sujet - Université de Rouen

Université de Rouen
M1-PMSI
2015-2016
Analyse Numérique
F. Luddens
[email protected]
À la fin de l’épreuve, les programmes et images seront copiés sur la clef USB du professeur.
Examen du 21 juin 2016 (2h, documents autorisés)
Exercice 1 Réserve de pêche
On s’intéresse à la modélisation d’une réserve de pêche. On veut créer une réserve D, au sein de laquelle la pêche
est interdite. On cherche à suivre l’évolution de la population de poissons dans cette réserve. On notera u(x, y, t)
la densité de poissons au temps t à la position (x, y). L’évolution de la population est modélisée par
u
∂u
.
− κ∆u = Cu 1 −
∂t
M
– Le terme −κ∆u reflète
les mouvements aléatoires des poissons ; la constante κ est le paramètre de mobilité ;
u
– Le terme Cu 1 − M
(appelé terme logistique)
reflète la variation de population : c’est le produit d’un terme
u
Cu (croissance de la population) et de 1 − M qui modélise les limitations sur la taille de la population.
La frontière du domaine est composée de deux parties ∂D = Γ0 ∪ Γ1 :
– la frontière Γ0 est sujette à une pêche intensive, l’évolution est alors modélisée par la condition de Dirichlet
u = 0 sur Γ0 ,
– la frontière Γ1 représente la côte, où l’on utilise ∂u/∂n = 0.
Dans la suite, on se place dans le domaine suivant
Γ0
D := (x, y) | x2 + y 2 < R2 and y > 0
D
−R
Γ1
R
Après changements d’échelles, on peut se ramener au cas où les constantes κ, C et M sont toutes égales à 1, ce
qui donne :

∂u



 ∂t = ∆u + u(1 − u) dans D,
u(x, y, t = 0) = u0 (x, y) dans D,
(1)


∂u

 u = 0 sur Γ0 ,
= 0 sur Γ1 ,
∂n
où u0 (x, y) est une fonction donnée et u(x, y, t) est la fonction inconnue.
On utilise le schéma d’Euler semi-implicite. Pour un entier K > 0, on utilise
T
, tk = k dt for k = 0, 1, . . . , K
K
et l’on cherche à calculer une approximation uk (x, y) ' u(x, y, tk ).
dt =
On utilisera la condition initiale simple, u0 (x, y) ≡ 1.
La fonction inconnue uk+1 est calculée à partir de uk en utilisant

u0 (x, y) est donnée,




pour k = 0, 1, . . . , K − 1,


 u étant donné, calculer u
k
k+1 tel que
uk+1
uk

−
− ∆uk+1 − uk (1 − uk ) = 0 dans D,


dt
dt



 uk+1 = 0 sur Γ0 , ∂uk+1 = 0 sur Γ1 .
∂n
1
(2)
• Q1- (sur papier) En notant u = uk+1 , le système (2) devient :

u
 −∆u +
+ g = 0 dans D,
dt
 u = 0 sur Γ0 , ∂u = 0 sur
∂n
(3)
Γ1 .
Donner l’expression de g en fonction de uk , et écrire la formulation variationnelle associée à (3) (on
gardera la notation g). On expliquera en détailler comment traiter les termes sur le bord !
• Q2- (sur papier) Pour dt = 1, vérifier que u1 = R2 − x2 − y 2 satisfait les conditions de bords. Trouver alors
une fonction g telle que u1 est solution de (3).
• Q3- (programme Exam2016_Nom_ex1A.edp) Utiliser FreeFem++ pour résoudre (3).
Données numériques : R = 1, dt = 1 et g donnée par le calcul de (Q2) (si vous n’avez pas pu faire ce
calcul, utiliser g = 1). Afficher la solution approchée u.
• Q4- (programme Exam2016_Nom_ex1B.edp) Modifier le programme précédent pour écrire un programme FreeFem++ permettant de résoudre (2).
Utiliser R = 10, T = 10 et tester différentes valeurs de K : K = 10, 20, 50, 100. Afficher la solution u
pour t = T .
• Q5- Tester le programme précédent pour différentes valeurs de R : R = 1, R = 5, R = 10. Pour chacune de
ces valeurs, reporter sur la copie la valeur maximale de u à t = T .
• Q6- (sur papier) Pour les valeurs de R testées, est-ce que la réserve de pêche est viable ? Commenter les
résultats obtenus à la question précédente.
Programmes et images à préparer pour la fin de l’examen
Exam2016_Nom_ex1A.edp + image 2d ou 3d de la solution,
Exam2016_Nom_ex1B.edp + image 3d de la solution à t = T , pour K = 50
Exercice 2 Équation de Stokes, sur papier
Le mouvement d’un fluide newtonien incompressible en régime permanent et à faible nombre de Reynolds peut
être décrit par les équations de Stokes :
µ∆~u − ∇p = ρf~,
div(~u) = 0
(4)
(5)
où ~u est la vitesse du fluide, µ sa viscosité (supposée constante), p est la pression dans le fluide, ρ la masse
volumique et f~ représente les forces extérieures.
On veut résoudre ces équations dans un domaine Ω, de frontière ∂Ω. Les inconnues sont la vitesse ~u et la pression
p. On veut imposer les conditions de bord ~u = 0 et ∂p/∂n = 0 sur ∂Ω.
• Q1- On veut établir la formulation variationnelle associée. Pour cela, on multiplie l’équation (4) par une fonction test ~v . On notera que ~u et ~v sont à valeurs vectorielles. On introduit les composantes ux , uy , uz , vx , vy , vz .
Écrire le produit ∆~u · ~v en fonction des composantes.
• Q2- En appliquant la formule de Green, trouver la formulation variationnelle correspondant à (4).
• Q3- En multipliant l’équation (5) par une fonction test q (scalaire cette fois-ci), donner une formulation variationnelle pour (5).
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