Introduction `a l`électromagnétisme - Université de Cergy

Université de Cergy-Pontoise
S3 Introduction à l’électromagnétisme
2015-16
Introduction à l’électromagnétisme
Partie A: Electrostatique
I. Forces et champs électrostatiques
II. Potentiel électrostatique, énergie potentielle électrostatique
III. Théorème de Gauss
IV. Forme locale des équations de l’électrostatique
V. Conducteur parfait à l’équilibre électrostatique
VI. Dipôle électrostatique
Partie B: Magnétostatique – Induction
I. Milieu conducteur, courant, loi d’Ohm
II. Champ magnétique, force de Lorentz, force de Laplace
III. Champ magnétique. Loi de Biot et Savart
IV. Propriétées du champ magnétique. Théorème d’Ampère
V. Induction magnétique
1
Travaux dirigés
TD.1. Champ et potentiel électrostatiques, principe de superposition
TD.2. Théorème de Gauss
TD.3. Conducteurs à l’équilibre
TD.4. Dipôle électrostatique
TD.5. Force de Lorentz – Force de Laplace
TD.6. Loi de Biot et Savart
TD.7. Théorème d’Ampère
TD.8. Induction
Énoncés des travaux dirigés, corrigés des exercices supplémentaires, annales (partiels et examens
des années précédentes) et formulaire de mathématiques pour la physique :
https://trambly.u-cergy.fr/L2Electromag/index.html
Bibliographie succincte
• H-Prépa “Électromagnétisme”, 1ère année MPSI-PCSI-PTSI, Hachette.
Pour l’induction voir : 2ème année MP-PC-PSI-PT.
• “Physique tout en un”, 1ère année, Dunod.
Pour les formes locales, les conducteurs et l’induction voir : 2ème année MP.
• “Physique 2. Électricité et magnétisme”, Halliday, Resnick et Walker, Dunod.
• Pour exercices (méthodes) et annales voir :
“Physique : 1ère année” MPSI-PTSI, Grécias et Migeon, Tec & doc, Lavoisier.
“Physique : 2ème année” PSI, Augier et More, Tec & doc, Lavoisier.
• Sites WEB :
Figures animées pour la physique :
http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/index.html
Champ électrostatique et champ magnétique :
http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Elec/Champs/Index_Champs.html
Videos d’expériences illustrant le cours :
https://cpinettes.u-cergy.fr/Videos-Electromag_1.html
2
Quelques repères historiques :
•
7ème siècle avant J.C. : Thalès de Milet : Corps électrisés
Si l'on frotte de l'ambre, il attire de petits objets. L'ambre est donc un corps « électrisé »
•
Début 18ème siècle : Dufay (1698-1739) : 2 types d'électricité : positive et négative
« Des objets frottés contre de l'ambre se repoussent, ainsi que des objets frottés contre une
baguette de verre, mais les objets frottés avec de l'ambre attirent ceux frottés avec le verre. »
•
1785 : Charles-Augustin Coulomb (1736-1806) : Loi élémentaire (force de Coulomb).
•
Début 19ème siècle André-Marie Ampère (1775-1836) : Relation entre magnétisme et
électricité. Force entre deux fils parcourus par un courant. Définition de l'Ampère (unité de
courant).
•
1931 Michael Faraday (1791-1867) et 1934 Heinrich Lenz (1804-1865) : Induction. Loi de
Lenz, force électromotrice. Cage de Faraday.
•
19ème siècle Carl Friedrich Gauss (1777-1855) : Théorème de Gauss. Il n'existe pas de
monopôle magnétique.
•
19ème siècle : James C. Maxwell (1831-1879) : Équations unifiées de l'électromagnétisme
(équations de Maxwell ou Maxwell-Lorentz).
•
1900 : Max Planck (1858-1947) : Quantification des échanges d'énergie avec la matière
(corps noir).
•
1905 : Albert Einstein (1879-1955) : Théorie corpusculaire de la lumière (photon), effet
photoélectrique.
•
1905 : Albert Einstein (1879-1955) : Théorie de la relativité restreinte.
1905 : Henri Poincaré (1854-1912) : Transformation de Lorentz. Les équations de Maxwell,
qui ne sont pas compatibles avec la mécanique classique (Newton), sont compatibles avec la
relativité restreinte.
•
Début 20ème siècle : Hendrik A. Lorentz (1853-1928) : Force électromagnétique (force de
Lorentz).
•
1910 : Expérience de Robert A. Millikan (1868-1853) : Les charges des ions sont des
multiples entiers d'une charge élémentaire e = 1,60217646×10−19 C.
•
1911 : Expérience de Ernest Rutherford (1871-1837) : Les atomes (taille ~10-10 m = 1
Angström) sont constitués d'un noyau positif, très petit (~10-15 m), entouré d'électrons.
•
1913 : Niels Bohr (1885-1962) : 1er modèle atomique quantique. Les orbites des électrons
autorisées (possibles) correspondent à des énergies quantifiées des atomes. D'après la
mécanique quantique ce modèle n'est pas correct, mais il donne les bons ordres de grandeur
des énergies d'un atome.
•
1924 : Louis de Broglie (1892-1987) : Dualité onde-corpuscule
•
1926 : Erwin Schrödinger (1887-1961) : Une particule quantique (électron, proton, ions ...)
est modélisée comme une onde qui détermine une « probabilité de présence » de la particule.
•
Mécanique quantique …
3
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S3 Introduction à l’électromagnétisme
2015-16
Série de TD no 1 : Champ et potentiel électrostatiques, principe de superposition
Ex 1. Quatre charges, 2 q, −2 q, q, −q, sont placées aux sommets d’un carré de côté a comme
sur la figure. Déterminer l’intensité et la direction du champ électrostatique au centre de
ce carré O et au point P , milieu du segment (−q, q).
2q
-2 q
O
-q
P
q
Ex 2. Calculer la charge totale d’un cylindre, de rayon R et de hauteur h, de densité volumique
r
de charge ρ(r, θ, z) = ρ0 en coordonnées cylindriques .
R
Ex 3. On suppose que dans l’espace règne la densité volumique de charge:
ρ(r) =
q −r/a
e
Cr
où r est la norme du rayon vecteur, q a la dimension d’une charge et a est une constante
positive.
a) Quelles sont les dimensions des constantes a et C?
b) Calculer la charge Q(R) dans une sphère de centre O et de rayon R.
Si l’on désire que la charge totale de l’espace Q soit Q = q, calculer C.
c) Quel pourcentage de la charge totale est contenue dans une sphère centrée en O de
rayon R = 3 a ?
Ex 4. Déterminer le champ et le potentiel électrostatiques créés par un arc de cercle, de charge
linéı̈que λ constante, en son centre.
2α
4
Ex 5. Déterminez le potentiel φ, l’intensité E et la direction du champ électrostatique créé par
une spire de rayon R, de centre O de charge linéı̈que λ constante, en un point de son axe
Oz.
→
−
Interpréter les limites suivantes pour le champ E :
a) R → ∞,
b) z ≫ R.
Tracer E(z) et φ(z).
→
−
Ex 6. Une charge ponctuelle q, placée en O, crée un champ électrique E dans tout l’espace.
→
−
1
2
3
Calculer la circulation de E le long des trajets A → B, B → C et A → C.
(2)
C
(3)
.
.
.
.
B
(1)
A
O
Ex 7. Déterminer en tout point de l’espace, le champ électrique et le potentiel créé par un fil
rectiligne infini de charge linéı̈que λ constante.
→
−
Tracer schématiquement les lignes de champ de E et les équipotentielles.
Exercices supplémentaires
Ex 8. Disque chargé. (exercice d’entraı̂nement)
Déterminez le potentiel φ, l’intensité E et la direction du champ électrostatique créé par
un disque de rayon R, de centre O, de charge surfacique σ constante, en un point de son
axe Oz.
→
−
Interpréter les limites suivantes pour le champ E :
a) R → ∞,
b) z ≫ R.
Tracer E(z) et φ(z).
5
Ex 9. Calotte sphérique chargée. (entraı̂nement, un peu difficile mais c’est un classique)
Soit une calotte sphérique chargée uniformément en surface (charge surfacique σ), de
centre O, de rayon R et d’axe de symétrie (Oz). Le disque fermant la calotte est vu
depuis O sous un angle θ0 (voir figure).
a) Calculer la charge totale Q de la calotte.
→
−
b) Par des arguments de symétrie, que peut-on dire du champ électrostatique E (O) en
O?
→
−
c) Soit le champ électrostatique élémentaire d E créé en O par les charges vues depuis O
→
−
sous un angle avec (Oz) compris entre θ et θ + dθ. Montrer que d E peut s’écrire:
σ
→
−
→
dE =
sin θ cos θ dθ−
u
2ǫ0
−
avec →
u un vecteur unitaire que l’on définira.
→
−
d) En déduire le champ électrostatique E (O) en O.
e) Déterminer le potentiel électrostatique en O.
Ex 10. Calcul direct du potentiel créé par un fil chargé infini. (Difficile).
Déterminez le potentiel électrostatique créé par un fil rectiligne fini de charge linéı̈que λ
constante, au point M repéré comme sur la figure.
b
x
x=0
θ
M
d
a
√
d ln(u + 1 + u2 )
1
Donnée:
=√
.
du
1 + u2
Que se passe-t-il si le fil est infini ? Comparez à l’exercice 7. Expliquez.
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2015/16
Série de TD no 2 : Théorème de Gauss
Ex 1. Soit une charge électrique isolée q. A l’aide du théorème de Gauss, calculez le champ
électrique créé par cette charge en un point M situé à une distance r de q. Retrouvez la
loi de Coulomb.
Ex 2. Soit une sphère chargée uniformément en volume, de charge totale Q et de rayon R.
→
−
Calculer le champ E et potentiel électrostatiques φ, créés par cette distribution de charge,
à une distance r du centre de la sphère dans les deux cas r < R et r > R.
Que retrouve-t-on dans le second cas ?
Le champ est-il continu en r = R ?
Tracer E(r) et φ(r).
→
−
Tracer schématiquement les lignes de champ de E et les équipotentielles.
Reprendre l’exercice si la densité volumique de charge n’est plus constante, mais que l’on
a ρ(r) = A/r pour r < R.
Ex 3. On considère un cylindre infini, de rayon R, chargé uniformément en surface. La densité
surfacique de charge est σ. Calculer le champ et potentiel électrostatiques en un point
situé à une distance r de l’axe du cylindre (on étudiera les cas r < R et r > R).
→
−
Tracer schématiquement les lignes de champ de E et les équipotentielles.
Ex 4. On considère une surface carrée de 1 m de côté, portant une charge totale de 10−6 C,
uniformément distribuée sur la surface. Que vaut le champ électrique en un point situé à
5 mm de la surface et pas trop éloigné du centre de la surface ?
Même question pour un point situé à 500 m du centre de la surface.
Ex 5. On considère 3 plaques A, B et C parallèles et très rapprochées entre elles. Les trois
plaques ont chacune une surface de 100 cm2 . Les charges portées par A B et C sont
respectivement 3 µC, −2 µC et 4 µC. En négligeant les effets de bord, calculer le champ
électrique créé par ces trois plaques dans les quatre domaines qu’elles définissent au voisinage des plaques.
1
Donnée :
= 9 × 109 S.I.
4πǫ0
→
−
Tracer schématiquement les lignes de champ de E et les équipotentielles.
Ex 6. Retrouver les résultats du fil infini uniformément chargé à l’aide du théorème de Gauss.
Peut-on faire de même pour le fil fini ?
7
Ex 7. Une sphère de rayon R porte une densité volumique de charge constante ρ, sauf dans une
cavité sphèrique (de rayon a et dont le centre est à la distance d du centre de la grande
sphère) creusée dans la sphère. Calculer le champ électrique dans la cavité.
Exercices supplémentaires
Ex 8. Sphère chargée en surface. (entraı̂nement)
Reprendre l’Ex. 2 en considérant une sphère chargée uniformément en surface, de densité
surfacique de charge σ.
Ex 9. Cylindre chargé en volume uniformément. (entraı̂nement)
Reprendre l’Ex. 3 en considérant un cylindre chargé uniformément en volume, de densité
volumique de charge ρ.
Ex 10. Cylindre chargé en volume non uniformément. (entraı̂nement)
Un cylindre infini d’axe (Oz) et de rayon R est chargé en volume avec une densité de
charges volumique ρ(r) = r/a, où a est une constante positive et r la distance à l’axe
(Oz).
a) Calculer la charge contenue dans un cylindre d’axe (Oz), de rayon r et de hauteur h.
b) Calculer le champ électrique en tout point de l’espace. Tracer E(r).
c) Calculer le potentiel électrostatique en tout point de l’espace. Tracer Φ(r). On prendra
l’origine des potentiels en r = 0.
Ex 11. (un peu plus difficile)
On considère que dans l’espace entier règne une distribution de charge à symétrie sphérique
Q0
r
et on mesure un potentiel φ(r) =
exp(− ) à la distance r du centre O.
4 π ǫ0 r
a
Calculer le champ électrique en tout point de l’espace. Trouver et tracer Q(r) la charge
contenue dans la sphère de rayon r. En déduire la distribution de charge en tout point de
l’espace.
Quel problème physique vous semble ainsi avoir été modélisé ?
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2015-16
Série de TD no 3 : Conducteurs à l’équilibre
Ex 1. a) Une sphère conductrice S, de rayon R, est seule dans l’espace, on la porte au potentiel
φ0 . Calculer la charge Q0 et la densité surfacique de charge σ portées par S. On
prendra le potentiel nul à l’infini.
b) Sans qu’aucun contact électrique ne se fasse avec S, on l’entoure d’une couche sphérique
conductrice globalement neutre T , de rayon intérieur R1 et de rayon extérieur R2
(R < R1 < R2 ). Quelles sont les charges portées par les différentes surfaces ? Calculer
φ1 et ψ1 , les potentiels respectifs de S et T .
c) T est maintenant reliée à la terre. Calculer φ2 et ψ2 , les potentiels respectifs de S et
T.
Ex 2. Calculer la capacité C d’un condensateur plan.
Ex 3. Une couche conductrice sphérique, de rayon interne b et de rayon externe c, entoure une
sphère conductrice de rayon a. Les deux conducteurs sont centrés sur le même point.
Calculer la capacité de ce condensateur sphérique.
Que retrouve-t-on dans la limite b − a ≪ a ?
Ex 4. Dans le montage suivant comment choisir c2 , pour que la capacité de l’ensemble soit
encore c2 ? A.N. c1 = 3 µF.
C1
A
D
C2
C1
B
F
Initialement, les condensateurs sont déchargés. Puis on applique une tension de 400 V
entre les bornes A et B. Déterminer la charge et la tension de chaque condensateur.
Exercices supplémentaires
Ex 5. (entraı̂nement)
Une charge ponctuelle q = − 10−6 C est placée en O. Une couche conductrice sphérique,
centrée en O, de rayon intérieur R1 = 20 cm et de rayon extérieur R2 = 30 cm, entoure
q. La couche conductrice est portée au potentiel Φ = 104 V. Le potentiel est choisi nul à
l’infini.
Calculer les charges sur les surfaces de la couche conductrice. Application numérique.
1
= 9 × 109 S.I.
Donnée :
4πǫ0
9
Ex 6. (entraı̂nement)
Une sphère conductrice de rayon R est portée au potentiel Φ. Elle est placée à l’intérieur
d’une couche sphérique conductrice portée au potentiel Ψ, de même centre, de rayon
intérieur R1 > R et de rayon extérieur R2 > R1 .
a) Calculer les charges portées par toutes les surfaces des deux conducteurs.
b) Calculer le champ et le potentiel en tout point de l’espace. Tracer Φ(r). On prendra
le potentiel nul à l’infini.
Ex 7. Condensateur cylindrique. (entraı̂nement)
On considère deux cylindres coaxiaux de rayons respectifs R1 et R2 (R1 < R2 ).
Calculer la capacité linéı̈que de ce condensateur.
Que retrouve-t-on dans la limite R2 − R1 ≪ R1 ?
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Série de TD no 4 : Dipôle électrostatique
Ex 1. Dipôle électrique
On place une charge positive q au point P et une charge −q au point N. La distance
entre ces charges est 2a (2a = NP ). On exprimera les résultats en fonction du moment
dipolaire:
−→
→
−
p = q NP
−→
−
Soit O le milieu de [NP ] et →
r = OM.
a) Calculer le potentiel en un point M loin des charges (r ≫ a).
b) En déduire le champ électrique en M loin des charges.
→
−
c) Tracer schématiquement le champ E pour une valeur de r telle que r ≫ a
−−→
→
et θ = 0, π/4, π/3, π/2, π, 2π/3, 3π/4, 3π/2 où θ est l’angle entre −
p et OM.
→
−
Tracer schématiquement les lignes de champs de E .
d) Déterminer l’équation de la surface équipotentielle de potentiel φ0 .
Pour quelles valeurs de θ la distance r est-elle nulle ou maximale ?
Tracer schématiquement les équipotentielles.
Quel lien local y a-t-il entre les lignes de champ et les équipotentielles ?
Exercice supplémentaire
Ex 2. Dipôle dans un champ.(entraı̂nement)
→
Un dipôle rigide, de moment dipolaire −
p , est initialement situé en M à proximité d’une
charge ponctuelle q, fixe, située en O. Le dipôle est mobile (il peut se déplacer librement).
a) Justifier que le dipôle s’oriente par rapport à la charge dans une direction que l’on
déterminera.
b) Déterminer l’expression de la force subie par le dipôle. On supposera que le dipôle
s’est préalablement orienté selon la direction de la question précédente. On pourra
supposer que le dipôle est constitué de deux charges ponctuelles de signes opposées.
Ex 3. Quadrupôle électrique
Dans le plan (Oxy), on place deux charges +q et deux charges −q aux sommets d’un carré.
Calculer le potentiel électrique créé par les 4 charges en un point situé à grande distance
du centre du carré. On considèrera les deux cas suivants :
a)
b)
q
q
q
-q
-q
-q
-q
q
On pourra utiliser le résultat de l’exercice 1.
Le cas b) est hors programme (excercice complémentaire difficile).
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2015-16
Série de TD no 5: Force de Lorentz – Force de Laplace
Ex 1. Effet Hall
→
Des électrons se déplaçant à la vitesse −
v dans un barreau métallique arrivent dans une
→
−
zone où règne un champ magnétique B uniforme. Le barreau est de largueur L.
B
-
v
e
L
L
−→
a) Montrer qu’un champ électrique EH , appelé champ de Hall, apparaı̂t dans le barreau.
−→
Calculer EH lorsque le régime permanent est atteint.
En déduire la tension de Hall UH aux bornes du barreau en régime permanent.
−
b) Montrer que cet effet permet de distinguer un courant d’électrons de vitesse →
v , d’un
→
−
courant de charges +e de vitesse − v .
Ex 2. La roue de Barlow (1776-1862)
La roue de Barlow fut imaginée en 1828 pour montrer l’action d’un champ magnétique
sur un courant électrique. Le courant I passe dans un rayon de la roue (en cuivre) placée
dans l’entrefer d’un aimant, puis à travers un bain de mercure (voir figure).
Expliquer ce qu’il se passe.
Ex 3. Calculer la force subie par le circuit indéformable suivant:
B
I
→
−
placé dans un champ magnétique B uniforme.
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Ex 4. Conducteur ohmique cylindrique
Calculer la résistance d’un conducteur ohmique cylindrique de conductivité γ, de longueur
L et de section S.
Application numérique: ρ = 1/γ = 17 × 10−9 Ω.m; S = 1 mm2 ; L = 1 m.
Exercice supplémentaire
Ex 5. Conducteur ohmique sphérique (entraı̂nement, un peu difficile)
Calculer la résistance d’un conducteur ohmique de conductivité γ compris entre deux
sphères de rayons R1 et R2 (R1 < R2 ), portées respectivement aux potentiels φ1 et φ2 .
Ex 6. Le galvanomètre à cadre mobile (entraı̂nement)
Le galvanomètre à cadre mobile sert à mesurer de très faibles intensités de courant, le
plus souvent inférieures à 1µA. Il est constitué d’un cadre rectangulaire suspendu dans
l’entrefer d’un aimant et d’une aiguille fixée perpendiculairement au cadre, l’ensemble
cadre+aiguille étant mobile autour de l’axe vertical Oz. Le cadre est suspendu à un fil
vertical aligné sur Oz et de constante de torsion C, qui exerce un couple de rappel sur le
cadre. Lorsqu’on applique un courant I dans les N spires du cadre, l’aiguille tourne d’un
angle θ.
On notera a et b les longueurs des côtés du cadre et on supposera le champ magnétique
→
−
dans l’entrefer, B , uniforme et parallèle au plan du cadre (voir figure en vue de dessus).
→
−
a) Calculer le couple Γ B exercé par le champ magnétique sur le cadre.
→
−
b) Donner l’expression du couple de rappel Γ C exercé par le fil sur le cadre.
c) Donner la relation entre θ et I. En déduire que la mesure de l’angle de déviation θ
permet de déterminer le courant I traversant les spires.
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S3 Introduction à l’électromagnétisme
2015-16
Série de TD no 6: Loi de Biot et Savart
Ex 1. On considère un fil rectiligne de longueur finie parcouru par un courant I.
I
α1
M
α2
a) Que dire des lignes du champ magnétique ? Calculer ce champ en M.
b) A très petite distance du fil que retrouve-t-on ? Expliquer.
c) Calculer le champ magnétique au centre d’un circuit en forme de polygône régulier de
n côtés de rayon circonscrit R parcouru par un courant I.
En déduire, lorsque n tend vers l’infini, le champ magnétique créé par une spire circulaire en son centre.
Ex 2. On considère une spire circulaire, de rayon R, parcourue par un courant I. Calculer le
champ magnétique en un point quelconque de l’axe de la spire.
Exercices supplémentaires
Ex 3. (entraı̂nement, facile)
Un fil conducteur est formé de deux arcs de cercle de rayons R1 < R2 et de même centre
C réunis par deux segments. Il circule un courant I dans le fil.
→
−
Déterminer le champ magnétique B (C) créé par ce courant au point C, pour les deux
configurations suivantes.
R2
R1
I
I
C
R1
R2
b)
a)
C
Ex 4. Sphère chargée en rotation. (plus difficile)
Une sphère chargée uniformément en volume de rayon R et de charge Q tourne autour de
son axe (Oz) avec une vitesse angulaire constante ω.
a) Calculer la densité de courant.
b) Calculer le champ magnétique en un point de l’axe très éloigné de la sphère.
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2015-16
Série de TD no 7: Théorème d’Ampère
Ex 1. Définition de l’unité de courant éléctrique : l’Ampère
a) Calculer le champ magnétique créé par le courant permanent I parcourant un fil
rectiligne supposé infini (en négligeant les effets de bords).
b) Deux fils rectilignes infinis, parallèles, distants de d = 1 m l’un de l’autre, sont parcourus par des courants identiques I mais en sens contraire.
- Quelle est la force par unité de longueur exercée par l’un des deux fils sur l’autre ?
- Faire un schéma indiquant clairement la direction et le sens de cette force.
- Quelle doit être l’intensité I pour que cette force soit égale à 2.10−7 N/m ?
Donnée : µ0 = 4π × 10−7 SI
Ex 2. Solénoı̈de
a) On considère un solénoı̈de très long. Le nombre de spires par unité de longueur est n.
Il y circule un courant I. On suppose que le champ magnétique s’annule à très grande
distance du solénoı̈de.
En négligeant les effets de bords, calculer le champ magnétique créé par ce solénoı̈de.
−
→
Tracer les lignes de champ de B .
b) Tracer qualitativement les lignes de champs d’un solénoı̈de de longueur finie pour
lequel on ne peut pas négliger les effets de bords.
Ex 3. Cylindre infini
→
Un cylindre infini de rayon R est parcouru par un courant de densité uniforme −
 parallèle
→
−
à son axe. Calculer le champ magnétique B créé par ce cylindre. Tracer les lignes de
→
−
champ de B .
Ex 4. Courant surfacique plan
a) Calculer le champ magnétique créé par un plan infini (Oxy ) parcouru par un courant
surfacique uniforme et constant orienté suivant les x positifs. L’intensité du courant
traversant un segment de longueur unité parallèle à l’axe (Oy) est donc constante et
vaut λ (densité linéique de courant mesurée en Ampère/mètre).
b) Calculer le champ magnétique créé par deux plans infinis parallèles et distants de d.
On suppose que la densité linéique de courant est la même pour les deux plans et que
les courants vont dans des sens opposés.
Ex 5. Reconnaı̂tre des lignes de champ
Le champ de vecteurs représenté sur la figure ci-dessous a la symétrie cylindrique. Peut-il
être un champ magnétique ? un champ électrique ?
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Exercices supplémentaires
Ex 6. Câble coaxial. (entraı̂nement)
La ligne centrale et la gaine externe d’un câble coaxial supposé très long (voir la figure cidessous) sont traversées par des courants de même intensité I et de sens opposés. Calculer
le champ magnétique à une distance r du centre. On étudiera les cas r < R1 , R1 < r < R2 ,
→
R2 < r < R3 et R3 < r. On suppose que les conducteurs sont homogènes, donc −
 est
uniforme dans chaque conducteur.
I
R1
R2
R3
I
Ex 7. Champ dans un tore. (entraı̂nement)
On considère un ensemble formé de N spires enroulées autour d’un tore, dans lesquelles
circule un courant I. Quel est le champ magnétique à l’intérieur du tore ? Montrer qu’à
l’extérieur du tore, le champ magnétique est nul.
Ex 8. Calcul d’une densité volumique de courant. (plus difficile)
Un cylindre de hauteur infinie et de rayon R est parcouru par un courant I suivant son axe
(Oz). Ce courant n’est pas réparti uniformément dans le cylindre ; la densité volumique
→
de courant −
 est parallèle à l’axe du cylindre et ne dépend que de la distance r à cet axe
→
−
→
−
(  = (r) u z ).
→
−
a) Décrire les lignes du champ magnétique B créé par ce courant.
→
−
b) Déterminer (r) pour que la norme de B soit constante et égale à B0 à l’intérieur du
cylindre. Calculer alors I.
16
Ex 9. Champ créé par deux fils parcourus par un courant. (plus difficile)
On considère deux fils rectilignes de longueur infinie, distant de a, parcourus respective→
−
ment par un courant I et −I. Calculer le champ magnétique B en M.
I
M
r1
r2
O1
O2
I
→
−
Montrer que la norme de B ne dépend que de I, a, r1 = O1 M et r2 = O2 M.
→
−
Tracer qualitativement les lignes de champ de B .
17
Université de Cergy-Pontoise
S3 Introduction à l’électromagnétisme
2015-16
Série de TD no 8: Induction
Ex 1. L’anneau qui saute
Qu’arrive-t-il à l’anneau quand on ferme l’interrupteur ? quand on l’ouvre ? On négligera
l’effet de la pesanteur.
anneau metallique
Ex 2. Le rail de Laplace
Un circuit est constitué par deux rails métalliques, parallèles, horizontaux, sans résistance,
et dont l’écartement est l. Les rails sont reliés, à l’une de leur extrêmité, par une résistance
R. Une barre métallique, sans résistance, de masse m, peut glisser sans frottement sur les
→
−
rails. Le tout est plongé dans un champ magnétique vertical et uniforme B .
→
A t = 0, la barre est en x = 0, elle a une vitesse v0 −
u x , puis elle est abandonnée à
elle-même.
R
m
B
l
x
0
a) Il apparait un courant induit I(t). Expliquez pourquoi (sans le calculer). Indiquez le
sens de ce courant sur un petit croquis.
b) Donnez l’expression de I(t) en fonction de données du problème et de la vitesse instantanée v(t) de la barre.
c) Trouvez et donnez la solution de l’équation différentielle satisfaite par v(t). En déduire
la position de la barre x(t). Que devient, finalement, l’énergie cinétique initiale de la
barre.
Questions supplémentaires (entraı̂nement)
d) On remplace la résistance R par une capacité C. Trouvez la position de la barre x(t).
e) On remplace la résistance R par une inductance L et on suppose que I = 0 et x =
x0 > v0 /ω, à t = 0. Trouvez la position de la barre x(t).
18
Ex 3. L’alternateur
→
−
Une bobine d’axe vertical crée un champ magnétique uniforme et constant B , au voisinage
de son extrêmité supérieure. On fait tourner dans ce champ un cerceau de diamètre d
autour de son axe horizontal à vitesse constante. Sur ce cerceau sont enroulées N spires
de fil de résistance négligeable sur lequel est branchée une ampoule de résistance R.
a) Expliquer ce qui se passe (et pourquoi) si le cerceau tourne assez vite. Comment
s’appelle le phénomène mis en évidence ?
b) On appelle P la puissance minimale qu’il faut fournir à l’ampoule pour qu’elle s’allume.
A quelle fréquence f faut-il faire tourner le cerceau pour voir le phénomène décrit en
a) ?
A.N.: N = 10, B = 0.1T, P = 3W, R = 12Ω, d = 1m
Ex 4. Induction de Neumann
Une spire conductrice indéformable de rayon a et de résistance R est plongée dans un
champ magnétique variable
−
→
→
→
B = B0 cos(ωt)−
u x + B1 sin(ωt)−
u z.
La spire est horizontale (dans le plan Oxy) et immobile.
a) Calculer le flux de champ magnétique à travers la spire à l’instant t.
b) Calculer le courant induit dans la spire I(t).
c) Calculer le champ magnétique induit en un point de l’axe de la spire.
Ex 5. Courants de Foucault
y
B
l
l
v
0
x
a) Un fil conducteur carré indéformable, de côté l, de résistance R, se déplace rectilignement à la vitesse v(t). A l’instant t = 0, il entre dans un demi-espace, x > 0, où règne
→
−
un champ magnétique uniforme B perpendiculaire au plan du carré. On suppose que
→
−
le carré reste perpendiculaire à B .
Justifier l’existence d’une force de freinage sur le carré. On précisera bien quand
apparaı̂t cette force. Donner son expression en fonction de R, I, l et v(t).
b) Le carré de la question a) est remplacé par une plaque métallique carrée. Expliquer
qualitativement ce qui se passe.
c) Un petit aimant tombe en chute libre dans un tube. Expliquer pourquoi la durée de
la chute est plus grande lorsque le tube est métallique que lorsqu’il est en plastique
(isolant).
19
Exercices supplémentaires
Ex 6. Induction dans un carré au voisinage d’un fil parcouru par un courant
Un carré conducteur indéformable, de côté a, est posé sur une table horizontale, à côté
d’un fil infini parcouru par un courant I. Le fil est parallèle à un côté du carré.
→
−
a) Calculer le flux de B à travers le carré.
→
b) On déplace le carré sur la table avec une vitesse constante −
v de deux façons différentes:
→
−
→
−
cas (i) v est parallèle au fil ; cas (ii) v est perpendiculaire au fil et s’éloigne du fil.
Indiquer dans les deux cas le sens du courant induit dans le circuit.
Ex 7. Freinage par induction. (entraı̂nement)
a) spire conductrice rectangulaire MNP Q, de côtés a et b, de masse m, de résistance R
et d’inductance négligeable, se déplace parallèlement à (Ox). Elle traverse une zone
de longueur d (d > b) où le champ magnétique est constant et uniforme et égal à
→
−
→
B 0 = B0 −
u z . On négligera toute force autre que magnétique (la spire est suspendue
à un fil très long) et on notera x(t) l’abscisse du côté MN de longueur a et v(t) la
vitesse de la spire.
y
P
b
N
a
Q
11
00
00
11
v(t)
B0
M
x(t)
0
d
x
b) Pour quelles valeurs de x un courant est-il induit dans la spire ? Calculer le courant
induit dans chaque cas.
c) Calculer les forces de Laplace qui s’exercent sur la spire. En déduire les équations
différentielles vérifiées par v(t).
−
→
d) La spire entre dans le champ B 0 à t = 0 avec une vitesse v0 .
→
−
En supposant que la spire sort de la région où règne le champ B 0 , calculer la diminution de vitesse ∆v qu’elle subit.
A quelle condition la spire sort-elle de cette région ?
Ex 8. Inductance d’un solénoı̈de. (cours)
Calculer l’inductance L d’un solénoı̈de très long constitué de N spires et de longueur l.
On négligera les effets de bords pour le calcul du champ magnétique.
20
Ex 9. Induction d’un tore. (entraı̂nement)
On considère N spires (N ≫ 1) d’un fil conducteur, enroulées régulièrement autour d’un
tore de section rectangulaire. Les distances r1 , a et b sont définies sur la figure. Un courant
permanent I circule dans ce fil.
z
z
Coupe :
b
a
b
a
a
r1
a) Quels sont les plans de symétrie du système ? Tracer quelques lignes de champs du
→
−
champ magnétique B créé par I.
→
−
b) Déterminer B dans tout l’espace.
c) En déduire l’inductance L (coefficient d’auto-induction) de cette bobine torique.
21
Université de Cergy-Pontoise
Licence L2
Année 2014-15
Partiel d'électromagnétisme
mardi 18 novembre 2014 (1 heure)
Les exercices sont indépendants. Le barème est approximatif.
Les calculatrices ne sont pas autorisées. Justifier toutes les réponses aux questions.
Exercice 1. Questions de cours (~ 6 points) les questions a et b sont indépendantes.
a)
Condensateur :
a.1) Définir brièvement un condensateur et sa capacité C.
1
a.2) Montrer que l'énergie potentielle d'un condensateur chargé s'écrit E pot = C U 2 , avec U la
2
différence de potentiel aux bornes du condensateur.
b)
Pour une distribution quelconque de charges, montrer qu'en tout point M la ligne du champ
électrique passant par M est perpendiculaire à l'équipotentielle passant par M.
Exercice 2. (~ 8 points)
Une sphère, de centre O, de rayon R, est chargée en volume avec une densité volumique de charge
ρ constante. De plus une charge ponctuelle q est placée en O.
a) Calculer la charge Q(r) contenue dans une sphère de centre O et de rayon r : pour r < R et
pour r > R.
E.
b) Discuter les symétries et les invariances pour le champ électrique ⃗
E en tout point de l'espace.
c) Calculer le champ électrique ⃗
d) Calculer le potentiel φ en tout point de l'espace. On prendra le potentiel nul \à l'infini.
e) Tracer schématiquement ∣⃗
E∣ et φ en fonction de r.
E et des équipotentielles.
f) Tracer schématiquement des lignes du champ ⃗
Exercice 3. (~ 8 points)
B
Soit une barre AB de longueur 2a chargée uniformément
d'une charge linéique λ . Soit M un point du plan
médiateur de [AB] (plan perpendiculaire à AB passant
par le milieu O de [AB]). M est \à la distance a de AB.
a
a) Par des arguments de symétrie déterminer la
E ( M) en M.
direction du champ électrique ⃗
O
a
a M
A
E ( M) en utilisant le théorème de
b) Expliquer brièvement pourquoi on ne peut pas calculer ⃗
Gauss.
E ( M) .
c) Calculer ⃗
1/1
22
22
Université de Cergy-Pontoise
L2 M, P, MP, CUPGE - Année 2014-15
Examen d'électromagnétisme
mardi 6 janvier 2015 (2 heures)
Les exercices sont indépendants. Le barème est approximatif.
Les calculatrices ne sont pas autorisées. Justifier toutes les réponses aux questions.
Exercice 1. Cours (~ 4 points)
a) Énoncer (sans démonstration) la forme globale et la forme locale de la conservation de la charge
électrique\.
b) Trois fils conducteurs d'un circuit électrique se rejoignent en un nœud. Énoncer et démontrer (en
utilisant la question a) la relation entre les courants dans chaque fil en régime permanent.
Faire un schéma pour représenter les sens des courants \que vous avez choisi.
Exercice 2. Conducteurs à l'équilibre (~ 7 points)
Une sphère conductrice (S) de centre O et de rayon R est entourée d'une calotte sphérique conductrice (\T)
de centre O de rayon intérieur R1 et de rayon extérieur R2 (R < R1 < R2)\. La sphère (S) est portée au
potentiel  , 0, la calotte (T) est à la terre et on prend le potentiel nul à l'infini.
a) Par des arguments de symétrie et d'invariance, que peut-on dire du champ électrique en un point M de
l'espace ?
b) Montrer que le champ électrique est nul à l'extérieur de la calotte sphérique (r > R2)\.
c) Calculer la charge de la sphère (S) et de la calotte (T)\.
E  M  entre les deux conducteurs.
d) Calculer le champ électrique 

- Tracer ∥E∥ en fonction de r = OM, pour tout r.
E.
- Tracer sur un schéma des lignes de champs de 
e) Calculer le potentiel électrique  M  entre les deux conducteurs\.
- Tracer  en fonction de r\.
E (question d)\.
- \Tracer des équipotentielles sur le même schéma que les lignes de champ de 
f) Calculer la capacité du condensateur formé par ces deux conducteurs.
Exercice 3. (~ 7 points)
Soit un cylindre conducteur d'axe O z  et de rayon R parcouru par un courant de densité volumique non
uniforme : j  M  = j 0 r uz , en coordonnées cylindriques M r , , z , où j0 est une constante positive.
a) Quelles sont la dimension et l'unité en S.I. de j0 ?
b) Déterminer le courant I dans le cylindre conducteur\.
  M  en un
c) Par des arguments de symétrie et d'invariance, que peut-on dire du champ magnétique B
point M de l'espace ?
 en tout point de l'espace en fonction de I, R, 0 et la position\.
d) Calculer le champ magnétique B
B∥ en fonction de r.
Tracer ∥
z
.
Tracer sur un schéma les lignes de champs de B
A2
A3
e) Un circuit conducteur carré (A1A2A3A4), parcouru par le courant I'
dans le sens indiqué sur le schéma est placé comme indiqué sur la
b
I'
j
figure. Le plan du carré contient l'axe O z , les côtés A1A2 et A3A4
a
sont parallèles à O z  et distants respectivement de a et b de O z .
A4
A1
- Déterminer en fonction de I, I', a, b et 0 la force sur chaque côté du
R
carré\. \Tracer ces forces sur un schéma\.
- Tracer la résultante de ces forces (direction et sens)\.
Exercice 4. (~ 4 points)
 au point O, créé par un courant permanent I circulant
Calculer le champ magnétique B
dans un fil ayant la forme suivante : le circuit est formé d’un arc de cercle de centre O,
de rayon R2 = OA et d’angle 3 π / 2, de deux segments AE et DC portés par des rayons
du cercle, et il est refermé par un arc de cercle de centre O et de rayon R1 = OE\.
 O sur un schéma.
Indiquer la direction et le sens de B
23
A
I
E
O
C D
24
x
O
ex
ez
H
M
ey
ρ dϕ
M
dρ
eϕ
dz
y
eρ
x
dr
er
M
r dθ
r
eθ
θ
dθ
O
dϕ
ϕ
z
M'
y
r sin θ dϕ
eϕ
r ≥ 0 , 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π
y
dV = r 2dr sinθ dθ dϕ
x
ϕ
O
z
ρ dϕ
M'
x
eθ
eϕ
dV = ρ dρ dϕ dz
y
ey
K
ez
y
θ M
ϕ H
O
K
er
dV = dx dy dz
dy
H
eϕ
OM = r er
MM ' = dl = dr er + r dθ eθ + r sin θ dϕ eϕ
dx M
dz
ρ
eρ
M
ρ ≥ 0 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , −∞ ≤ z ≤ +∞
ϕ
O
z
ez
z
COORDONNEES SPHERIQUES (r,θ,ϕ )
OM = ρ eρ + z ez
MM ' = dl = dρ eρ + ρ dϕ eϕ + dz ez
O
ex
ez
x
K
COORDONNEES CYLINDRIQUES ( ρ,ϕ, z )
z
OM = x ex + y ey + z ez
MM ' = dl = dx ex + dy ey + dz ez
x
K
z
−∞ ≤ x ≤ +∞ , −∞ ≤ y ≤ +∞ , −∞ ≤ z ≤ +∞
K
z
COORDONNEES CARTESIENNES ( x, y, z )
Physique des ondes – premier semestre
Formulaire
d'analyse vectorielle
Formulaire
Calcul vectoriel
#» # »
rot grad V
# » #»
div rot A
# »
div grad V
# » # » #»
rot rot A
=
=
=
=
!0
0
∆V
# »
#»
#»
grad div A − ∆ A
# »
grad(V1 V2 )
# » #»
rot(V A)
#»
div(V A)
#»
#»
div( A 1 ∧ A 2 )
=
=
=
=
# »
# »
V1 grad V2 + V2 grad V1
# »
# » #»
#»
V rot A + grad V ∧ A
# »
#»
#»
V div A + grad V · A
#» # » #»
#» # » #»
A 2 · rot A 1 − A 1 · rot A 2
Coordonnées cartésiennes
∂V #»
∂V #»
∂V #»
ux +
uy +
uz
∂x
∂y
∂z
∂Ax ∂Ay
∂Az
#»
div A =
+
+
∂x
∂y
∂z
"
"
"
!
!
!
∂Ay #»
∂Ay
∂Ax ∂Az #»
∂Ax #»
∂Az
# » #»
ux +
uy +
uz
−
−
−
rot A =
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
∂2V
∂2V
∂2V
∆V =
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
# »
grad V
=
Coordonnées cylindriques
θ
θ
θ
1 ∂V #»
∂V #»
∂V #»
ur +
uθ +
uz
∂r
r ∂θ
∂z
1 ∂rAr
1 ∂Aθ
∂Az
#»
div A =
+
+
r ∂r
r ∂θ " ∂z !
"
!
"
!
∂Aθ #»
∂Az #»
∂Ar #»
∂Ar
1 ∂rAθ
1 ∂Az
# » #»
−
ur +
−
uθ +
−
uz
rot A =
r ∂θ
∂z
∂z
∂r
r
∂r
∂θ
!
"
∂V
1 ∂2V
∂2V
1 ∂
r
+ 2
+
∆V =
r ∂r
∂r
r ∂θ 2
∂z 2
# »
grad V
=
Coordonnées sphériques
# »
grad V
φ
=
#»
div A =
θ
θ
φ
# » #»
rot A =
φ
∆V
=
∂V #»
1 ∂V #»
1 ∂V #»
ur +
uθ +
uφ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
1 ∂ sin θAθ
1 ∂Aφ
1 ∂r 2 Ar
+
+
r 2 ∂r
r sin θ
∂θ
r sin θ ∂φ
!
"
∂ sin θAφ ∂Aθ #»
1
−
ur + ...
r sin θ
∂θ
∂φ
!
"
!
"
∂rAφ #»
1
1 ∂Ar
1 ∂rAθ
∂Ar #»
... +
−
uθ +
−
uφ
r sin θ ∂φ
∂r
r
∂r
∂θ
!
"
1
∂
∂V
1
1 ∂ 2 rV
∂2V
+
sin
θ
+
r ∂r 2
r 2 sin θ ∂θ
∂θ
r 2 sin2 θ ∂φ2
Théorèmes
Théorème d’Ostrogradsky–Green :
S étant une surface fermée, τ le volume intérieur à S,
Théorème de Stokes–Ampère :
C étant une courbe fermée bordant une surface S,
25
ˆ
˛
#» !
A · dS
=
(S)
#»
(div A)dτ
(τ )
#» !
A · dl
=
(C)
ˆ
ˆ
(S)
# » #» !
(rot A) · dS