CIRCUITS LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE 1 Constantes de temps

CIRCUITS LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE
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Constantes de temps
On soumet deux systèmes 1 et 2, à une entrée en échelon. Les sorties correspondantes sont
indiquées ci-dessous. Quelles sont les constantes de temps des deux systèmes ?
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Recherche de régimes permanents (I)
Dans les montages ci-dessous, déterminer la tension aux bornes de chaque condensateur
lorsque le régime permanent est atteint.
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Recherche de régimes permanents (II)
Dans les montages ci-dessous, déterminer l’intensité du courant circulant dans chaque bobine
lorsque le régime permanent est atteint.
Réponse : (b) i∞ =
R2 E
R1 (R2 + R3 ) + R2 R3
2
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Résistance de fuite d’un condensateur
Soit un condensateur de capacité C et présentant une résistance de fuite Rf . On peut modéliser le condensateur par l’association en parallèle de Rf et C. On mesure la tension aux bornes
du condensateur à l’aide d’un voltmètre électronique parfait (de résistance interne infinie). Ce
condensateur ayant été chargé sous une tension E à l’aide d’une source idéale de tension, on
ouvre le circuit. Au bout d’un temps T , on constate que la tension indiquée par le voltmètre
n’est plus que E 0 < E.
1) Comment expliquer ces observations ?
2) Donner l’expression de Rf en fonction de C, E, E 0 et T .
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Concours des Petites Mines 2007.
On considère le circuit ci-contre. L’interrupteur est
ouvert depuis très longtemps. À l’instant t = 0
pris pour origine des temps, on ferme l’interrupteur
K.
1) Préciser les valeurs de i(0− ), i1 (0− ), i2 (0− ) et
u(0− ) juste avant la fermeture de l’interrupteur.
2) Préciser les valeurs de i(0+ ), i1 (0+ ), i2 (0+ ) et
u(0+ ) juste après la fermeture de l’interrupteur.
3) Préciser les valeurs i∞ , i1∞ , i2∞ et u∞ du régime
établi quand t → ∞.
4) Établir l’équation différentielle vérifiée par u(t)
ainsi que la solution u(t).
5) Tracer l’allure de u(t).
3t
E 2E −
e RC .
Réponse : 4) u(t) = +
3
3
3
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Décharge d’un condensateur dans un autre
On considère le circuit ci-dessous. À t = 0 on ferme l’interrupteur avec u1 (0) = U0 et u2 (0) = 0.
1) Déterminer u1 (t) et u2 (t). Quelles sont leurs valeurs lorsque t → ∞ ?
2) Faire le bilan énergétique.
Réponse : 1) u1 (t) =
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t
C1
C2
U0 +
U0 e− τ ;
C1 + C2
C1 + C2
u2 (t) =
t
C1
U0 (1 − e− τ ).
C1 + C2
Diode en transitoire.
La diode utilisée dans le montage ci-dessous est conductrice à partir d’une tension de seuil
us = 0, 6 V et de résistance interne négligeable (voir caractéristique ci-dessous). La source de
tension utilisée possède une fem E > 0.
1) On ferme l’interrupteur K, décrire qualitativement ce qui se passe.
K
R
E
L
2) Le régime permanent étant atteint, on ouvre K : décrire qualitativement puis quantitativement ce qui se passe. Calculer le temps au bout duquel la diode n’est plus conductrice.
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Café chaud
Ayant préparé une tasse de café de température initiale T0 = 80◦ C, on observe qu’au bout de
dix minutes la température est descendue à T1 = 60◦ C. On cherche à savoir combien de temps
la tasse mettra pour perdre 20◦ C supplémentaires. La température ambiante est Text = 20◦ C.
1) Expliquer pourquoi la réponse simple "dix minutes de plus" est très certainement fausse.
Doit-on attendre plus ou moins longtemps ?
2) Proposer une équation différentielle du premier ordre pour modéliser l’évolution de la
température.
3) Avec cette hypothèse, exprimer la loi d’évolution de la température en fonction du temps.
Calculer numériquement les constantes apparaissant dans la loi.
4) Exprimer l’instant t2 pour lequel la température de la tasse atteint T2 = 40◦ C. Comparer
ce résultat à celui de la question 1.
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Portrait de phase
Un dipôle RL série est fermé à t = 0 sur une source idéale de tension continue E. On donne
les relevés expérimentaux ci-dessous : i(t), dudtR en fonction de uR tension aux bornes de la
résistance.
En déduire les valeurs de R, L et E.
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