles ... 165