R R R R2 R1 R2 R1 R2 R1

TD – EC2Correction PCSI22013 – 2014
Circuits du 1er ordre
Exercice 1 : Comportement de Cet Len RP et à l’instant initial.
Que vaut l’intensité du courant dans les différentes branches à t= 0+sachant qu’on ferme l’inter-
rupteur Kàt= 0 dans les deux premiers circuits alors qu’on l’ouvre à t= 0 dans le dernier ?
Même question en régime permanent.
E
iKRiR
R
iC
C
Circuit 1
E
iK
R2
iL
L
iC
C
R1
Circuit 2
ηi
R2
C
iC
iL
L
R1
K
Circuit 3
Pour déterminer les conditions initiales , on représente chaque circuit à t= 0−puis à t= 0+en tenant
compte de la continuité de la tension aux bornes des condensateurs et de l’intensité du courant dans
les bobines.
•uC(0−) = uC(0+) = U0⇒, le condensateur est équivalent à un générateur idéal de tension U0
(un interrupteur fermé dans le cas usuel où U0= 0 : condensateur déchargé).
•iL(0−) = iL(0+) = I0⇒, la bobine est équivalente à un générateur idéal de courant I0(un
interrupteur ouvert dans le cas usuel où I0= 0 : pas de courant dans la branche).
Pour le régime permanent, on remplace les condensateurs par des interrupteurs ouverts (iC=C.duC
dt =
0) et les bobines par des interrupteurs fermés (uL=L.diL
dt = 0).
Une fois les circuits simplifiés, on utilise les lois étudiées lors du chapitre précédent.
Circuit 1
E
iKRiR
R
iC
C
t= 0−,uC(0−) = 0
E
iKRiR
R
iC
C
t= 0+,uC(0+) = 0
E
iKRiR
R
iC
C
t→ ∞,iC(∞) = 0
Àt= 0+, le résistor de droite est court circuité, aucun courant ne le traverse et iR(0+) = 0. On se
retrouve avec un circuit équivalent à une seule maille et la loi de Pouillet donne i(O+) = iC(0+) = E
R.
Pour t→ ∞, aucun courant ne traverse le condensateur, iC(∞) = 0. On se retrouve à nouveau avec
un circuit équivalent à une seule maille et la loi de Pouillet donne cette fois i(∞) = iR(∞) = E
2R.
Circuit 2
E
iK
R2
iL
L
iC
C
R1
t= 0−,uC(0−) = 0, iL(0−) = 0.
E
iK
R2
iL
L
iC
C
R1
t= 0+,uC(0+) = 0, iL(0+) = 0.
E
iK
R2
iL
L
iC
C
R1
t→ ∞,iC(∞) = 0, uL(∞) = 0.
1

PCSI22013 – 2014 Correction Circuits du 1er ordre en régime transit.
Àt= 0+, le résistor R2est dans une branche ouverte, on a donc iL(0+) = 0, on se ramène à un
circuit équivalent à une seule maille et d’après la loi de Pouillet, i(0+) = iC(0+) = E
R1.
En régime permanent, c’est le condensateur qui est équivalent à un interrupteur ouvert (iC(∞) = 0),
on se ramène à un circuit équivalent à une seule maille et d’après la loi de Pouillet on a cette fois
i(∞) = iL(∞) = E
R1+R2.
Circuit 3
ηi
R2
C
iC
iL
L
R1
η
K
t= 0−,iL(0−) = 0, uC(0−) = 0
ηi
R2
C
iC
iL
L
R1
K
t= 0+,uC(0+) = 0, iL(0+) = 0.
ηi
R2
C
iC
iL
L
R1
K
t→ ∞,uL(∞) = 0, iC(∞) = 0.
Pour t < 0−,Kest fermé et la partie située à droite du générateur de courant est court circuitée : tout
le courant passe par Kfermé et toutes les intensités et tensions sont nulles à droite du générateur.
Àt= 0+,iL(0+) = 0 et le générateur impose i(0+) = iC(0+) = η.
En régime permanent, iC(∞) = 0 et iL(∞) = i(∞) = η.
Exercice 2 : Comportement de Cet Len RP et à l’instant initial.
Que vaut l’intensité du courant iàt= 0+sachant qu’on ferme l’interrupteur Kàt= 0 dans les
deux premiers circuits alors qu’on l’ouvre à t= 0 dans le dernier ?
Même question en régime permanent.
E
K
R
C2 C1
i
rr
Circuit 1
E
KL
R
i
C
Circuit 2
ηL1
R
i
L2 K
Circuit 3
En utilisant les mêmes méthodes que lors de l’exercice précédent,
Circuit 1
E
K
R
C2 C1
i
rr
t= 0−,uC1(0−) = 0, uC2(0−) = 0
E
K
R
C2 C1
i
rr
t= 0+,uC1(0+) = 0, uC2(0+) = 0
E
K
R
C2 C1
i
rr
t→ ∞,iC1(∞) = 0, i∞(0−) = 0
Àt= 0+, le résistor Rest court circuité, la tension aux bornes des résistors rest Ed’où i(0+) = E
r.
En régime permanent, le condensateur sont équivalents à des interrupteurs ouverts, on se ramène à
un circuit à une maille et la loi de Pouillet donne i(∞) = E
R+r.
2

TD – EC2Correction PCSI22013 – 2014
Circuit 2
E
KL
R
i
C
t= 0−,uC(0−) = 0, iL(0−) = 0
E
KL
R
i
C
t= 0+,uC(0+) = 0, iL(0+) = 0
E
KL
R
i
C
t→ ∞,iC(∞) = 0, uL(∞) = 0
Àt= 0+, la continuité de l’intensité dans la bobine impose i(0+) = 0 (le générateur de tension idéal
est court circuité !).
En régime permanent, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert, on se ramène à
un circuit à une seule maille et la loi de Pouillet donne i(∞) = E
R.
Circuit 3
ηL1
R
i
L2
η
K
t= 0−,iL1(0−) = 0, iL2(0−) = 0
ηL1
R
i
L2 K
t= 0+,iL1(0+) = 0, iL2(0+) = 0
η
L1
R
i
L2
K
tø∞,uL1(∞) = 0, uL2(∞) = 0
Pour t < 0−,Kest fermé et la partie située à droite du générateur de courant est court circuitée : tout
le courant passe par Kfermé et toutes les intensités et tensions sont nulles à droite du générateur.
Àt= 0+,i(0+) = iL1(0+) = 0.
En régime permanent, la branche contenant Rest court cicuitée et i(∞) = 0.
Exercice 3 : Détermination rapide de la réponse d’un circuit
On considère les quatre circuits suivants :
E
r
CuC R
Circuit 1
ηiC
CR
Circuit 2
ηiL
LR
Circuit 3
E
r
LuL R
Circuit 4
Pour t < 0, Eet ηsont nuls et pour t≥0, ils sont constants.
Àt= 0−, les condensateurs sont déchargés et les bobines ne sont parcourues par aucun courant.
Déterminer les réponses uC(t), iC(t), iL(t) et uL(t).
Plutôt que de se lancer dans les calculs, on peut essayer de se ramener à un circuit étudié en classe
en utilisant les transformations Thévenin ↔Norton. On pourra en déduire l’équation différentielle
et en déduire l’expression cherchée en tenant compte des conditions initiales.
Circuit 1
E
r
CuC R
↔
E
r
rR C uC
↔
ETh
rTh
CuC
On se ramène au circuit du cours avec les mêmes conditions initiales d’où uC(t) = ETh[1 −e−t
τ] avec
ETh =RE
R+ret τ=RTh.C où RTh =Rr R+r.
3

PCSI22013 – 2014 Correction Circuits du 1er ordre en régime transit.
Circuit 2
ηiC
CR
↔
ETh
R
iC(t)
CuC
On se ramène au circuit du cours avec les mêmes
conditions initiales d’où iC(t) = C.duC(t)
dt =ETh Re−t
τ
avec ETh =Rη et τ=RC.
Circuit 3
ηiL
LR
↔
ETh
R
iL(t)
L
On se ramène au circuit du cours avec les mêmes conditions
initiales d’où iL(t) = ETh
R[1 −e−t
τ] avec ETh =Rη et τ=L
R.
Circuit 4
E
r
LuL R
↔
E
r
rR L uL
↔
ETh
rTh
LuL
On se ramène au circuit du cours avec les mêmes conditions initiales d’où uL(t) = Ldi(t)
dt =ETh[e−t
τ]
avec ETh =RE
R+ret τ=L rTh où rTh =Rr R+r.
Exercice 4 : Relations constitutives, associations.
1. Relations constitutives : quelle est la relation liant iàupour chaque figure ?
i
C
+q
u
Fig. 1
C
i
+q
u
Fig. 2
C
i
+q
u
Fig. 3
C
i
+q
u
Fig. 4
2. Association de condensateurs :
i
i1C1
i2C2
u
Fig. 5
=
i
Céq, para
uiC1C2
u
u1u2
Fig. 6
=
i
Céq, série
u
Par application des lois de Kirchhoff et des relations constitutives, exprimez Céq, par la capacité
du condensateur équivalent à l’association en parallèle de C1et C2(figure 5).
Généralisez à une association de ncondensateurs en parallèle.
Même question pour une association en série (figure 6).
3. Mêmes questions pour de telles associations de bobines.
1. Relations constitutives :
i
C
+q
u
Fig. 1
C
i
+q
u
Fig. 2
C
i
+q
u
Fig. 3
C
i
+q
u
Fig. 4
4

TD – EC2Correction PCSI22013 – 2014
Fig. 1 : la flèche qui représente la tension uest orientée de l’armature chargée −qvers +q, on
a donc q=Cu et l’intensité iest orientée vers l’armature +qdonc i=dq
dt d’où i=Cdu dt .
Fig 2. q=−Cu (orientation de u) et i=dq
dt (on peut représenter iorientée vers l’armature +q)
d’où i=−Cdu
dt .
Fig 3. q=−Cu et i=−dq
dt (orientation de iet u) d’où i=Cdu dt .
Fig 4. q=Cu et i=−dq
dt d’où i=−Cdu dt .
2. Associations
i
i1C1
i2C2
u
Fig. 5
=
i
Céq, para
uiC1C2
u
u1u2
Fig. 6
=
i
Céq, série
u
•Condensateurs en parallèle (figures 5) : la tension aux bornes des condensateurs est u1=
C1di1
dt =u2=C2di2 dt =uet par application de la loi des nœuds,
i=i1+i2=C1
du
dt +C2
du
dt = (C1+C2)du dt =Céq, para.du dt avec Céq, para =C1+C2
•Condensateurs en série (figures 6) : on a cette fois i1=i2=iet par additivité des tensions
u=u1+u2. En dérivant par rapport au temps,
du1
dt +du2 dt =i C1
+i
C2
=du
dt =i Céq, série
avec 1
Céq, série
=1
C1
+1
C2
•Bobines en série (figures 6’) : ici i1=i2=iet par additivité des tensions,
u=u1+u2=L1
di
dt +L2
di
dt = (L1+L2)di dt =Léq, série.di dt avec Léq, série =L1+L2
i
i1L1
i2L2
u
Fig. 5’
=
i
Léq, para
uiL1L2
u
u1u2
Fig. 6’
=
i
Léq, série
u
•Bobines en dérivation (figures 5’) : dans cette situation, u1=L1di1
dt =u2L1di1 dt =uet
d’après la loi des nœuds, i=i1+i2. En dérivant par rapport au temps,
di1
dt +di2 dt =u L1
+u
L2
=di
dt =u Léq, para
avec 1
Léq, para
=1
L1
+1
L2
On peut généraliser à l’association de ndipôles :
Bobines Condensateurs
uk=Lkdik
dt ⇒ik=1 LkRukdt ik=Cduk dt ⇒uk=1 CkRikdt
Série u=Pkuk
Léq =
n
X
k=1
Lk
1
Céq
=
n
X
k=1
1
Ck
Parallèle i=Pkik1
Léq
=
n
X
k=1
1
Lk
Céq =
n
X
k=1
Ck
5