Nombres Calculs Equations.

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Nombres Calculs Equations.
« Le nombre entier vient de Dieu, tout le reste est l’œuvre de l’homme » Leopold Kronecker
(1823-1891)
« Un nombre pair est un nombre qui croît en deux. » Denis Guedj (1940-2010)
0 Une petite histoire des ombres.
I Ensembles.
II Nombres premiers.
III Développer, factoriser.
IV Puissances, radicaux.
V Résoudre une équation.
0 Une petite histoire des nombres.
Les premiers chiffres se trouvent dans le Siddhantha de Bramagupta (598-660, Multan
au Pakistan): eka, dva, tri, catur, panca, sat, sapta, asta, nava. Et le zéro : çunya qui veut dire
vide en sanskrit, traduit en arabe il devient sifr qui traduit en latin devient zéphirum, qui
traduit en italien devient zéphiro. Puis zéro et on a gardé sifr pour désigner les chiffres. Il faut
attendre le Ve siècle pour avoir un zéro complet, à la fois chiffre (101) et nombre acteur d’une
opération (n-n=0).
L’algèbre vient de al jabr (réduire une fracture en arabe) et les nombres précédés d’un
signe moins doivent disparaître des équations : on les appelle les naquis (qui veut dire amputé
en arabe). Al-khwarizmi (788-850) ne travaillait pas avec les irrationnels qu’il appelait assam
qui veut dire sourd car ils étaient considérés comme inexprimables par la parole.
Le mot fraction vient de la traduction de kasr en arabe qui veut dire rompu. La
notation en elle-même vient de la guerre de Cent ans avec Nicolas Oresme (1325-1382,
évêque de Lisieux en 1377 le plus grand mathématicien du XIVième siècle) qui invente aussi
les mots numérateur et dénominateur, et beaucoup d’autres idées trop novatrices pour son
époque.
La notation exposant (positif et négatif) est due au français Nicolas Chuquet au
Xvième siècle. Viète (1540-1603) introduisit les notations des inconnues (par des voyelles) et
les paramètres (par des consonnes) et c’est Descartes (1596-1650) qui impose les premières
petites lettres a,b,c… pour les paramètres (quantités connues) et x,y,z pour les inconnues.
(Au début du règne d’Henri IV, celui-ci était en guerre avec l’Espagne. Viète déchiffra le
code utilisé par les espagnols et contribua à faire gagner la France. Les espagnol, sûrs de
l’inviolabilité du code se plaignirent auprès du Pape de l’utilisation par Viète de pratique
magique contraires à la foi chrétienne.
En 1593, le mathématicien flamand Romanus lança le défi de résoudre l’équation
45 43 41 3
45 945 ... 3795 45
x x x x x a
− + + − + =
L’ambassadeur des Pays-bas auprès d’Henri IV prétendit qu’aucun mathématicien
français n’était capable de résoudre l’équation. Viète fut chargé de relever le défi et trouva les
23 racines positives en posant a=sin(45t) et x=2sin(t). Très admiratif, Romanus devint un
grand ami de Viète.)
A l’époque de Viète, on pouvait lire :
« B in A quadratorum plus D plano in A aequari C solido. » ce qui signifie
2
BA DA C
+ =
Voici la table de multiplication, parfois
appelée table de Pythagore, telle que nous la
connaissons.
Au Japon, voici comment elle se présentait
en 1856 (extrait de Seisan Sokuchi de Hanai
Kenkichi).

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Tous les chiffres de notre numération
décimale y apparaissent
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81
Les chiffres de 0 à 9 y apparaissent.
A l'instar de Champollion et sa pierre de
Rosette, on peut ainsi deviner comment
s'écrivaient les chiffres de 0 à 9.
De même, voici une table arabe. Nos chiffres dits "arabes" y apparaissent et il n'est pas
difficile de les y reconnaître. Toutefois l'écriture arabe se fait de droite à gauche.
Curieusement, nous constatons que les nombres sont écrits de droite à gauche en commençant
par les unités, alors que nous les énonçons par la droite! Notons que cet usage se retrouve
dans les langues germaniques parlées.
I Ensembles.

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Quels sont les nombres que l’on
connaît ? On écrit plein de nombres : des
petits, des gros, des jolis, des bizarres…
On va essayer de classer tout ça.
Les premiers qui nous intéressent (on les
entoure au fur et à mesure de l’étude)
sont les plus connus :
• 0 ;1 ; 2 ; 3 ; 4 …
Dans les sociétés primitives on
comptait 1 ; 2 ; beaucoup. Donc déjà le
3 est un vrai progrès. Pour la plupart
des penseurs grecs, les nombres
commençaient à 2. La multiplicité était
du ressort des nombres alors que le
nombre un parlait d’existence (« Est un
ce qui est. »). Archytas de Tarente est
considéré comme « le père du un ».
C’est aussi au passage le premier
ingénieur. Bien plus tard, les Incaset les
indiens introduiront le zéro de position.
L’ensemble de ces nombres
s’appelle ensemble des entiers naturels.
On le note
ℕ
. (à la suite de Peano
(1858-1932), naturale en italien)
Parfois, on peut trouver la
notation suivante : [[2 ;5]] pour
l’ensemble des entiers naturels de 2 à 5.
• …, -2 ; -1
les nombres négatifs.
L’ensemble des nombres entiers
naturels auquel on adjoint l’ensemble
des entiers négatifs s’appelle l’ensemble
des entiers relatifs. On le note
ℤ
. (à la
suite de Dedekind (1831-1916), zahlen,
compter en allemand)
•
1
2
; 0,125 =
1
8
; -357,562398741 …
Ce sont des exemples de nombres décimaux. Ils ont tous une partie décimale finie
(rappel de la partie entière (0 pour le premier cité) et de la partie décimale (125 toujours pour
le premier)). Imaginez que vous veniez d’apprendre à faire une division et que certaines ne
finissent pas… C’est déroutant et vous mettez ces quotients de côté.
L’ensemble des nombres obtenus comme quotients
a
b
de deux nombres entiers relatifs
(ici a et b ) et dont la partie décimale est finie s’appelle l’ensemble des nombres décimaux .
On le note ID (D double barre). Les calculatrices, par exemple, ne fonctionnent qu’avec des
nombres décimaux.
Ex 1 : Ecriture d’un nombre décimal.
1. Prouvez que le quotient d’un nombre naturel par 2 est toujours un décimal.
2. Prouvez que le quotient d’un nombre naturel par 5 est toujours un décimal.
3.
L’inverse d’un nombre entier naturel non nul est-il toujours un décimal ? Justifier.
4. Les lettres a, m et n désignent des entiers naturels. Prouvez que tout nombre rationnel de
la forme
a
2
n
× 5
m
est un nombre décimal.

4
5. (plus dur) Prouvez maintenant que tout nombre décimal s’écrit sous la forme
précédemment énoncée.
• Voici les nombres que l’on a mis de côté.
1
3
;
3
7
−
…
Il faut maintenant les inclure dans un ensemble plus gros. Ici on n’impose plus que la
partie décimale soit finie. On appelle l’ensemble de tous les nombres qui s’écrivent sous la
forme de quotient a/b avec a et b entiers relatifs l’ensemble des rationnels . On le note
ℚ
.
(Eudoxe de Cnide au IV
ième
siècle introduit pour la première fois les nombres rationnels mais
c’est Peano qui les baptise, quotiente , quotient en italien).
•
On a presque fini de classer tous les nombres que l’on connaît. Il reste :
2 ; - 3 ; π …
Par opposition aux rationnels, tous ces nombres s’appellent les irrationnels . Quand on
met les rationnels et les irrationnels ensemble, on obtient le plus gros des ensembles que vous
connaissez : l’ensemble des réels . On le note
ℝ
. (à la suite de Cantor (1845-1918), real en
allemand)
Ces nombres se sont tout d’abord appelés nombres impossibles puis nombres
imaginaires (terme impropre de nos jours). La première définition des nombres réels vient de
Dedekind en 1872. Celui-ci donne aussi l’idée de les voir comme les points d’une droite.
L’ensemble des réels se représente sous la forme d’une droite appelée droite réelle .
Placer
2
avec précision en utilisant un carré et 1/3 avec Thalès.
En résumé et sous forme de patatoïdes (appelé aussi diagramme de Venn :
Raisonnablement, on ne peut pas faire de patatoïdes toute notre vie. On utilise donc le
symbole de l’inclusion :
⊂ ⊂ ⊂ ⊂
ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ
.
Ex 2 : Combien y-t-il de nombres de deux chiffres dont le chiffre des dizaines est
strictement supérieur à celui des unités ?
Ex 3 : Pour écrire les numéros des pages d’un livre, on a utilisé 1311 chiffres. Combien
le livre a-t-il de pages ?
Ex 4 : En écrivant des + et des – entre les chiffres de gauche, rendez juste cette égalité :
987654321=100
0
1 2 3 4
-1
-2 -3
-4
5
2
−
2
π

5
Ex 5 : Que vaut
+
∩
ℝ ℤ
?
Ex 6 : Défi : Justifiez le fait que 0,999999…. est une autre façon d’écrire 1.
II Nombres premiers.
La division de 18 par 3 tombe juste (il s’agit d’un entier). On dit que 3 divise 18 ou
que 18 est divisible par 3 ou encore que 3 est un diviseur de 18. On note 3|18.
 Trouvez tous les diviseurs de 6 : 1 ; 2 ; 3 ; 6.
 Trouvez tous les diviseurs de 7 : 1 ; 7.
19/9=2+1/9
Définition : Un entier naturel qui n’admet que deux diviseurs (distincts) : 1 et lui-
même est appelé nombre premier.
Attention ! On dit que deux nombres a et b sont premiers
Remarque : Par convention, 1 n’est pas premier.
Théorème 1.A.(Archimède) (vient du grec thêorêma, qui signifie « objet d’étude »)
Il existe une infinité de nombres premiers.
Démonstration : Raisonnement par l’absurde. Hypothèse : supposons qu’il existe un nombre
fini de nombres premiers. On les note p
1
, p
2
, … , p
n
. Alors le nombre q= p
1
× p
2
× … × p
n
+ 1
n’est divisible par aucun des nombres p
1
, p
2
, … , p
n
, il est donc premier. Absurde. !
Ex 7 : Trouvez les 25 premiers nombres premiers (ils sont tous inférieurs à 100) :
Ex 8 : Pierre et Nathalie jouent au jeu suivant : Nathalie commence et choisit un nombre
entre 1 et 7 inclus. Ensuite, chaque joueur à tour de rôle choisi un nombre entier entre 1 et 7
inclus qu’il ajoute au total précédent. Ce total doit être un nombre premier. Celui qui ne peut
pas obtenir un total premier a perdu. Nathalie est sure de gagner. Comment ?
Ex 9 : Tous les chiffres d’un nombre sont 1, et c’est un nombre de 73 chiffres. Ce
nombre est-il divisible par 18 ?
Ex 10 : La somme de trois nombres consécutifs peut-elle être un nombre premier ?
Conjecture de Golbach (1742) : « Tout nombre pair différent de 0 et de 2 est somme
de deux nombres premiers. »
Il s’agit d’une conjecture. Inutile d’essayer de la démontrer, beaucoup de chercheurs
se sont cassés les dents dessus. A ce propos, vous pouvez lire « La conjecture de l’oncle
Petros ».
Ex 11 : Vérifiez-la pour les 30 premiers nombres pairs satisfaisant les conditions de la
conjecture.
Définition : Deux nombres premiers sont dits jumeaux si leur différence vaut 2.
Exemples : 3 et 5 ; 5 et 7 ; 11 et 13…