ondes electromagnetiques

ONDES ELECTROMAGNETIQUES
Cyril Luxey
I – Propagation des ondes électromagnétiques
II – Ondes Electromagnétiques planes
Ö Contrôle 1
III – Lignes de transmission
Ö Contrôle 2
I – Propagation des ondes électromagnétiques
I.1
I.2
I.3
I.4
I.5
I.6
I.7
I.8
–
–
–
–
–
–
–
–
Les sources
Equations de Maxwell
Potentiels vecteur et scalaire
Loi de conservation de la charge électrique
Equations de propagation des champs
Conditions de passage à l’interface entre deux milieux
Electromagnétisme en régime sinusoïdal
Les différents milieux
I.8.a – Les milieux diélectriques linéaires
I.8.b – Les milieux magnétiques linéaires
I.8.c – Les milieux conducteurs linéaires
I.9 – Puissance et Energie
I.10 - Guides d’ondes rectangulaires
1
2
III – Lignes de transmission
II – Ondes Electromagnétiques planes
II.1 – Définition
II.2 – Ondes EM planes en régime sinusoïdal dans un milieu
linéaire parfait ne comportant ni charge ni courant
II.3 – Polarisation selon une droite quelconque
II.4 – Polarisation d’une onde plane
II.5 – Densité d’énergie
II.6 – Puissance transportée par une onde plane
II.7 – Réflexion, réfraction
II.8 – Ondes planes dans un milieu conducteur
II.8.a – Epaisseur de peau
II.8.b – Impédance de surface
II.8.c – Puissance dissipée par effet Joule
II.9 – Ondes planes dans un milieu imparfait non conducteur
3
III.1
III.2
III.3
III.4
III.5
–
–
–
–
–
Description d’une ligne
Equations fondamentales
Variation de l’impédance le long d’une ligne
Lignes sans pertes
Impédance caractéristique des lignes sans pertes
Ligne coaxiale, Ligne bifilaire, Ligne microruban
III.6 – Coefficient de réflexion
III.7 – Rapport d’ondes stationnaires
III.8 – Puissance réfléchie
III.9 – Adaptation d’une ligne
III.10 – Exemples d’adaptation d’une ligne sans pertes
Adaptation quart d’onde, Adaptation par stub
III.11 – Abaque de Smith
III.11.a – Grandeurs réduites
III.11.b – L’abaque de Smith
III.11.c – Utilisation de l’abaque en admittance
III.12 – Exemples d’utilisation de l’abaque de Smith
4
1
I.1 – Les sources du champ eom
I – Propagation des ondes eom
Les champs électrique et magnétique sont
déterminés à partir des
ρ ( x , y, z , t )
r
j (x, y, z, t)
James Clerk Maxwell (1831-1879)
qui sont les sources du champ électromagnétique
liées entre elles par l’équation de conservation de la charge électrique
5
6
Charges ponctuelles : charge q de vitesse v
Charges réparties : dans des volumes τ sur des surfaces s ou sur des lignes l
Densité superficielle de courant
r
r
js = ρs v
Densité superficielle de charge
ρs =
Densité volumique de charge
Densité volumique de courant
Intensité de courant
i=
dq
ds
Intensité du courant à travers une courbe c di = js n c dc ⇒ i = ∫ js ⋅ n c dc
dq
dt
c
nc est perpendiculaire à dc (la courbe)
mais tangentiel à la surface
n est perpendiculaire à la surface
Charges immobiles : vitesse 0, densité volumique et intensité de courant 0
Linéairement (fil électrique de section infiniment petite)
Plusieurs fluides électriques de natures différentes et de vitesses différentes
peuvent coexister et se superposer les uns aux autres.
7
ρl =
dq
dc
i=
dq
dt
8
2
I.2 - Equations de Maxwell
Les champs
Electrique :
Les champs électrique et magnétique sont déterminés à partir des :
champ électrique
induction électrique
r
d= ε e
ε permittivité absolue du milieu
densités volumiques de charge
ρ ( x , y, z , t )
densités volumiques de courant
r
j ( x , y, z, t )
Magnétique : champ magnétique ou excitation du champ magnétique
induction magnétique
r
b= μ h
μ perméabilité absolue du milieu
9
10
Interprétation des équations de Maxwell
Les quatre équations de Maxwell
(forme locale)
(1)
équation de Maxwell–Faraday
(2)
équation Maxwell–Ampère
(3)
équation Maxwell–Gauss
(4)
équation du flux conservatif
Les équations (1) et (2) sont des relations champ - champ
et les relations (3) et (4) sont des relations champ - source
11
12
3
I.3 – Potentiels vecteur et scalaire
Au champ électromagnétique on associe le couple de potentiels
I.4 – Loi de conservation de la charge électrique
En régime variable
la densité volumique de courant et la densité volumique de charges
sont liées par la relation locale dite
(ar, ϕ)
“ équation de continuité ” ou “ équation de conservation de la charge ”
tel que
r ∂ρ
div j +
=0
∂t
r
r
b = rot a
13
I.5 – Equations de propagation des champs
14
Création et propagation du champ eom
Les équations de Maxwell dans le vide (dépourvu des charges et de courants)
r
ρ=0
j=0
r
divb = 0
r
r
∂b
rote = −
∂t
div d = 0
rot h =
∂d
∂t
permettent d’obtenir les équations (différentielles) de propagation des champs
Et ainsi de suite …
Les potentiels obéissent à des équations (d’onde) du même type
15
16
4
I.6 - Conditions de passage à l’interface entre deux milieux
r
r
ann
a
r
r
r
r r
n
a = an n + at
js
r
M
ρs
at
(2)
I.7 - EOM en régime sinusoïdal (ou harmonique)
on adopte la notation complexe
Soit
a ( t ) = a 0 cos(ωt + φ)
(1)
Le retour au signal réel s’effectue par
Composantes tangentielles
continuité du champ électrique tangentiel à la
traversée d’une surface électrisée
discontinuité du champ magnétique tangentiel
en présence de courants superficiels
a x = a 0 x cos(ωt + φ x )
r
a (t ) a y = a 0 y cos(ωt + φ y )
Composantes normales
a z = a 0 z cos(ωt + φ z )
discontinuité du champ électrique normal
continuité du champ magnétique normal
[
]
[
r
r
a (t ) = ℜe A e jωt
]
18
Equations de Maxwell en régime sinusoïdal
notation complexe
r
r
rot E = − jωB
r r
r
rot H = J + jωD
r
div D = Ρ
r
div B = 0
(la barre représente la moyenne temporelle)
(
retour
vecteur amplitude complexe ne dépend plus du temps
17
Propriétés de la notation complexe
r r
r r 1
a ⋅ b = ℜe A ⋅ B *
2
A x = a 0 x e jφ x
r
jφ
A A y = a 0ye y
jφ z
A z = a 0ze
)
+
r
1 r r
1 2
a2 = A ⋅A* = A
2
2
19
Equation de conservation de la charge
r
div J + jω Ρ = 0
20
5
Équations de propagation des champs
et des potentiels en régime sinusoïdal
Potentiels électromagnétique en régime sinusoïdal
Notation complexe
Au champ électromagnétique, on associe le couple de potentiels
( )
r
A, ϕ
r
r
B = rot A
tel que
Dans un milieu linéaire, dépourvu de charges et de courants,
les équations de Maxwell
permettent d’obtenir
les équations de propagation des champs
r
r
E = − jω A − grad ϕ
r
r r
Δ E + k 2E = 0
r
r
Δ H + k 2H = 0
Ces potentiels ne sont pas déterminés complètement
k=
avec k nombre d’onde
On peut donc leur imposer une relation supplémentaire (jauge de Lorentz)
pour assurer leur complète détermination
r
div A + jωεμ ϕ = 0
r
r
r
Δ A + k 2A = −μ J
21
=ω ε μ
Δ ϕ + k 2ϕ = -
Ρ
ε
22
I.8 Les différents milieux
I.8.a - Les milieux à diélectrique linéaire
- les sources
- les champs
- les potentiels
r
r
D = εE
r
A
r
r
r
Δ A + k 2A = −μ J
r
r
r
j
E = − jω A −
grad divA
ωεμ
r
E
r
r 1
H = rot A
r
H
μ
v
S’il y a présence de charges et de courants,
En régime variable sinusoïdal on ne peut plus dissocier
(
ω
)
ε = εr ε0
ε permittivité absolue du milieu
εr permittivité relative du milieu
ε0 permittivité du vide ε0 = 8.84⋅ 10−12 F⋅m−1
Si ε est réel : le diélectrique linéaire est parfait (pas de pertes calorifiques
par hystérésis diélectrique)
Si ε est complexe : le diélectrique linéaire est imparfait (pertes calorifiques
par hystérésis diélec.)
Ö
D est en retard de phase sur E de δ (frottement des dipôles de la matière lors dpt)
ε = ε′ − j ε′′ = ε e − jδ
23
ε′, ε′′, δ > 0
δ : angle de pertes du diélectrique
24
6
I.8.b - Les milieux magnétiques linéaires
r
r
B=μH
μ perméabilité absolue du milieu
μr perméabilité relative du milieu
−7
−1
μ0 perméabilité du vide μ0 = 4π ⋅ 10 H⋅m
μ = μr μ0
Si μ est réel : milieu magnétique est linéaire parfait (pas de pertes calorifique
par hystérésis magnétique)
Si μ est complexe : milieu magnétique linéaire est imparfait (pertes calo. par
hystérésis magnétique)
Ö
B est en retard de phase sur H
μ = μ′ − j μ′′
ε0 μ0 c2 = 1 ⇒ c =
μr =
1
ε0 μ0
μ
μ0
≈ 1 ⇒ μ ≈ μ0
Equations de Maxwell
en régime sinusoïdal (notation complexe) dans
un milieu linéaire diélectrique et magnétique
r
r
rot E = − jωμ H
r r
r
rot H = J + jωε E
r Ρ
div E =
ε
(sauf les ferrites)
c est la vitesse de la lumière et donc des ondes EM dans le vide
25
c = 3 x 108 m/s
r
div H = 0
26
I.8.c - Les milieux conducteurs linéaires
Conditions de passage à l’interface entre
deux milieux linéaires en présence de charges
r
r
J = σE
Composantes tangentielles
σ
σ infini
r
r
r
E t 2 − E t1 = 0
conductivité du milieu
Ö
conducteur parfait
8
−1
−1
Cuivre σ = 0,5 ⋅ 10 Ω ⋅ m
r
r
r r
H t 2 − H t1 = J s ∧ n
Bon conducteur : σ ≥ 106
Conducteur parfait, J= ?
Composantes normales
ε 2 E n − ε 1E n = ρ s
2
1
μ 2 H n − μ1H n = 0
2
1
27
28
7
Conditions de continuité à l’interface
d’un conducteur parfait
r
E
r
r
n
js
r
M
ρ
s
(2)
H
Milieu conducteur
Diélectrique linéaire parfait
Diélectrique linéaire imparfait
Conducteur parfait
(1)
r
r
Et2 = 0
r
ε 2E n = ρs ⇒ E n =
2
r
r r
H t 2 = Js ∧ n
2
μ2H n = 0
r
r
rot H = jωε E
r
r
rot H = ωε '' + jωε ' E
(
ρs r
n
ε2
)
r
r
rot H = (σ + jωε )E
r
Diélectrique linéaire imparfait + conducteur rot H =
(σ + ωε
''
r
+ jωε ' E
)
Conductivité fictive qui s’ajoute
à la conductivité ohmique σ
2
Les champs E, H et Js forment un trièdre direct
diélectrique linéaire
Diélectrique linéaire parfait + conducteur
Composantes normales
Composantes tangentielles
et
29
Comme ρ=0 dans le conducteur, les charges négatives sont
exactement compensées en tout point par les charges positives
30
I.9 – Puissance et Energie
Force de Lorentz
Une charge animée d’une vitesse subit de la part du champ EM la force EM
(
r
r r r
f =q e+v∧b
Travail de f
)
entre t et t+dt
r r
r r
dT = f ⋅ v dt = q e ⋅ v dt
cédée par le champ eom aux particules chargées de dV
[
]
r r
dP 1
= ℜe E ⋅ J *
dV 2
dV
M
r
J
Avec d P = puissance moyenne temporelle reçue par les particules de dV
(ou cédée par le champ)
r
v dt distance parcourue
Puissance cédée à l’instant t par le champ à la particule
Si l’on a un conducteur linéaire (ohmique), la puissance acquise par l’élément
dV (cad le courant) est rétrocédée sous forme de chaleur (effet Joule)
r
r
d PJ 1 r r
r
dPJ
J = σE
= σE ⋅ E * en régime sinusoïdal
= σe 2
dV 2
dV
r r
P = qe⋅v
Puissance cédée à l’instant t aux particules de volume dV
et utilisée pour accroître leur énergie
r
r
r r r r
j=ρv
dP = ρ dV e ⋅ v = e ⋅ j dV
Si ‘on a un diélectrique imparfait, la puissance acquise par l’élément dV
est rétrocédée sous forme d’hystérésis diélectrique (effet Joule)
ε = ε′ − j ε′′
Densité de puissance
cédée à l’instant (t) aux particules de dV par le champ EM
dP r r
=e⋅ j
dV
Densité volumique moyenne de puissance
[
]
r r
dP 1
= ℜe E ⋅ J *
dV 2
r r
d PHD 1
= ω ε '' E ⋅ E *
dV
2
en régime sinusoïdal
31
32
8
Densités volumiques d’énergie
Dans un milieu linéaire parfait (ε, μ : réels)
Un élément de volume dV contient - l’énergie électrique dWE
- l’énergie magnétique dWM
uE =
dW E
dV
uM =
dW M
dV
u = uE + uM =
uE =
dW
dV
On définit
d WE
dV
-la densité moyenne d’énergie magnétique
-la densité moyenne d’énergie eom u = u E + u M =
uM =
dW
dV
1 r2
μh
2
uM =
u=
1 r2 1 r2
εe + μh
2
2
en régime sinusoïdal
Un élément de volume dV contient - l’énergie électrique moyenne dWE
- l’énergie magnétique moyenne dWM
-la densité moyenne d’énergie électrique u E =
1 r2
εe
2
1 rr*
ε EE
4
uE =
uM =
1 rr 1 r r
u = ε EE* + μ HH*
4
4
r r
1
μ H H*
4
Dans le cas des milieux linéaires imparfaits (ε, μ : complexes) , ces expressions sont
plus complexes
elles font apparaître la variation de la constante diélectrique avec la fréquence
d WM
dV
33
Puissance transportée
Vecteur de Poynting instantané
Théorème de Poynting
r r
e∧h
Pour calculer le flux du vecteur de Pointing entrant dans s fermée
on intègre l’identité de Poynting dans le volume V
(
(
)
(
)
r r
rr
r r r
dP
∂u
∂W
− ∫∫∫ div e ∧ h dV = ∫∫∫ e j dV + ∫∫∫
dV ⇒ − ∫∫ e ∧ h n ds = ∫∫∫
dV +
∂
t
dV
∂t
V
V
V
s
V
Identité de Poynting
r r
div e ∧ h
34
)
(
)
r r r
∂W
− ∫∫ e ∧ h n ds = P +
∂t
s
Le flux du vecteur de Poynting entrant dans s fermée
=
puissance totale cédée par le champ aux particules du volume V
+
énergie emmagasinée dans V
(
)
r r rr ∂u
− div e ∧ h = e j +
∂t
∫∫ ( e ∧ h )n ds
r
r r
puissance qui sort de V à travers s
s
35
36
9
En régime sinusoïdal
Le vecteur de Poynting complexe
1 r r
E ∧ H * permet le calcul de la puissance
2
transportée par le champ eom
A partir des deux premières éq. de Maxwell on démontre l’identité de Poynting
(
(
)
)
r r
r
r r
1 r
1
− div E ∧ H * = − H * rot E − E rot H *
2
2
r r
r
1
1r r
= jω μ H H * + E J * − jω ε E *
2
2
rr
r r
1rr
1
= E J * + jω − ε E E * +μ H H *
2
2
(
(
(
L’intégration dans un volume V de cette identité conduit au
théorème de Poynting
−
(
)
r r
1
1rr
E ∧ H * .n dS = ∫∫∫ E J * dV + 2 jω (WM − WE )
2 ∫∫
2
S
V
Énergies magnétiques et électriques
emmagasinées dans le volume V
Flux du vecteur de Poynting
pénétrant à l’intérieur de
la surface S
Dans le cas : ε et μ réels
)
)
r r r ⎤ 1
rr
⎡
⎡
⎤
1
− ℜe ⎢ ∫∫ E ∧ H * n ds ⎥ = ℜe ⎢ ∫∫∫ E J * dV ⎥ + 0
2
⎣ s
⎦ 2
⎣ V
⎦
(
r r r ⎤
⎡
1
dP
⇒ − ℜe ⎢ ∫∫ E ∧ H * n ds ⎥ = ∫∫∫
dτ
2
⎣ s
⎦ τ dτ
)
(
)
La puissance sortant d’une surface fermée S dans le sens de la normale
= Re (flux du vecteur de Poynting à travers cette S fermée)
)
r r
1
1rr
− div E ∧ H * = E J * +2 jω ( − u E + u M )
2
2
r r r ⎤
⎡
1
P = ℜe ⎢ ∫∫ E ∧ H * n ds ⎥
2
⎣ s
⎦
(
37
)
Dans le cas des milieux linéaires imparfaits les expressions de la densité électrique
38
et magnétique sont plus complexes car ε et μ sont complexes + fonction de fréq.
10