localisation par satellites

UNIVERSITÉ D’ORLEANS Année universitaire 2007-2008
UFR Sciences Licence de Physique-Chimie, 1ère année
SCL1PY01 PANORAMA DE LA PHYSIQUE :EXERCICES
LOCALISATION PAR SATELLITES
Quelques valeur utiles
Rayon moyen de la Terre RT=6370 km
Masse de la Terre mT=5.97 ·1024 kg
Constante de gravitation G=6.67 ·10−11 N kg−2m2
Vitesse de la lumière dans le vide c=2.9979 ·108m s−1
Altitude moyenne d’un satellite NAVSTAR h=20184 km.
Altitude moyenne d’un satellite de Galileo h=23616 km.
1Eratosthène observa en 205 av. J.-C. qu’à midi, lorsque le Soleil était au zénith à Syène, il
faisait en revanche un angle de 7° avec la verticale à Alexandrie, située plus au nord. Il estima la
distance entre les deux villes à 5000 stades. Selon les historiens, un stade vaut 157 m. Déterminez
à partir de cela la circonférence de la Terre. Est-il nécessaire que les deux villes aient la même
longitude (= soient situées sur le même méridien)?
2La parallaxe de Bételgeuse (une étoile
massive) vaut α=7.63 millièmes de se-
conde d’arc. Cette parallaxe est l’angle sous
lequel un observateur situé sur Bételgeuse
verrait le rayon de l’orbite terrestre. Ce der-
nier égale une unité astronomique. A quelle
distance (exprimée en UA) de la Terre Bé-
telgeuse se trouve-t-elle?
Terre
Soleil
1 U.A.
α
d
3Le système LORAN C a pendant plusieurs décennies servi à la navigation maritime près
des côtes. Tous les émetteurs du réseau LORAN émettent exactement en même temps un signal

périodique. Le récepteur à bord du navire est capable d’identifier chaque émetteur dont il reçoit le
signal. Il calcule aussi le décalage entre le temps d’arrivée des différents signaux.
Montrez comment la connaissance de ce décalage ainsi que de l’emplacement de chaque émetteur
permet de déterminer sa position. Combien d’émetteurs faut-il capter simultanément?
4Les satellites du système GPS se déplacent sur des orbites circulaires non géostationnaires.
Pour cette raison, ils ne restent jamais au-dessus du même lieu terrestre. Or il semble a priori
plus simple d’avoir une constellation de satellites GPS géostationnaires répartis autour de la Terre.
Expliquez pourquoi ceci n’est pas le cas.
5Combien au minimum faut-il disposer de satellites de positionnement autour de la Terre pour
qu’en tout point du globe on puisse en voir au minimum quatre simultanément?
6Le principe de la localisation par satellites est principalement basé sur le temps de propaga-
tion d’ondes électromagnétiques, qui se déplacent à une vitesse proche de celle de la lumière dans
le vide. On pourrait aussi envisager d’utiliser des ondes sonores (dont la vitesse est typiquement
106plus faible). Or cela pas. Pourquoi?
7Ganymède est l’un des multiples satellites naturels de la
planète Jupiter. Il fut découvert en 1610 par Galileo Galilei, qui
en détermina la période orbitale T=7.16 jours et le demi-grand
axe a=1.07 ·109m. Cette découverte joua un rôle capital dans
l’histoire de l’astronomie, car elle permit à Galilei d’estimer la
masse de Jupiter. Montrez comment procéder pour estimer cette
masse.
8La masse de la planète Mars vaut un dixième de celle de la Terre. Si un satellite placé sur une
orbite circulaire de rayon RTfait le tour de la Terre en un temps donné, quel devrait être le rayon
RMde l’orbite nécessaire pour faire un tour complet de Mars pendant la même durée?
9Les satellites géostationnaires se déplacent sur des orbites circulaires et se situent toujours à
la verticale du même lieu sur la Terre. Déterminez le rayon de leur orbite, ainsi que leur altitude
au-dessus de la surface terrestre.
10 Les satellites NAVSTAR se déplacent sur des orbites circulaires, à une altitude moyenne
donnée ci-dessus. Quelle est leur période orbitale?
11 Dès 2011, Galileo fournira un service équivalent à celui du GPS. Ses satellites se dépla-
ceront sur des orbites circulaires, à une altitude moyenne de 23616 km. Comparez leur période
orbitale à celle des satellites du système GPS, sans faire appel à la masse de la Terre.

12 Déterminez comment varie la vitesse orbitale d’un satellite avec son altitude (prenez une
orbite circulaire). Déduisez-en la vitesse maximale que pourrait avoir un satellite en orbite circu-
laire.
13 Si l’altitude d’un satellite change, sa période orbitale change aussi. Prenons deux satellites
qui se trouvent côte à côte sur des orbites circulaires concentriques, de telle sorte que le rayon
d’orbite du premier soit ret celui du second r−d. Après un tour d’orbite complet du premier
satellite, le second aura pris un léger retard/avance sur le premier. Estimez de combien varie la
distance (le long de l’orbite) qui sépare deux satellites après que le premier ait fait un tour complet
autour de la Terre.
Déterminez cette distance pour d=0.1 cm.
14 Calculez le temps que met un signal radio émis par un satellite GPS situé au zénith pour
atteindre un récepteur situé au niveau de la mer. Comparez cette durée avec celle d’une onde sonore
(en supposant que celle-ci se propage toujours à la vitesse du son).
15 Une onde électromagnétique qui traverse l’ionosphère terrestre est très légèrement ralentie
pendant la traversée de cette dernière. Estimez le retard subi par une onde (émise par un satellite
GPS qui se trouve au zénith) et déterminez l’erreur qui en résultera sur la position relevée par le
récepteur.
Application numérique : approximez l’ionosphère par une couche homogène située entre 100 et
500 km d’altitude, dans laquelle l’indice de réfraction passe de n=1àn=1.0001.
16 L’ionosphère dévie très légèrement les ondes électromagnétiques qui la traversent. Estimez
l’écart au sol subi par une onde électromagnétique émise depuis un satellite proche au zénith, à
4° de la verticale. Approximez l’ionosphère par une couche homogène située entre 100 et 500 km
d’altitude, dans laquelle l’indice de réfraction passe de n=1àn=1.0001.
17 Un observateur muni d’un récepteur GPS observe
en même temps deux satellites dans le ciel, situés à égale
distance de lui et de façon symétrique (cf. dessin). L’un des
satellites souffre d’un défaut qui entraîne un retard systé-
matique de 10 µssur le temps universel. Estimez l’erreur
commise sur la calcul de la position du récepteur.
18 L’effet Doppler explique l’écart observé entre la fréquence fsd’une onde émise par une
source qui se déplace par rapport à un observateur immobile, et la fréquence foque perçoit ce
dernier. Si vest la vitesse de l’émetteur par rapport à celle du récepteur (ici v<0si l’émetteur
s’éloigne) alors
fo
fs
=sc0+v
c0−v

Dans quel cas (pour quelle position du satellite) cet l’écart ∆f=fo−fsest-il maximal?
Application numérique : Déterminez l’écart maximal ∆fpour un récepteur immobile qui reçoit le
signal d’un satellite GPS dont l’émetteur fonctionne à la fréquence f=1575.42 MHz. La vitesse
orbitale du satellite est v=3800 m/s.
19 Un récepteur GPS immobile capte un signal émis par un satellite GPS. La fréquence de ce
signal est légèrement décalée par effet Doppler : elle est ∆f=31.5 kHz inférieure à la fréquence
d’émission du satellite, qui vaut fs=1575.42 MHz.
– Le satellite et le récepteur se rapprochent-ils l’un de l’autre ou est-ce le contraire? Justifiez votre
réponse.
– Déduisez-en la vitesse và laquelle les deux s’approchent (ou s’éloignent).
– Cette vitesse vous paraît-elle réaliste? Justifiez votre réponse.
Réponse : v= −5996 m/s, la source s’éloigne car v<0.
20 La plupart des récepteurs du commerce peuvent mesurer par effet Doppler des vitesses
de déplacement du récepteur allant jusqu’à 1 m/s. Quelle doit être la résolution en fréquence du
récepteur pour mesurer correctement un telle vitesse?
21 Déterminez la dilatation du temps, due aux effets relativistes, observée à bord d’un satellite
GPS. Si on néglige cette dilatation, quelle sera l’erreur de positionnement (en mètres) au bout
d’une durée de ts=10 minutes?
22 D’après la théorie de la relativité restreinte, le temps s’écoule différemment dans un réfé-
rentiel mobile animé d’une vitesse v, que dans un référentiel au repos. En 1971, pour vérifier cela,
une horloge atomique fut embarquée sur un avion qui fit deux fois le tour de la Terre (une fois
vers l’Est et une fois vers l’Ouest), à une vitesse moyenne de v=960 km/h. De retour sur Terre,
l’heure de cette horloge fut comparée avec celle d’une horloge atomique identique, qui était restée
sur Terre. Estimez l’écart observé entre les deux horloges. Le sens de la trajectoire (vers l’Est ou
vers l’Ouest) a-t-il une incidence sur le résultat?
23 Estimez la force exercée par la pression photonique sur un satellite en orbite autour de la
terre. Si cette force s’exerce de façon continue pendant 2 heures, quel changement de vitesse en
resulte-t-il? Donnez d’abord l’expression analytique de cette force et du changement de vitesse.
Application numérique : masse du satellite m=500 kg, surface du satellite S=10 m2, densité de
puissance reçue par unité de surface Π=1350W/m2.
24 La vitesse de la lumière dans le vide est actuellement évaluée à c=299′792′458 m/s. Si les
trois dernières décimales n’étaient pas connues, quelle erreur en résulterait-il sur la détermination
de la position par un récepteur GPS?
Réponse : δz=30.8 m.
10 août 2007