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Chapitre TCALCULER UN ANGLE 3ème
I. Déterminer la mesure d’un angle :
Pour déterminer la mesure d’un angle aigu dans un triangle rectangle :
si on connait le côté adjacent à l’angle et l’hypoténuse, on utilise le cosinus ;
Si on connait le côté opposé à l’angle aigu et l’hypoténuse, on utilise le sinus ;
Si on connait le côté opposé à l’angle aigu et son côté adjacent, on utilise la tangente.
! Il faut toujours s’assurer que la calculatrice est en mode degré.
Ex : 9 p. 237 : Dans le triangle rectangle rose, cos α = 2,5
3,2
Sur la calculatrice, on tape seconde cos (2,5
3,2), il s’affiche Arccos (2,5 3,2)donc α39°.
Dans le triangle rectangle bleu, sin β = 4
5
On tape seconde sin (4
5), il s’affiche Arcsin(4 5) donc β53°.
Dans le triangle rectangle violet, tan γ = 3
3,5
On tape seconde tan (3
3,5), il s’affiche Arctan( 3 3,5)donc γ41°.
II. Relations trigonométriques:
xest la mesure d'un angle aigu: (cos x)2+ (sin x)2= 1(Se note aussi cos2x + sin2x = 1)
tan x= sin x
cos x
Ex : 65 p. 243 (cos x)² + (sin x)² = 1
(3
5)² + (sin x)² = 1
9
25 + (sin x)² = 1
(sin x)² = 1 – 9
25
(sin x)² = 25
25 –9 25
(sin x)² = 16
25 x est la mesure d’un angle aigu donc sin x > 0
sin x= 16
25
sin x= 4
5
tan x= sin x
cos x=
4
5
3
5
= 4
5× 5 3= 4 3
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OA
B
S
R
M
III. Angle inscrit et angle au centre:
1. Arc de cercle:
Définition : Un arc de cercle est un morceau de cercle.
Ex: L’arc de cercle vert d’extrémités A et B s’appelle le petit arc de cercle BA (ou AB).
L’arc de cercle rouge d’extrémités A et B s’appelle le grand arc de cercle AB.
2. Angle au centre:
Définition : Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle.
Ex:Cet angle au centre coupe le cercle en deux points A et B.
«A l’intérieur » de cet angle au centre, on trouve l’arc de cercle
BA.
On dit que l'angle au centre AOB intercepte le petit arc de cercle BA.
3. Angle inscrit dans un cercle:
Définition : Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est sur le cercle et dont
les côtés coupent le cercle.
Ex:
Cet angle inscrit coupe le cercle en deux points R et S.
«A l’intérieur » de cet angle inscrit, on trouve l’arc
de cercle RS.
On dit que l'angle inscrit RMS intercepte le petit arc de cercle RS.
4. Propriétés:
Propriété 1: Quand un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc de cercle, la
mesure de l'angle au centre est le double de la mesure de l'angle inscrit.
9 p. 256 :
L’angle au centre AIB et l’angle inscrit ACB interceptent le
même arc de cercle AB donc AIB = 2 ACB = 110°
Propriété 2: Deux angles inscrits qui interceptent le même arc de cercle ont la même mesure d'angle.
10 p. 256
Les anglesinscrits PMR et PNR interceptent le même arc de
cercle PR donc PMR = PNR = 55°.
A
B
B
C
A
×
I
P
M
R
N
×
O
55°
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