Spécialité Terminale S IE3 PPCM – PGCD – Nombres premiers S1 2011-2012 Exercice 1 : On désigne par a et b deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2. 1) Développer le carré (a² + 2b²)². 2) En déduire que l’entier naturel a4 + 4b4 n’est jamais un nombre premier. /4 Exercice 2 /4 Résoudre dans V², le système : a² - b² = 405 3×PPCM(a ;b) = ab Exercice 2 Démontrer que l’ensemble des nombres premiers est infini. On pourra admettre la propriété suivante : Tout entier plus grand que 1 admet au moins un diviseur premier. Spécialité Terminale S IE3 PPCM – PGCD – Nombres premiers S2 /2 2011-2012 Exercice 1 : Soit p un nombre premier différent de 2. p² - 1 p² + 1 a) Montrer que et sont des entiers. 2 2 b) Déterminer tous les couples (x ;y) d’entiers naturels tels que x² - y² = p². /4 Exercice 2 Soit a et b deux entiers naturels non nuls, on pose : d = PGCD(a ;b) et m = PPCM(a ;b). m = d² Déterminer les couples (a ;b) vérifiant m + d = 156 a ≥ b /4 Exercice 3 Démontrer la propriété suivante : Soit a et b deux entiers naturels non nuls, alors on a : PGCD(a ;b)×PPCM(a ;b) = a × b. On admettra la propriété suivante : Si a’ et b’ sont deux entiers naturels premiers entre eux alors PPCM(a’ ;b’) = a’×b’. /2 1 Spécialité Terminale S IE3 PPCM – PGCD – Nombres premiers CORRECTION S1 2011-2012 Exercice 1 : On désigne par a et b deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2. 1) Développer le carré (a² + 2b²)². 2) En déduire que l’entier naturel a4 + 4b4 n’est jamais un nombre premier. 1) (a² + 2b²)² = a4 + 4a²b² + 4b4 2) a4 + 4b4 = (a² + 2b²)² - 4a²b² = (a² + 2b² + 2ab)(a² + 2b² - 2ab) ) a4 + 4b4 = [(a + b)² + b²][(a – b)² + b²] (a + b)² + b² ≥ 4 et (a – b)² + b² ≥ 4 car a et b sont supérieurs ou égaux à 2. a4 + 4b4 est le produit de deux entiers supérieurs strictement à 1. Donc a4 + 4b4 n’est pas un nombre premier. /4 Exercice 2 /4 Résoudre dans V², le système : a² - b² = 405 3×PPCM(a ;b) = ab De la relation PPCM(a;b)×PGCD(a;b) = ab, on déduit à partir de la deuxième équation du système : 3×PPCM(a ;b) = PGCD(a ;b)×PPCM(a ;b) Donc PGCD(a;b) = 3 Il existe alors des entiers a’ et b’ (premiers entre eux) tels que a = 3a’ et b = 3b’. En reportant dans la première équation, on obtient : 9a’² - 9b’² = 405 Soit (a’ + b’)(a’ – b’) = 45 Or 45 = 3²×5 On peut donc avoir les 3 systèmes suivants : a’ + b’ = 45 a’ + b’ = 15 a’ + b’ = 9 a’ – b’ = 1 a’ – b’ = 3 a’ – b’ = 5 a’ = 23 et b’ = 22 a’ = 9 et b’ = 6 a’ = 7 et b’ = 2 D’où (a ;b) = (66 ;69) ne convient pas car d’où (a ;b) = (42 ;6) 9 et 6 ne sont pas Premiers entre eux Les couples solutions du système sont donc (42 ;6) et (66 ;69). Exercice 3 Démontrer que l’ensemble des nombres premiers est infini. On pourra admettre la propriété suivante : Tout entier plus grand que 1 admet au moins un diviseur premier. /2 Raisonnons par l’absurde en supposant qu’il existe un nombre fini d’entiers premiers p1, p2,…., pn. Soit N = p1× p2×…×pn +1 N est un entier supérieur ou égal à 2, il admet donc au moins diviseur premier pi (avec 1 ≤ i ≤ n) de l'ensemble { p1 ;p2;….; pn} pi divise N et pi divise p1× p2×…×pn; donc pi divise N - p1× p2×…×pn = 1. Donc pi = 1 : ce qui est impossible puisque 1 n'est pas premier. Conclusion : l'ensemble des nombres premiers est infini. 2 Spécialité Terminale S IE3 PPCM – PGCD – Nombres premiers CORRECTION S2 2011-2012 Exercice 1 : Soit p un nombre premier différent de 2. p² - 1 p² + 1 a) Montrer que et sont des entiers. 2 2 b) Déterminer tous les couples (x ;y) d’entiers naturels tels que x² - y² = p². a) p est un nombre impair. Il existe donc un entier naturel k tel que p = 2k + 1 p² - 1 4k² + 4k = = 2k² + 2k : c’est un nombre entier. 2 2 p² + 1 4k² + 4k + 2 = = 2k² + 2k + 1 : c’est un nombre entier. 2 2 b) x² - y² = p² (x + y)(x – y) = p² x + y = p x + y = p² ou (p est un nombre premier) x – y = p x – y = 1 p² + 1 p² - 1 ; (x ;y) ∈ 2 2 Exercice 2 Soit a et b deux entiers naturels non nuls, on pose : d = PGCD(a ;b) et m = PPCM(a ;b). m = d² Déterminer les couples (a ;b) vérifiant m + d = 156 a ≥ b On a a = da’ et b = db’ avec a’ et b’ deux entiers naturels premiers entre eux. On a de plus md = ab Soit md = d²a’b’ Soit a’b’ = d car de plus m = d² m + d = 156 d(d + 1) = 156 d(d + 1) = 12×13 Donc d = 12 a’b’ = 12 avec a’ et b’ premiers entre eux et a’ ≥ b’ conduit à : (a’ = 12 et b’ = 1) ou (a’ = 4 et b’ = 3) Soit (a = 144 et b = 12) ou (a = 48 et b = 36) Les couples solutions sont donc (48 ;36) et (144 ;12) Exercice 3 Démontrer la propriété suivante : Soit a et b deux entiers naturels non nuls, alors on a : PGCD(a ;b)×PPCM(a ;b) = a × b. On admettra la propriété suivante : Si a’ et b’ sont deux entiers naturels premiers entre eux alors PPCM(a’ ;b’) = a’×b’. /4 /4 /2 Soit δ = PGCD(a ;b) et µ = PPCM(a ;b). On a alors a= δa’ et b = δb’ avec a’ et b’ premiers entre eux. On a donc PPCM(a’ ;b’) = a’b’ µ = PPCM(δa’ ; δb’) = δ×PPCM(a’ ; b’) = δ×a’×b’ Ainsi δµ = δ²×a’×b’ = δ×a’× δ×b’ = ab 3