sujet - Université de Rouen

Université de Rouen
M1-PMSI
2015-2016
Analyse Numérique
F. Luddens
francky[email protected]
À la fin de l’épreuve, les programmes et images seront copiés sur la clef USB du professeur.
Examen du 21 juin 2016 (2h, documents autorisés)
Exercice 1 Réserve de pêche
On s’intéresse à la modélisation d’une réserve de pêche. On veut créer une réserve D, au sein de laquelle la pêche
est interdite. On cherche à suivre l’évolution de la population de poissons dans cette réserve. On notera u(x, y, t)
la densité de poissons au temps tà la position (x, y). L’évolution de la population est modélisée par
∂u
∂t −κ∆u=Cu 1−u M.
– Le terme −κ∆ureflète les mouvements aléatoires des poissons ; la constante κest le paramètre de mobilité ;
– Le terme Cu 1−u
M(appelé terme logistique) reflète la variation de population : c’est le produit d’un terme
Cu (croissance de la population) et de 1−u
Mqui modélise les limitations sur la taille de la population.
La frontière du domaine est composée de deux parties ∂D = Γ0∪Γ1:
– la frontière Γ0est sujette à une pêche intensive, l’évolution est alors modélisée par la condition de Dirichlet
u= 0 sur Γ0,
– la frontière Γ1représente la côte, où l’on utilise ∂u/∂n = 0.
Dans la suite, on se place dans le domaine suivant
D:= (x, y)|x2+y2< R2and y > 0
Γ1
D
Γ0
−R R
Après changements d’échelles, on peut se ramener au cas où les constantes κ,Cet Msont toutes égales à 1, ce
qui donne :
∂u
∂t = ∆u+u(1 −u)dans D,
u(x, y, t = 0) = u0(x, y)dans D,
u= 0 sur Γ0,∂u
∂n = 0 sur Γ1,
(1)
où u0(x, y)est une fonction donnée et u(x, y, t)est la fonction inconnue.
On utilise le schéma d’Euler semi-implicite. Pour un entier K > 0, on utilise
dt =T
K, tk=k dt for k= 0,1, . . . , K
et l’on cherche à calculer une approximation uk(x, y)'u(x, y, tk).
On utilisera la condition initiale simple, u0(x, y)≡1.
La fonction inconnue uk+1 est calculée à partir de uken utilisant
u0(x, y)est donnée,
pour k= 0,1, . . . , K −1,
ukétant donné, calculer uk+1 tel que
uk+1
dt −uk dt −∆uk+1 −uk(1 −uk) = 0 dans D,
uk+1 = 0 sur Γ0,∂uk+1
∂n = 0 sur Γ1.
(2)
1

•Q1- (sur papier) En notant u=uk+1, le système (2) devient :
−∆u+u
dt +g= 0 dans D,
u= 0 sur Γ0,∂u
∂n = 0 sur Γ1.
(3)
Donner l’expression de gen fonction de uk, et écrire la formulation variationnelle associée à (3) (on
gardera la notation g). On expliquera en détailler comment traiter les termes sur le bord !
•Q2- (sur papier) Pour dt = 1, vérifier que u1=R2−x2−y2satisfait les conditions de bords. Trouver alors
une fonction gtelle que u1est solution de (3).
•Q3- (programme Exam2016_Nom_ex1A.edp) Utiliser FreeFem++ pour résoudre (3).
Données numériques : R= 1,dt = 1 et gdonnée par le calcul de (Q2) (si vous n’avez pas pu faire ce
calcul, utiliser g= 1). Afficher la solution approchée u.
•Q4- (programme Exam2016_Nom_ex1B.edp) Modifier le programme précédent pour écrire un pro-
gramme FreeFem++ permettant de résoudre (2).
Utiliser R= 10,T= 10 et tester différentes valeurs de K:K= 10,20,50,100. Afficher la solution u
pour t=T.
•Q5- Tester le programme précédent pour différentes valeurs de R:R= 1,R= 5,R= 10. Pour chacune de
ces valeurs, reporter sur la copie la valeur maximale de uàt=T.
•Q6- (sur papier) Pour les valeurs de Rtestées, est-ce que la réserve de pêche est viable ? Commenter les
résultats obtenus à la question précédente.
Programmes et images à préparer pour la fin de l’examen
Exam2016_Nom_ex1A.edp + image 2d ou 3d de la solution,
Exam2016_Nom_ex1B.edp + image 3d de la solution à t=T, pour K= 50
Exercice 2 Équation de Stokes, sur papier
Le mouvement d’un fluide newtonien incompressible en régime permanent et à faible nombre de Reynolds peut
être décrit par les équations de Stokes :
µ∆~u − ∇p=ρ~ f, (4)
div(~u)=0 (5)
où ~u est la vitesse du fluide, µsa viscosité (supposée constante), pest la pression dans le fluide, ρla masse
volumique et ~ freprésente les forces extérieures.
On veut résoudre ces équations dans un domaine Ω, de frontière ∂Ω. Les inconnues sont la vitesse ~u et la pression
p. On veut imposer les conditions de bord ~u = 0 et ∂p/∂n = 0 sur ∂Ω.
•Q1- On veut établir la formulation variationnelle associée. Pour cela, on multiplie l’équation (4) par une fonc-
tion test ~v. On notera que ~u et ~v sont à valeurs vectorielles. On introduit les composantes ux, uy, uz, vx, vy, vz.
Écrire le produit ∆~u ·~v en fonction des composantes.
•Q2- En appliquant la formule de Green, trouver la formulation variationnelle correspondant à (4).
•Q3- En multipliant l’équation (5) par une fonction test q(scalaire cette fois-ci), donner une formulation varia-
tionnelle pour (5).
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