Modèle mathématique.

Correction du contrôle n°1
EXERCICE 1
• 25 est un multiple de 5 et un diviseur de 50.
• 1245 est divisible par 3, par 5 et par 15.
• Diviseurs de 20 : 1, 2, 4, 5, 10, 20. Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Ils ont 3 diviseurs communs (1, 2 et 4).
• On simplifie la fraction 
 par le PGCD de 45 et 105 (donc aussi le PGCD de 105 et 45 !) c'est-à-dire par 15.
• 5082 et 4632 ne peuvent pas être premiers entre eux car ils ont 2 comme diviseur commun. En revanche on remarque que 2 ne
peut pas être leur PGCD car 5082 et 4632 sont aussi divisibles par 3…
EXERCICE 2
selon votre sujet : OU
Diviseurs de 54 : 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Diviseurs de 126 : 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126.
Diviseurs de 90 : 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. Diviseurs de 210 : 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210.
On trouve ainsi directement : PGCD (54 ; 90) = 18. On trouve ainsi directement : PGCD (126 ; 210) = 42.
EXERCICE 3
1°) Voir ci-contre (attention à l’ordre des lignes, vous n’aviez pas tous le même !)
2°) D’après le tableau, la fraction 
 n’est pas irréductible car on peut la
simplifier par 9.
3°) D’après le tableau, la fraction 
 n’est pas irréductible car on peut la simplifier
par 2.
2
5
9
774 est divisible par
oui
non
oui
322 est divisible par
oui
non
non
1035 est divisible par
non
oui
oui
4°) Utilisons l’algorithme d’Euclide : 1035 = 322 × 3 + 69
322 = 69 × 4 + 46
69 = 46 ×1 + 23
46 = 23 ×2 + 0
Donc PGCD (322 ; 1035) = 23.
La fraction 
 peut donc être simplifiée par 23 ; on trouve alors   = 
EXERCICE 4 Attention vous n’aviez pas tous le même sujet !
1er SUJET : avec 110 et 88
1°) Par l’algorithme d’Euclide : 110 = 88 × 1 + 22
88 = 22 × 4 + 0 donc PGCD (110 ; 88) = 22.
2°) Cherchons d’abord le côté c (en cm) des carrés : pour ne pas qu’il y ait de perte, c soit être à la fois un diviseur de 110 et de 88
(donc un diviseur commun !). Enfin on veut les carrés les plus grands possibles, donc c est le PGCD de 110 et 88, c'est-à-dire 22.
Ainsi les carrés que l’ouvrier doit découper mesureront 22 cm de côté.
Cherchons alors combien il y en aura : 
 = 5 carrés dans la longueur de la plaque.
 = 4 carrés dans la largeur de la plaque.
Comme 5 × 4 = 20, l’ouvrier pourra découper 20 carrés (de chacun 22 cm de côté) dans une plaque de métal.

2ème SUJET : avec 105 et 75
1°) Par l’algorithme d’Euclide : 105 = 75 × 1 + 30
75 = 30 × 2 + 15
30 = 15 × 2 + 0 donc PGCD (105 ; 75) = 15.
2°) Cherchons d’abord le côté c (en cm) des carrés : pour ne pas qu’il y ait de perte, c soit être à la fois un diviseur de 105 et de 75
(donc un diviseur commun !). Enfin on veut les carrés les plus grands possibles, donc c est le PGCD de 105 et 75, c'est-à-dire 15.
Ainsi les carrés que l’ouvrier doit découper mesureront 15 cm de côté.
Cherchons alors combien il y en aura : 
 = 7 carrés dans la longueur de la plaque.
 = 5 carrés dans la largeur de la plaque.
Comme 7 × 5 = 35, l’ouvrier pourra découper 35 carrés (de chacun 15 cm de côté) dans une plaque de métal.
EXERCICE 5
1°) La première chose à faire est d’essayer quelques exemples pour se faire une idée (avec les tableaux pour des petits nombres, avec
l’algorithme d’Euclide par exemple pour de grands nombres). On se rend compte que tous nos essais nous amènent à la même
conjecture : deux entiers naturels consécutifs ont effectivement l’air d’être toujours premiers entre eux !
2°) Pour prouver que deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux, on le prouve avec des lettres.
Appelons n et n+1 les deux entiers consécutifs.
Par l’algorithme d’Euclide : n+1 = n × 1 + 1
n = 1 × n + 0 donc PGCD (n +1 ; n) = 1 : ils sont toujours premiers entre eux !!!
Vincent POULIN – septembre 2015