Sujet 2008

OLYMPIADES ACADÉMIQUES DE MATHÉMATIQUES
Classes de Premières
Mercredi 12 mars 2008
14 heures- 18 heures
Les quatre exercices sont à traiter et sont indépendants.
Les calculatrices sont autorisées
Exercice 1 :
Les bons nombres
On dit qu’un nombre entier supérieur ou égal à 2 est « bon » s’il peut s’écrire comme la
somme de nombres entiers naturels non nuls, distincts ou non, dont la somme des inverses est
égale à 1.
On dit qu’il est « mauvais » s’il n’est pas « bon ».
Ainsi, par exemple :
2 = 1+1
1 1
+ ≠ 1,
1 1
et
donc 2 est « mauvais » (la seule décomposition possible
pour 2 étant 1+1).
3 = 1+ 2
et
1 1
+ ≠1 ;
1 2
3 = 1 + 1 + 1 et
1 1 1
+ + ≠ 1 ; donc 3 est également
1 1 1
« mauvais » (les deux décompositions possibles pour 3 ayant été examinées).
1.
Déterminer pour chacun des nombres entiers de 4 à 10 s’il est « bon » ou « mauvais ».
2.
Montrer que le carré de tout nombre entier supérieur ou égal à 2 est « bon ».
3.
Montrer que si n est « bon », alors 2 n + 2 et 2 n + 9 sont « bons ».
4.
On admet que tous les nombres entiers de 24 à 55 sont « bons ».
Qu’en est-il de tout nombre entier supérieur ou égal à 56 ?
.
Tournez la page S.V.P.
1/4
Exercice 2 :
Un partage équitable
1. Léonard est géomètre. Il veut partager un carré
de côté 1 en trois parties de même aire selon le
x
schéma ci-contre.
Quelle valeur doit-il donner à x pour arriver à ses
fins ?
x
2. Mais Léonard est aussi esthète. Ne trouvant pas
élégante sa construction, il décide de supprimer la
x
zone triangulaire hachurée. Ainsi les trois parties
restantes sont triangulaires.
Peuvent-elles avoir la même aire ?
x
D
J
C
3.
Et Léonard est mathématicien. Ayant réalisé
grossièrement (ci-contre) la construction de la
question 2, il mène du point H la perpendiculaire
(HJ) à la droite (AB).
Il a l’impression que les droites (HJ), (DI) et (AC)
I
sont concourantes.
Qu’en est-il ?
A
H
B
2/4
Exercice 3 :
La guerre des boutons
Une console est constituée de 2008 boutons-poussoirs blancs, numérotés de 1 à 2008.
Chacun n'a que deux états : enfoncé ou relevé.
Au départ, tous les boutons sont relevés.
Un opérateur (très patient) est chargé de modifier l'état des boutons en respectant le protocole
suivant, dans l'ordre :
Règle n°1 : Il peint en rouge le bouton
numéroté 1.
Règle n°2 : Il cherche le premier bouton blanc
relevé, dans l'ordre des numéros, le laisse
relevé et le peint en rouge.
Règle n°3 : Il modifie l'état de tous les autres
boutons portant un numéro multiple de celuici.
Règle n°4 : Quand il arrive au bout de la
console, il recommence à partir de la règle 2, et
ainsi de suite jusqu'à ce qu'aucune action ne soit possible en respectant le protocole.
1. Décrire l'état (relevé ou enfoncé) des boutons 1 à 10 à la fin des opérations.
Détailler la démarche.
2. Quel sera l'état du bouton 2008 à la fin des opérations ? Détailler la démarche.
Tournez la page S.V.P.
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Cet exercice ne sera traité que par les candidat de la série S
Exercice 4 : (série S)
Histoire d’angles
Parmi les triangles dont les angles sont des nombres entiers de degrés, existe-t-il un ou
plusieurs triangles dont la somme d’un angle et du produit des deux autres fait 2008.
Cet exercice sera traité par les candidat de toutes les séries autres que S
Exercice 4 : toutes séries autres que S
Replacer chaque étiquette à la place qui convient.
………………..... < …………………… < …………………….. < …………………
2008
2007
2007
2008
2008
2008
2007
2007
Justifier vos choix.
Toute justification, même partielle, sera valorisée.
On pourra faire un usage raisonné de la calculatrice.
4/4