Un ascenseur hydraulique de 1500 kg doit ètreélevé à la vitesse v

3.
DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS
Exercice 3.1 Débit.
Un ascenseur hydraulique de 1500 kg doit ètre élevé à la vitesse
v = 0,2 m/s. La distribution de l'eau a une pression p = 3.106 Pa.
a) Quel est le volume d'eau dépensé par seconde?
b) Quelle est la vitesse de cette eau dans la conduite d'arrivée si celle-ci a
une section de 20 cm2 ? g = 10 m.s: 2.
29
DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS
Soit un tube de courant pour lequella vitesse (v) est la mérne en tout point de
chacune des sections droites (s). Si le fluide est incompressible, le débit D est
le rnème le long du tube de courant.
D = sv= c st
équation de continuité
a) Les forces pressantes (p S) du piston hydraulique, de section S, s'opposent
au poids (Mg) de l'ascenseur. La puissance mise en jeu, pendant l'ascension,
est le produit de la force résultante par la vitesse :
~ = p S v = p D = Mg v
Mgv
D'où le débit D =-- =10-
3
m3.s-1
p
b) Le débit est le mème dans tout le circuit hydraulique. La vitesse v' dans la
conduite d 'arrivée, de section s', est
D
v' = -
I
= O 5 m s" 1
'
S
•
Exercice 3.2 Théorème de Bernoulli.
Dans une canalisation horizontale de section SI = 100 cm2 circule de l'eau
à une vitesse VI = 0.4 m/s sous une pression PI = 6.104 Pa. Quels sont,
dans un étranglement de section S2 = SI li O, la vitesse V2 et la pression P2
de l'eau ?
Le long du tube de courant, situé à la cote z et parcouru par un fluide incompressible, de viscosité négligeable et de masse volumique p, à la vitesse v, on a
la formule de Bernoulli :
I
p + p g z +-p v2 = C s t
2
p est la pression statique.
1
-p v2 est la pression dynamique.
2
p g z est la pression de pesanteur.
a) Calcul de la vitesse:
b) Calcul de la pression :
I
PI
+ P g ZI + -
2
VI SI
= V2 S2 d'où
V2
=
I
P
VI 2
= P2 + P g Z2 +-
2
P
V22
lO VI
= 4 m/s
30
M£CANIQUE DES FLUIDES
L'éeoulement est horizontal:
Zl
= Z2
99
soit
P
VI 2'
2
P2 = 52 080 Pa
Dans l'étranglement, la vitesse augmente mais la pression diminue.
Exercice 3.3 Tube de Pitot.
Le tube de Pitot permet d'évaluer la vitesse relative d'écoulement d'un
fluide. Le manomètre à eau d'un tube de Pitot, installé dans un tunnel de
soufflerie, présente une dénivellation de 10 cm.
Quelle est la vitesse v de l'air ? Masse volumique de l'air "
p = 1,29 kg.m-3 ,de l'eau : p' = 103 kg.m :",
h
A est un point d'arrèt (vA = O). La pression en A est la pression totale. La
pression en B est la pression statique. Le théorème de Bernoulli pennet d'éerire (zA~ za) :
I
PA = Pa + - p v2
2
D'autre part, la différenee de pression entre A et B, c'est-a-dire la pression
dynamique, est
PA -Pa =p'gh
soil
v
~f?;
g h ~ 39 m.,-l
Exercice 3.4 Formule de Torricelli.
Un large vase vertical ouvert à l'air fibre repose sur un plan horizontal. Un
petit orifice (A) est pratiqué dans la paroi verticale à h = 20 cm, sous le
DYNAMIQUE DES FLU IDES PARFAITS
31
niveau libre de l'eau supposée fixe. La hauteur totale est 100 em.
a) Quelle est la vitesse d'écoulement de l'eau ?
b) A quelle distance du réservoir le jet atteindra-t-il Ie plan horizontal?
c) A quelle hauteur peut-on percer un autre orifice pour que la portée du
jet soit la méme ?
d) A quelle hauteur devrait-on percer un orifice pour que la portée du jet
soit maximale ?
a) Le liquide contenu dans le récipient s'écoule par un orifice bien plus petit
que la surface libre ; la vitesse de B est négligeable devant vA . La pression statique est la méme en A et à la surface l'eau ; elle est égale à la pression atmosphérique. La formule Bernoulli devient alors
I
-
PYA 2
2
=pgh
On en tire la formule de Torrieelli :
x
C'est la vitesse aequise par un mobile ehutant de la mèrne hauteur. Elle est indépendante de la nature du liquide.
Application numérique : VA = 1,98 rn.s" 1 •
b)
Le jet suit une trajectoire parabolique dont les équations paramétriques
t
X =vA
sont
I
y
=- -
2
g t2
+ h'
h' : distance sol-orifice.
2 h'
Il atteint le sol à l'instant t =g
Soit à la distance
Xo
= 2 Vhh' = 80 cm
c) La portée du jet est la mèrne si on permute les valeurs de h et h' ; done
h = 20 cm ou 80 cm (Al et A2).
d)
Xo
Xo
= 2v'hi? = 2v'h (1
est maximal si h
I
- h)
="2 = 50 cm (A3),
valeur qui annule la dérivée.