Plus Grand Commun Diviseur Plus Petit Commun Multiple Le P.G.C.D. de deux nombres est égal au produit des facteurs premiers communs aux deux nombres, chacun d'eux étant affecté de son plus petit exposant. Le P.P.C.M. de deux nombres est égal au produit de tous les facteurs premiers (communs ou non) des deux nombres, chacun d'eux étant affecté de son plus grand exposant. Si deux nombres sont premiers entre eux, alors leur P.G.C.D. vaut 1. Si deux nombres sont premiers entre eux alors leur P.P.C.M. est égal à leur produit. Si un nombre est diviseur d’un autre, alors ce nombre est le P.G.C.D. de lui-même et de l'autre nombre. Si un nombre est multiple d'un autre, alors ce nombre est le P.P.C.M. de lui-même et de l'autre nombre. Rappel des méthodes de recherche du PGCD Rappel des méthodes de recherche du PPCM 1) Cas particuliers a) Nombres multiples l'un de l'autre : leur PGCD est le plus petit des 2 nombres. Exemple : le PGCD de 18 et 6 est 6. 1) Cas particuliers a) Nombres multiples l'un de l'autre : leur PPCM est le plus grand des 2 nombres. Exemple : le PPCM de 18 et 6 est 18. b) Nombres premiers entre eux : leur PGCD est 1. Exemple : le PGCD de 8 et 9 est 1. b) Nombres premiers entre eux : leur PPCM est le produit des 2 nombres. Exemple : le PPCM de 8 et 9 est 72. 2) Comparaison des ensembles de diviseurs Exemple : le PGCD de 12 et 18 est 6. En effet, div 12 = {1,2,3,4,6,12} et div 18 = {1,2,3,6,9,18} 2) Comparaison des ensembles de multiples Exemple : le PPCM de 12 et 18 est 36. En effet, 12ℕ = {0,12,24,36,48,...} et 18ℕ = {0,18,36,54,...} 3) Décomposition en facteurs premiers Après avoir décomposé chaque nombre en un produit de puissances de facteurs premiers, le PGCD des deux nombres s'obtient en multipliant les facteurs communs, chacun d'eux étant affecté de son plus petit exposant. 3) Décomposition en facteurs premiers Après avoir décomposé chaque nombre en un produit de puissances de facteurs premiers, le PPCM des deux nombres s'obtient en multipliant tous les facteurs communs ou non, chacun d'eux étant affecté de son plus grand exposant. Exemple : Recherche du PGCD de 120 et 144 Exemple : Recherche du PPCM de 120 et 144 120 = 23 . 3 . 5} ⇒ 𝑃𝐺𝐶𝐷(120; 144) = 23 . 3 = 24 144 = 24 . 32 120 = 23 . 3 . 5} ⇒ 𝑃𝑃𝐶𝑀(120; 144) = 24 . 32 . 5 = 720 144 = 24 . 32