Fiche n°7 : Théorèmes du cercle circonscrit Révisions mathématiques - 4ème Rappels et conseils Théorème du cercle circonscrit : B Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l’hypoténuse est le centre du cercle circonscrit. Réciproque : Si un triangle est inscrit dans un cercle qui a pour diamètre l’un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle. B Théorème de la médiane : Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue du sommet de l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse. Réciproque : Si dans un triangle, la médiane issue d’un sommet mesure la moitié de la longueur du côté opposé, alors le triangle est rectangle en ce sommet. A I O A C C Exercices d’application Les point A, B, C et D sont-ils sur un même cercle ? Julien a voulu tracer un triangle ABC rectangle en A tel que BC = 8 Justifier. cm et I milieu du segment [BC]. Malheureusement il n’a pas eu assez de place pour terminer la construction. a) Calculer la longueur AI en justifiant. b) Le point A appartient-il au cercle de diamètre [BC] ? Justifier. B I C Aide : tracer [AD] et calculer tous les angles… Tracer un cercle de centre I et de diamètre [OD] de Soit ABC un triangle rectangle en C tel que : longueur 5 cm. Placer deux points E et S sur ce cercle tels que OE = 5 cm et DS = 1 cm. AB = 10,4 cm ; AC = 9,6 cm et BC = 4 cm. Faire une figure avec les mesures indiquées, que l’on complètera au fur et à mesure. Soit D le milieu de [AB]. Le cercle de diamètre [AD] recoupe le segment [AC] en E. 1. Quelle est la nature du triangle AED ? Le démontrer. 2. Démontrer que les droites (BC) et (DE) sont parallèles. 3. Démontrer que E est le milieu de [AC]. 4. Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ? Le démontrer. Indiquer la nature des triangles suivants, et justifier en citant la propriété utilisée : - ODE - ISE - DOS On considère un triangle ABC tel que A B C = 55°, Tracer un triangle ABC. Tracer le point K, pied de la hauteur B CA = 35° et BC = 10 cm. Soit I le milieu de [BC]. 1. Déterminer la valeur de l’angle B A C. 2. Calculer la longueur AI. issue de B. Tracer le point L, pied de la hauteur issue de C. I est le milieu de [BC]. Prouver que IK = IL. La figure ci-contre est dessinée à main levée. 1. Quelle est la nature du triangle DEF ? Justifier. 2. Quelle est la nature du triangle DEK? Justifier. 3. Calculer la mesure de l’angle DKE . 4. Quelle est la nature du triangle DFK ?