Corrigé

Exemple de problème sur le frottement
Exemple de problème sur le frottement
Valérie (60 Kg) et Ayéda (85 Kg), deux « stars » d’Hollywood, sont en plein tournage d’une
scène au sommet de l’édifice le plus haut au monde (une fois terminé) à Dubai, Émirats
Arabes Unis, à environ 800m de hauteur. La scène filmée est typique de ce genre de scène à
Hollywood où Valérie, notre demoiselle en détresse, est suspendue dans le vide par un simple
morceau de tissu, alors qu’Ayéda, notre courageux héros, allongé sur le toit de l’édifice, tient
fortement l’autre bout du tissu. Seule la force de frottement d’Ayéda sur le toit les empêche de
tomber 800m jusqu’au sol. Bien sûr, cette scène est complètement ridicule; tout le monde sait
que les acteurs ne font pas eux-mêmes ces scènes, mais qu’ils ont plutôt recours à des
cascadeurs. Supposons donc que la compagnie de film soit trop « cheap » pour engager des
cascadeurs, ou, encore mieux, que le syndicat des cascadeurs soit en grève, et continuons notre
mise en scène. Donc, à ce point-ci, la situation est critique pour Ayéda et Valérie. Supposons,
en plus, que la force qui tente de les tirer tous les deux vers le sol soit exactement la même que
la force de frottement statique maximale d’Ayéda sur le toit. Calculez:
Commençons par tracer notre diagramme de forces:
v
f smax
85 Kg
v
T
v
T
60 Kg
v
Pv
1) La force de frottement statique entre Ayéda et le toit.
2) Le coefficient de frottement statique entre Ayéda et le toit.
3) La force de tension que subit le morceau de tissu.
4) Si le morceau de tissu ne peut tolérer qu’une tension de 600 N, est-ce que notre héros
sera capable de remonter notre demoiselle en détresse?.
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Exemple de problème sur le frottement
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Exemple de problème sur le frottement
1) Calcul de la force de frottement statique entre Ayéda et le toit:
3) Calcul de la force tension dans le tissu:
Comme le système est à la limite de son équilibre statique, la tension dans le tissu sera égale
au poids de Valérie et à la force de frottement statique maximale. Ceci veut donc dire que:
Comme le système est à la limite de son équilibre statique, la tension dans le tissu sera égale
au poids de Valérie et à la force de frottement statique maximale. Ceci veut donc dire que:
v
v
f smax = Pv = m v * g = 60 Kg * (−9,8 m/s 2 ) = 588 N
Donc la force de frottement statique maximale est de 588 N.
Donc la force de tension dans le tissu est de 588 N.
2) Calcul du coefficient de frottement statique entre Ayéda et le toit:
4) Est-ce qu’Ayéda pourra remonter Valérie?:
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f smax = 588 N = µ s * N = µ s * (85 Kg * 9,8 m/s )
Comme le tissu peut tolérer 600 N et que la tension n’est que de 588 N, Ayéda
pourra faire remonter Valérie, mais de justesse. Il ne pourra pas tirer trop fort audelà du poids de Valérie, car il n’a que 12 N de jeu.
588 N
= 0,706
µs =
85 Kg * 9,8 m/s 2
Donc le coefficient de frottement statique est de 0,706.
v
T = 60 Kg * (-9,8 m/s 2 ) = 588 N
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Exemple– Mouvement circulaire uniforme
Exemple– Mouvement circulaire uniforme
Dans le même film que celui mentionné dans l’exemple précédent, il y a une autre
scène typique d’Hollywood qui a lieu. Dans cette scène, deux personnes qui ne se
sont pas vues depuis longtemps sont très heureuse de se revoir. Appelons ces deux
personnes François et Cédric (c’est un film moderne…). Ils accourent un vers
l’autre, se sautent dans les bras, puis François (90 Kg) prend les mains de Cédric
(80 Kg) et tourne sur lui-même, faisant tourner, du même coup, Cédric autour de lui
(r = 2m). Étant très heureux de se revoir, ils ont bien sûr les mains moites, donc
glissantes (coefficient de frottement statique de 0,3 et N = 1000 N). Calculez:
Créons d’abord notre diagramme de forces:
v
V
r = 2m
v
Fr
1) La force centripète maximale que pourra subir le contact entre les mains de
chacun.
v
f smax
v
ar
2) L’accélération radiale que subit Cédric à ce point.
3) La vitesse à laquelle notre joyeuse réunion se transformera en un vol plané pour
Cédric.
4) La distance que parcourra Cédric lors de son vol plané, s’il part à l’horizontal à
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1m de hauteur.
Exemple– Mouvement circulaire uniforme
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Exemple– Mouvement circulaire uniforme
1) Calcul de la force centripète maximale
3) Calcul de la vitesse initiale du vol plané
Lorsque les mains sont sur le point de se détacher, la force centripète doit être
exactement égale en grandeur au frottement statique maximal:
v2
a r = ⇒ v 2 = a r * r = 3,75 m/s 2 * 2m = 7,50 m 2 /s 2
r
Fr = f smax = µ s N = 0,3 *1000 N = 300 N
v = 7,50 m 2 /s 2 = 2,74 m/s
Donc, la force centripète maximale est de 300 N.
Donc, la vitesse initiale du vol plané est de 2,74 m/s.
2) Calcul de l’accélération radiale que subit Cédric
4) Calcul de la distance que parcourra Cédric lors de son vol plané.
DONNÉES:
Fr = 300 N = m * a r = 80 Kg * a r
ar =
Xi = 0 m
300N
= 3,75 m/s 2
80Kg
Donc, l’accélération radiale est de 3,75 m/s2.
X
Xf = ? m
VXi = VXf = 2,74 m/s
ax = 0
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m/s2
Y
Yi = 1 m
Yf = 0 m
Vyi = 0 m/s
ay = -9,8
tf = ? s
Vyf = ? m/s
m/s2
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Exemple– Mouvement circulaire uniforme
Exemple - Mouvement circulaire non uniforme
Marie-Pier (70 Kg) et Carolina, deux jeunes files qui aiment beaucoup s’amuser,
s’arrêtent dans un parc d’amusement pour enfant. Marie-Pier, voyant un tourniquet
de 10m de diamètre, son jeu préféré lorsqu’elle était enfant, s’arrête pour aller faire
un tour. Le tourniquet est un modèle moderne ultra léger (masse à pousser sera donc
négligeable), bâti spécifiquement pour les professeurs de physique en manque
d’idées pour des problèmes à donner à leurs étudiants. Carolina sera donc chargée de
pousser sur les barres du tourniquet auxquelles Marie-Pier s’accroche pour le faire
tourner et elle peut produire une force de 500 N.
Calculons d’abord le temps nécessaire pour compléter la trajectoire:
1
1
y f = y i + v yi t + a y t 2 = 0 m = 1 m + (0 m/s) * t + (-9,8 m/s 2 ) * t 2
2
2
−1
2
2
2
2
= 0,204 s ⇒ t = 0,452 s
− 1 = - 4,9 m/s * t ⇒ t =
− 4,9
Plaçons ensuite cette valeur du temps dans la formule de la vitesse en x:
Vx =
∆x x f - x i (x f - 0) m x f
=
=
=
tf
(t f - 0) s
∆t t f − t i
1) Quelle sera la force résultante sur Marie-Pier au départ?
2) Quelle sera l’accélération tangentielle fournie par Carolina?
x f = Vx * t f = 2,74 m/s * 0,452 s = 1,238 m
3) Quelle sera la vitesse de Marie-Pier après une poussée de 5
secondes?
Donc, la distance parcourue par Cédric dans son vol plané est de 1,238 m.
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Exemple - Mouvement circulaire non uniforme
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Exemple - Mouvement circulaire non uniforme
Traçons d’abord notre diagramme de forces:
1) Calcul de la force résultante sur Marie-Pier au départ:
Comme la vitesse initiale est de 0 m/s, l’accélération radiale sera de 0 m/s2 et
donc, la force radiale sera de 0 N. La seule force non nulle restante est la force
de poussée de Carolina qui sera la force résultante au départ.
v
F = 500 N
r = 5m
v
Fr
4) Quelle sera la force résultante sur Marie-Pier à ce moment?
Donc, la force résultante sur Marie-Pier au départ est de 500 N.
2) Calcul de l’accélération tangentielle fournie par Carolina?
v
ar
Comme la seule force tangentielle est la force de poussée de Carolina, cette
force sera la seule responsable de fournir l’accélération à Marie-Pier.
F = 500 N = m * a T ⇒ a T =
500 N
= 7,143 m/s 2
70 Kg
Donc, l’accélération tangentielle fournie par Carolina est de 7,143 m/s2
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Exemple - Mouvement circulaire non uniforme
Exemple - Mouvement circulaire non uniforme
3) Calcul de la vitesse de Marie-Pier après 10 secondes:
La force résultante sera donnée par:
Vf = Vi + a T * t = 0 m/s + ( 7,143 m/s 2 * 5 s ) = 35,71 m/s
2
2
FR = Fr + FT = (17857,1 N) 2 + (500N) 2 = 17864,1 N
Donc, la vitesse de Marie-Pier après 10 secondes sera de 71,43 m/s
tanθ =
4) Calcul de la force résultante sur Marie-Pier:
17857,1 N
= 35,7142 ⇒ θ = 88,4 °
500 N
Donc, la force résultante sera de 17864,1 N à 88,4° de la tangente ( 1,6° du
rayon ).
Comme la poussée de Carolina est constante, la Force tangentielle sera
constante à 500 N. Calculons maintenant la force radiale après 10 secondes:
v 2 (35,71 m/s) 2
=
= 255,1 m/s 2
5m
r
Fr = = m * a r = 70 Kg * 255,1 m/s 2 = 17857,1 N
ar =
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Exemple – Résistance de l’air
Exemple – Résistance de l’air
En utilisant la formule pour la somme des forces, déterminez l’équation
permettant de calculer la vitesse limite à laquelle un objet de forme spécifique
peut tomber en chute libre. Indice: Cette formule sera en fonction de m, g,
C, ρ et A.
Considérons Sophie (70 Kg), une maniaque des sensations extrêmes,
se laisse tomber en chute libre à partir d’un avion sans son parachute:
1) Lorsque la vitesse limite est atteinte, quelle sera la grandeur de
la force de résistance de l’air sur Sophie?
2) Quelle sera cette vitesse limite qu’atteindra Sophie?
3) Si elle part du repos, quelle sera sa vitesse après 10 secondes
(assumant une accélération constante sans résistance pendant cette
période)?
4) Quelle sera la résistance de l’air à ce moment?
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Dérivation de l’équation permettant de calculer la vitesse limite:
Lorsqu’on considère la vitesse limite, cela veut dire que l’objet ne pourra pas aller
plus vite en chute libre; la vitesse est donc constante lorsqu’on atteint la limite. Pour
qu’une vitesse puisse être constante, il ne doit pas y avoir d’accélération pour cet
objet, donc la force résultante doit être de 0 selon l’axe des y:
∑F
y
1
2
CρAv L
2
vL =
1
2
CρAv L − mg = 0
2
2mg
2
= mg ⇒ v L =
CρA
= R - Fg =
2mg
CρA
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Exemple – Résistance de l’air
Exemple – Résistance de l’air
1) Calcul de la grandeur de la force de résistance de l’air sur Sophie?
3) Calcul de la vitesse après 5 secondes :
Comme on considère encore la vitesse limite, la force résultante doit être de 0 selon
l’axe des y, ce qui veut dire que la résistance de l’air est égale au poids:
Données:
R = mg = 70 Kg * 9,8 m/s 2 = 686 N
Yi = 0 m
yf = ? m
Vyi = 0 m/s
Vyf = ? m/s
ay = -9,8 m/s2
tf = 5 s
Donc, la résistance de l’air à la vitesse maximale est de 686 N
Vyf = Vyi + a y * t f = 0 m/s + ( - 9,8 m/s 2 * 5 s ) = - 49 m/s
2) Calcul de la vitesse limite qu’atteindra Sophie:
Donc, la vitesse de Sophie à 5 secondes serait de 49 m/s vers le bas.
2 * 70 Kg * 9,8 m/s 2
vL =
= 3048, 8 = 55,22 m/s
0,75 * 1 Kg/m 3 * 0,6 m 2
4) Calcul de la force de résistance de l’air à cette vitesse :
1
1
2
R = CρAv L = * 0,75 * 1 Kg/m 3 * 0,6 m 2 * (-49 m/s) 2 = 540,23 N
2
2
Donc, la vitesse maximale atteinte par Sophie est de 55,22 m/s
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Donc, la force de résistance de l’air à 5 secondes serait de 540,23 N
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