Spécialité Terminale S IE3 PPCM – PGCD – Nombres premiers S1

Spécialité Terminale S IE3 PPCM – PGCD – Nombres premiers S1 2011-2012
1
Exercice 1 : /4
On désigne par a et b deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.
1) Développer le carré (a² + 2b²)².
2) En déduire que l’entier naturel a
4
+ 4b
4
n’est jamais un nombre premier.
Exercice 2 /4
Résoudre dans V ², le système :
a² - b² = 405
3×PPCM(a ;b) = ab
Exercice 2 /2
Démontrer que l’ensemble des nombres premiers est infini.
On pourra admettre la propriété suivante :
Tout entier plus grand que 1 admet au moins un diviseur premier.
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Exercice 1 : /4
Soit p un nombre
premier
différent de 2.
a) Montrer que p² - 1
2 et p² + 1 2 sont des entiers.
b) Déterminer tous les couples (x ;y) d’entiers naturels tels que x² - y² = p².
Exercice 2 /4
Soit a et b deux entiers naturels non nuls, on pose
:
d = PGCD(a ;b) et m = PPCM(a ;b).
Déterminer les couples (a ;b) vérifiant
m = d²
m + d = 156
a ≥ b
Exercice 3 /2
Démontrer la propriété suivante
:
Soit a et b deux entiers naturels non nuls, alors on a :
PGCD(a ;b)×PPCM(a ;b) = a × b.
On admettra la propriété suivante :
Si a’ et b’ sont deux entiers naturels premiers entre eux alors PPCM(a’ ;b’) = a’×b’.

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CORRECTION
2
Exercice 1 : /4
On désigne par a et b deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.
1) Développer le carré (a² + 2b²)².
2) En déduire que l’entier naturel a
4
+ 4b
4
n’est jamais un nombre premier.
1) (a² + 2b²)² = a
4
+ 4a²b² + 4b
4
2) a
4
+ 4b
4
= (a² + 2b²)² - 4a²b² = (a² + 2b² + 2ab)(a² + 2b² - 2ab) )
a
4
+ 4b
4
= [(a + b)² + b²][(a – b)² + b²]
(a + b)² + b² ≥ 4 et (a – b)² + b² ≥ 4 car a et b sont supérieurs ou égaux à 2.
a
4
+ 4b
4
est le produit de deux entiers supérieurs strictement à 1.
Donc a
4
+ 4b
4
n’est pas un nombre premier.
Exercice 2 /4
Résoudre dans V ², le système :
a² - b² = 405
3×PPCM(a ;b) = ab
De la relation PPCM(a;b)×PGCD(a;b) = ab, on déduit à partir de la deuxième équation du système :
3×PPCM(a ;b) = PGCD(a ;b)×PPCM(a ;b)
Donc PGCD(a;b) = 3
Il existe alors des entiers a’ et b’ (premiers entre eux) tels que a = 3a’ et b = 3b’.
En reportant dans la première équation, on obtient :
9a’² - 9b’² = 405
Soit (a’ + b’)(a’ – b’) = 45
Or 45 = 3²×5
On peut donc avoir les 3 systèmes suivants :
a’ + b’ = 45
a’ – b’ = 1
a’ + b’ = 15
a’ – b’ = 3
a’ + b’ = 9
a’ – b’ = 5
 a’ = 23 et b’ = 22  a’ = 9 et b’ = 6  a’ = 7 et b’ = 2
D’où (a ;b) = (66 ;69) ne convient pas car d’où (a ;b) = (42 ;6)
9 et 6 ne sont pas
Premiers entre eux
Les couples solutions du système sont donc (42 ;6) et (66 ;69).
Exercice 3 /2
Démontrer que l’ensemble des nombres premiers est infini.
On pourra admettre la propriété suivante :
Tout entier plus grand que 1 admet au moins un diviseur premier.
Raisonnons par l’absurde en supposant qu’il existe un nombre fini d’entiers premiers p
1
, p
2
,…., p
n
.
Soit N = p
1
× p
2
× …×p
n
+1
N est un entier supérieur ou égal à 2, il admet donc au moins diviseur premier p
i
(avec 1 ≤ i ≤ n) de
l'ensemble { p
1
;p
2
;….; p
n
}
p
i
divise N et p
i
divise p
1
× p
2
×…×p
n
; donc p
i
divise N - p
1
× p
2
×…×p
n
= 1.
Donc p
i
= 1 : ce qui est impossible puisque 1 n'est pas premier.
Conclusion : l'ensemble des nombres premiers est infini.

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CORRECTION
3
Exercice 1 : /4
Soit
p un nombre
premier
différent de 2.
a) Montrer que p² - 1
2 et p² + 1 2 sont des entiers.
b) Déterminer tous les couples (x ;y) d’entiers naturels tels que x² - y² = p².
a) p est un nombre impair.
Il existe donc un entier naturel k tel que p = 2k + 1
p² - 1
2 = 4k² + 4k 2 = 2k² + 2k : c’est un nombre entier.
p² + 1
2 = 4k² + 4k + 2 2 = 2k² + 2k + 1 : c’est un nombre entier.
b) x² - y² = p²  (x + y)(x – y) = p²
x + y = p
x – y = p ou
x + y = p²
x – y = 1 (p est un nombre premier)
(x ;y) ∈
p² + 1
2 ;p² - 1 2
Exercice 2 /4
Soit a et b deux entiers naturels non nuls, on pose
:
d = PGCD(a ;b) et m = PPCM(a ;b).
Déterminer les couples (a ;b) vérifiant
m = d²
m + d = 156
a ≥ b
On a a = da’ et b = db’ avec a’ et b’ deux entiers naturels premiers entre eux.
On a de plus md = ab
Soit md = d²a’b’
Soit a’b’ = d car de plus m = d²
m + d = 156  d(d + 1) = 156  d(d + 1) = 12×13
Donc d = 12
a’b’ = 12 avec a’ et b’ premiers entre eux et a’ ≥ b’ conduit à :
(a’ = 12 et b’ = 1) ou (a’ = 4 et b’ = 3)
Soit (a = 144 et b = 12) ou (a = 48 et b = 36)
Les couples solutions sont donc (48 ;36) et (144 ;12)
Exercice 3 /2
Démontrer la propriété suivan
te
:
Soit a et b deux entiers naturels non nuls, alors on a :
PGCD(a ;b)×PPCM(a ;b) = a × b.
On admettra la propriété suivante :
Si a’ et b’ sont deux entiers naturels premiers entre eux alors PPCM(a’ ;b’) = a’×b’.
Soit δ = PGCD(a ;b) et µ = PPCM(a ;b).
On a alors a= δa’ et b = δb’ avec a’ et b’ premiers entre eux.
On a donc PPCM(a’ ;b’) = a’b’
µ = PPCM(δa’ ; δb’) = δ×PPCM(a’ ; b’) = δ×a’×b’
Ainsi δµ = δ²×a’×b’ = δ×a’× δ×b’ = ab