5ème 3

Fiche n°7 : Théorèmes du cercle circonscrit
Révisions mathématiques - 4ème
Rappels et conseils
 Théorème du cercle circonscrit :
Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l’hypoténuse est le centre du cercle circonscrit.
Réciproque :
Si un triangle est inscrit dans un cercle qui a pour diamètre l’un de ses côtés, alors ce triangle est
rectangle.
 Théorème de la médiane :
Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue du
sommet de l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
Réciproque :
Si dans un triangle, la médiane issue d’un sommet mesure la moitié de
la longueur du côté opposé, alors le triangle est rectangle en ce sommet.
Exercices d’application
 Les point A, B, C et D sont-ils sur un même cercle ?
Justifier.
Aide : tracer [AD] et calculer tous les angles…
 Julien a voulu tracer un triangle ABC rectangle en A tel que BC = 8
cm et I milieu du segment [BC]. Malheureusement il n’a pas eu assez de
place pour terminer la construction.
a) Calculer la longueur AI en justifiant.
b) Le point A appartient-il au cercle de diamètre [BC] ? Justifier.
 Tracer un cercle de centre I et de diamètre [OD] de
longueur 5 cm.
Placer deux points E et S sur ce cercle tels que
OE = 5 cm et DS = 1 cm.
Indiquer la nature des triangles suivants, et justifier en
citant la propriété utilisée :
- ODE
- ISE
- DOS
 Soit ABC un triangle rectangle en C tel que :
AB = 10,4 cm ; AC = 9,6 cm et BC = 4 cm.
Faire une figure avec les mesures indiquées, que l’on complètera au fur et
à mesure.
Soit D le milieu de [AB]. Le cercle de diamètre [AD] recoupe le segment
[AC] en E.
1. Quelle est la nature du triangle AED ? Le démontrer.
2. Démontrer que les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
3. Démontrer que E est le milieu de [AC].
4. Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ? Le
démontrer.
 On considère un triangle ABC tel que ABC = 55°,
BCA = 35° et BC = 10 cm. Soit I le milieu de [BC].
1. Déterminer la valeur de l’angle BAC.
2. Calculer la longueur AI.
 Tracer un triangle ABC. Tracer le point K, pied de la hauteur
issue de B. Tracer le point L, pied de la hauteur issue de C.
I est le milieu de [BC].
Prouver que IK = IL.
 La figure ci-contre est dessinée à main levée.
1. Quelle est la nature du triangle DEF ? Justifier.
2. Quelle est la nature du triangle DEK? Justifier.
3. Calculer la mesure de l’angle DKE.
4. Quelle est la nature du triangle DFK ?
A
B
C
I
O
A
B
C
B
C
I