5° : Chapitre 4

5° : Chapitre 3
LES FRACTIONS
Leçon : Fiche Prof
SYNTHÈSE
A ranger partie « leçon »
I. Multiples et Diviseurs
72 = 9  8.
On dit que 72 est un multiple de 9 et de 8. Et on dit que 9 et 8 sont des diviseurs de 72.
Remarque : On dit aussi que 72 est divisible par 9 et par 8.
II. Critères de divisibilité par 2, 5, 3, 9 et 4.
1. Les nombres divisibles par 2 (C'est-à-dire les multiples de 2)
Les premiers multiples de 2 sont : 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …
Les nombres divisibles par 2 sont les nombres entiers pairs, c'est-à-dire ceux qui ont pour chiffre des unités
les chiffres 0, 2, 4, 6, 8.
2. Les nombres divisibles par 5 (C'est-à-dire les multiples de 5)
Les premiers multiples de 5 sont : 0, 5, 10, 15, 20, 25, …
Les nombres divisibles par 5 sont les nombres entiers qui ont pour chiffre des unités 0 ou 5.
3. Les nombres divisibles par 3 (C'est-à-dire les multiples de 3)
Ce sont les nombres entiers dont la somme des chiffres est divisible par 3.
Exemple : 18 372 est divisible par 3 car 1 + 8 + 3 + 7 + 2 = 21 et 21 = 3  7.
4. Les nombres divisibles par 9 (C'est-à-dire les multiples de 9)
Ce sont les nombres entiers dont la somme des chiffres est divisible par 9.
Exemple : 253 494 est divisible par 9 car 2 + 5 + 3 + 4 + 9 + 4 = 27 et 27 = 9  3.
5. Les nombres divisibles par 4 (C'est-à-dire les multiples de 4)
Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par son chiffre des dizaines et son chiffre des unités
est divisible par 4.
Exemple : 720 se termine par 20 et 20 est divisible par 4 (20 = 5  4), donc 720 est divisible par 4
730 se termine par 30 et 30 n’est pas divisible par 4, donc 730 n’est pas divisible par 4
III. Ecriture fractionnaire d’un nombre :
Définition :
On considère a et b deux nombres avec b non nul (c’est-à-dire b ≠ 0)
 Le quotient de a par b est le nombre exact par lequel il faut multiplier b pour obtenir a.
C’est le nombre manquant dans l’égalité : b × . . . = a
a
 Le quotient de a par b est noté
ou a : b
b
a

est l’écriture fractionnaire d’un nombre.
b
 Le nombre a est appelé le numérateur et le nombre b est appelé le dénominateur.
Exemple :
1224
= 306 donc 4  306 = 1224
4
4
ou
1224
= 1224
4
5
 10 donc 10 x 0,5 = 5
0,5
Cas particuliers : pour tous nombres a et b, on a :
a
0
=a ;
=0
1
b
Définition :
Lorsque a et b sont des nombres entiers,
a
est appelé fraction.
b
Remarques :

Un nombre peut avoir différentes écritures : 0,5 ;
1
3,5
et
sont trois écritures du même nombre.
2
7
1
3,5
est une fraction et
est une écriture fractionnaire.
2
7
Certains nombres n’ont pas d’écriture décimale, par exemple le quotient de 16 par 3 (16 ÷ 3 ≈ 5,33…).
D’où l’utilisation de l’écriture fractionnaire.
0,5 est l’écriture décimale ;

IV. Simplification de fractions
Propriété : Si on multiplie ou si on divise le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre
non nul, on obtient une fraction égale à la première.
a ak
=
b bk
Pour b  0 et k  0 on a :
Exemples :
6 6  2 12
=
=
5 5  2 10
et
a a:k
=
b b:k
45 45 : 9 5
=
=
63 63 : 9 7
Remarque : On utilise cette règle pour simplifier une fraction.
V. Division par un nombre décimal
Méthode : Pour effectuer la division de deux nombres décimaux, on commence par multiplier le diviseur et le
dividende par 10, 100, 1000... pour que le diviseur devienne un nombre entier, puis on effectue la division.
Exemple :
9,35 9,35  10 93,5
=
=
5,5
5,5  10
55
9
- 5
3
- 3
3, 5
5
8 5
8 5
0
5 5
1, 7
D’où :
9,35
= 1,7
5,5
VI. Comparaison de fractions
1. Si les fractions ont le même dénominateur
Propriété : Si deux nombres en écriture fractionnaire ont le même dénominateur, alors le plus petit est celui
qui a le plus petit numérateur.
Pour b  0
a
<
b
c
lorsque
b
2 5
<
7 7
Exemple :
a<c
3,8 4,7
<
5
5
2. Si les fractions n’ont pas le même dénominateur
Méthode : Si l’un des dénominateurs est multiple de l’autre alors :
- on commence par les écrire avec le même dénominateur
- on les compare en utilisant la propriété précédente.
Exemple :
3
7
et
4
12
12 est un multiple de 4.
Comparer
On écrit la fraction égale à
3
3
3 ×3
9
dont le dénominateur est 12 : =
=
4
4
4 × 3 12
7
9
<
12
12
7
3
Donc
<
12 4
On obtient
3. Si les fractions ont le même numérateur
Si deux nombres en écriture fractionnaire ont le même numérateur, alors ces deux nombres
sont rangés dans l’ordre inverse de leurs dénominateurs.
Règle :
Autrement dit : On considère n, c et d trois nombres non nuls. On a :
n
n
n
n
Si c < d alors
>
et
Si c > d alors
<
c
d
c
d
Exemple : Comparons
5
5
et
.
13 19
4. Comparer une fraction avec 1 :
Règle :
Numérateur
< 1
Dénominateur
Numérateur
Si Numérateur > Dénominateur alors
> 1
Dénominateur
Si Numérateur < Dénominateur alors
Exemple :
3 5
et sont-ils plus grand ou plus petit que 1 ?
7 4
VII. Addition, soustraction et écriture fractionnaire
1. Si les dénominateurs sont les mêmes :
a, b et k sont des nombres décimaux avec k ≠ 0 :
a b
a b
a+b
a-b
k + k = k et k - k = k
Règle :
 Remarque :
On additionne/soustrait les numérateurs
a b
a-b
k–k = k
a b
a+b
k+k = k
On garde le dénominateur
 Exemples :
8 7
8+7
15
+ =
=
5 5
5
5
13 6
13-6
7
– =
=
8 8
8
8
13 4 9
– = =3
3 3 3
2. Si les dénominateurs sont différents :
Règle :
 Exemple :
Pour additionner ou soustraire deux nombres en écritures fractionnaires dont
l'un des dénominateurs est multiple de l'autre :
- on commence par les écrire avec le même dénominateur.
- on additionne/soustrait les nombres écrits avec le même dénominateur
4 + 11 = 42 + 11 = …
3
6
32
6
= 19
6
VIII. Multiplication et écriture fractionnaire
Règle :
a, b, c et d sont des nombres décimaux avec b ≠ 0 et d ≠ 0 :
a c
ac
b  d = bd
 Remarque :
On multiplie les numérateurs
ac
bd
a c
bd
On multiplie les dénominateurs
 Exemples :
7 5
35
75

=
=
8 3
24
83
5,24 2
5,242
10,48
 =
=
2,1 3
6,3
2,13
 Remarque :
Si b = 1 on obtient :
a c
ac
ac
a c
c
 =
=
or  = a d’où la règle :
1 d
d
1 d
d
1d
a, c et d sont des nombres décimaux avec d ≠ 0 :
c
ac
a =
d
d
Règle :
 Exemple :
3
5
35
15
=
=
4
4
4
6 22 = 622 = 132
7
7
7