[math.NT] 2 Jan 2004 Densité de points et

arXiv:math/0304046v2 [math.NT] 2 Jan 2004
Densit´e de points et minoration de hauteur
Nicolas Ratazzi
Universit´e Paris 6, Projet th´eorie des nombres, UMR 7586, case 247, 4
place Jussieu, Institut de math´ematiques, 75252 Paris, FRANCE
Abstract
We obtain a lower bound for the normalised height of a non-torsion subvariety
Vof a C.M. abelian variety. This lower bound is optimal in terms of the
geometric degree of V, up to a power of a “log”. We thus extend the results
of F. Amoroso and S. David on the same problem on a multiplicative group
Gn
m. We prove furthermore that the optimal lower bound (conjectured by S.
David and P. Philippon) is a corollary of the conjecture of S. David and M.
Hindry on the abelian Lehmer’s problem. We deduce these results from a
density theorem on the non-torsion points of V.
keyword : abelian varieties, normalised height, Lehmer problem
1991 MSC : 11G50, 11J86,14G40, 14K12, 14K22
1 Introduction
On sait depuis les travaux de Philippon [15] [16] [17], puis Bost, Gillet,
Soul´e [8] dans le cadre de l’intersection arithm´etique, comment d´efinir la
hauteur des vari´et´es projectives ; l’id´ee ´etant de consid´erer un point comme
une vari´et´e de dimension z´ero et de g´en´eraliser ceci en dimension sup´erieure.
De mˆeme que dans le cas des points, on sait pour les vari´et´es ab´eliennes
1Email adress : [email protected] (Nicolas Ratazzi)
1

munies d’un fibr´e en droites ample et sym´etrique d´efinir une hauteur par-
ticulierement agr´eable : la hauteur canonique b hL, ou hauteur normalis´ee.
En dimension z´ero, il existe un th´eor`eme caract´erisant les points de hauteur
normalis´ee nulle ; c’est un r´esultat de Kronecker dans le cas de Gm. Philip-
pon [17] (dans le cas d’un produit de courbes elliptiques) puis Zhang [21] et
David-Philippon [10] dans le cas g´en´eral ont montr´e comment g´en´eraliser ce
r´esultat pour caract´eriser les sous-vari´et´es de hauteur normalis´ee nulle : ce
sont les translat´ees d’un sous-groupe alg´ebrique par un point de torsion. On
dit qu’une telle sous-vari´et´e est une sous-vari´et´e de torsion. La r´eponse `a
cette question r´epond `a une conjecture de Bogomolov. Ceci ´etant, on peut
se demander comment minorer la hauteur normalis´ee d’une sous-vari´et´e de
hauteur non-nulle d’une vari´et´e ab´elienne. Dans leur article [10], David et
Philippon ont formul´e un probl`eme g´en´eral (le probl`eme 1.7) contenant cette
question. On peut notamment faire ressortir de la discussion suivant la for-
mulation de leur probl`eme l’´enonc´e suivant :
Conjecture 1 (David-Philippon) Soit Aune vari´et´e ab´elienne d´efinie sur
un corps de nombres k, munie d’un fibr´e ample et sym´etrique L. Soit V
une sous-vari´et´e stricte de Asur k,k-irr´eductible et qui n’est pas r´eunion de
sous-vari´et´es de torsion, alors, on a l’in´egalit´e
b
hL(V)
degL(V)≥c(A, L) degL(V)−1
s−dimV,
o`u sest la dimension du plus petit sous-groupe alg´ebrique contenant V, et o`u
c(A, L)est une constante ne d´ependant que de Aet de L.
Dans ce qui suit, on reprend le r´esultat principal (ainsi que le sch´ema de
d´emonstration) de Amoroso-David [2] concernant le groupe multiplicatif Gn
m,
pour obtenir un r´esultat analogue dans le cadre des vari´et´es ab´eliennes. En
utilisant les r´esultats de David-Hindry [9] concernant le probl`eme de Lehmer
ab´elien, on obtient en corollaire un r´esultat en direction de la conjecture 1.
Ce dernier ne concerne que les vari´et´es ab´eliennes de type C.M., par contre
il est essentiellement optimal (`a un facteur log pr`es) en le degr´e de V.
Remerciements Je tiens `a remercier M. Hindry pour sa patiente relecture,
et je le remercie ´egalement, ainsi que S. David, pour m’avoir encourag´e `a
´ecrire cet article. Par ailleurs je souhaite aussi remercier chaleureusement ´ E.
2

Gaudron et G. R´emond pour m’avoir indiqu´e une erreur dans la preuve du
lemme 3 dans une version pr´eliminaire de cet article.
1.1 Degr´e et hauteur
Soit kun corps de nombres. On dira que Vest une vari´et´e alg´ebrique sur k
si Vest un k-sch´ema de type fini g´eom´etriquement r´eduit. On dira que G
est un groupe alg´ebrique sur ksi c’est une vari´et´e en groupes sur k. On dira
que Aest une vari´et´e ab´elienne d´efinie sur ksi c’est un groupe alg´ebrique
connexe propre et lisse sur k. Par sous-vari´et´e on entendra toujours sous-
vari´et´e ferm´ee.
Soient Okl’anneau des entiers de k,nun entier, et Xune vari´et´e projective
munie d’un plongement ϕL:X ֒→Pn
kd´efini par un fibr´e Ltr`es ample sur
X. Si O(1) d´enote le fibr´e standard sur Pn
Ok,on a ϕ∗ LO(1)k≃L. On note
O(1) le fibr´e standard muni de la m´etrique de Fubini-Study. Si Vest une
sous-vari´et´e de X, on note VLl’adh´erence sch´ematique de ϕL(V) dans Pn
Ok.
D´efinition 1 On d´efinit le degr´e de la vari´et´e Vrelativement `a L, et on note
degLVl’entier degkc1(O(1)k)dimV·ϕL(V)o`u degkest le degr´e projectif
usuel sur Pn
k.
D´efinition 2 On appelle hauteur de la vari´et´e Vassoci´ee `a L, et on note
hL(V) la hauteur de VL, au sens de Bost-Gillet-Soul´e [8] p. 945 d´efinition
3.1.1., associ´ee au fibr´e hermitien O(1). Notons que l’on ne normalise pas
cette hauteur par le degr´e degL(V).
Remarque 1 Par le th´eor`eme 3 p. 366 de [19], hL(V) coincide avec la hau-
teur h(fV,L) de Philippon, telle que d´efinie au paragraphe 2. de [17], o`u fV,L
est une forme ´eliminante de l’id´eal de d´efinition de ϕL(V) dans k[X0,...,Xn].
(Le terme d’erreur de [19] disparait du fait du changement de normalisation
pour la hauteur de Philippon entre les articles [15] et [17]).
D´efinition 3 Dans le cas o`u X=Aest une vari´et´e ab´elienne, et o`u Lest en
plus sym´etrique, Philippon [17] (dans le cas o`u Ld´efinit un plongement pro-
jectivement normal) puis Zhang [21], avec des m´ethodes arakeloviennes, ont
montr´e en utilisant un proc´ed´e de limite `a la N´eron-Tate, comment d´efinir
une hauteur canonique, not´ee b hL(.), sur l’ensemble des sous-vari´et´es de A.
Cette hauteur v´erifie notamment : si Xest une sous-vari´et´e de A, de stabil-
3

isateur GX, et si nest un entier, alors,
b
hL([n](X)) = n2(dimX+1)
|ker [n]∩GX|b
hL(X).
D´efinition 4 Soit A/k une vari´et´e ab´elienne. On dit que Vest une sous-
vari´et´e de torsion de Asi V=a+Bavec a∈Ators et Bune sous-vari´et´e
ab´elienne de A. On dit que c’est une sous-vari´et´e de torsion stricte de A
si c’est une sous-vari´et´e de torsion a+Bavec Bune sous-vari´et´e ab´elienne
stricte de A.
D’apr`es les r´esultats de Philippon [17], David-Philippon [10] et Zhang [21],
on a, si Vest une sous-vari´et´e de A/k d´efinie sur une extension finie K/k,
b
hL(V) = 0 si et seulement si Vest une sous-vari´et´e de torsion.
D´efinition 5 Soient Vune sous-vari´et´e de Asur k, et θun nombre r´eel
positif. On pose V(θ, L) = nx∈V(k)/b
hL(x)≤θo.On d´efinit alors le
minimum essentiel de V, et on note µess
L(V) le r´eel
µess
L(V) = inf nθ > 0/ V (θ, L) = Vo,
o`u V(θ, L) est la fermeture de Zariski de V(θ, L) dans A.
1.2 R´esultats
Soient kun corps de nombres, A/k une vari´et´e ab´elienne de dimension g, et
Lun fibr´e en droites tr`es ample sur A. On d´emontre le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme 1 Soient K/k une extension finie, et Vune sous-vari´et´e alg´ebri-
que de Asur K,K-irr´eductible et contenue dans aucune r´eunion de sous-
vari´et´es de torsion strictes de A. Alors, pour tout r´eel ε > 0, l’ensemble des
points x∈V(K)d’ordre infini pour toute sous-vari´et´e ab´elienne stricte de
A, et dont la hauteur de N´eron-Tate relativement `a Lv´erifie
b
hL(x)≤b
hL(V)
degLV+ε
est Zariski dense dans V.
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On peut donner deux corollaires `a ce th´eor`eme. Pour cela, on a besoin d’une
d´efinition.
D´efinition 6 Soient Aune vari´et´e ab´elienne d´efinie sur un corps de nombres
k,Lun fibr´e en droites ample sym´etrique, et x∈A(k).Suivant [9] d´efinition
1.2., on appelle indice d’obstruction de x, et on note δL(x) la quantit´e
δL(x) = min ndegLX1
codim X/ x ∈Xo,
o`u le minimum est pris sur l’ensemble des sous-vari´et´es strictes, X, de Asur
k,k-irr´eductibles.
On peut voir le point x∈A(k) comme une sous-vari´et´e de A, d´efinie sur k,k-
irr´eductible, de dimension 0 et de degr´e [k(x) : k]. Avec cette interpr´etation,
la d´efinition pr´ec´edente admet la g´en´eralisation suivante : si Vest une sous-
vari´et´e stricte de Asur k,k-irr´eductible, on appelle indice d’obstruction de
V, et on note δL(V) la quantit´e
δL(V) = min ndegLX1
codim X/ V ⊂Xo,
o`u le minimum est pris sur l’ensemble des sous-vari´et´es strictes, X, de Asur
k,k-irr´eductibles.
Remarque 2 On a par d´efinition, 1 ≤δL(V)≤degL(V)1
codim V. Dans le cas
o`u Vest de dimension 0, on retrouve ainsi le lemme 1.3. de [9].
En utilisant le r´esultat de [9] concernant le probl`eme de Lehmer pour les
vari´et´es ab´eliennes de type C.M., on peut alors montrer le r´esultat suivant :
Corollaire 1 Supposons de plus que Aest de type C.M. Soit Vune sous-
vari´et´e alg´ebrique stricte de Asur k,k-irr´eductible et contenue dans aucune
r´eunion de sous-vari´et´es de torsion strictes de A. Alors, l’ensemble
(x∈V(k)/b
hL(x)≤c(A, L)
δL(V)log log(3δL(V)) log(3δL(V)) κ(g)),
n’est pas Zariski dense dans V. Ici c(A, L)est une constante ne d´ependant
que de Aet de L, et κ(g)est une constante effectivement calculable ne
d´ependant que de g(par exemple κ(g) = (2g(g+ 1)!)g+2 convient).
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