MÉCANIQUE QUANTIQUE Questions préliminaires

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TD2 :
MÉCANIQUE QUANTIQUE
Questions préliminaires
1- Rappelez l’expression de l’équation de Schrödinger pour une
particule de masse msoumise à un potentiel V(
~
r,t)où ~ rest le
vecteur position de la particule. Nous tiendrons compte des opé-
rateurs d’énergie cinétique et d’énergie potentielle.
2- Nous cherchons les solutions sous forme d’ondes stationnaires
dans un système supposé statique et conservatif. En écrivant la
fonction d’onde ψ(
~
r,t)sous la forme ψ(
~
r,t) = ϕ(
~
r)χ(t), rappelez
l’équation de l’espace régissant ϕet l’exprimer pour une seule
dimension spatiale. Nous noterons xla variable de l’espace à une
dimension, et El’énergie de la particule.
3- Rappelez les conditions de continuité (limites) qui s’appliquent
à l’amplitude de probabilité ϕ(x).
4- Que représente physiquement |ϕ(x)|2?
Marche de potentiel
Nous étudions la marche de potentiel décrite sur la Fig. 1 et
supposons une particule incidente d’énergie Earrivant de x=
−∞.
V0
x
V
0
! "
FIGURE 1 – Marche de potentiel.
Nous cherchons à déterminer l’amplitude de probabilité ϕ(x)
correspondant à la dépendance spatiale de la fonction d’onde
ψ(x,t) = ϕ(x)χ(t)caractéristique de la particule.
1- Particule incidente d’énergie E<V
0.
1a- Exprimez l’équation régissant ϕ(x)pour la particule située
en x<0, et déterminez la forme des solutions ϕ(x).
1b- Effectuez de même pour la particule située en x>0.
1c- En appliquant les conditions aux limites, déterminez l’expres-
sion de l’amplitude de probabilité de présence ϕ(x).
1d- Déterminez et tracez la densité de probabilité de présence,
puis commentez.
1e- Calculez le coefficient de réflexion au niveau de la barrière.
2- Effectuez de même pour une particule d’énergie E>V
0.

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Barrière de potentiel
Nous étudions la barrière de potentiel décrite sur la Fig. 2 et
supposons une particule incidente d’énergie Earrivant de x=
−∞.
V0
ax
V
0
! " #
FIGURE 2 – Barrière de potentiel.
Nous cherchons à déterminer l’amplitude de probabilité ϕ(x)
correspondant à la dépendance spatiale de la fonction d’onde
ψ(x,t) = ϕ(x)χ(t)caractéristique de la particule.
1- Déterminez la forme des solutions de l’amplitude de probabi-
lité ϕ(x)pour une particule incidente d’énergie E>V
0et E<V 0
dans les différentes sections de l’espace, i.e., x<0, 0 <x<aet
x>a.
2- Particule incidente d’énergie E>V
0
2a- Appliquer les conditions aux limites puis exprimez :
•les coefficients de la région 1 en fonction de ceux de la région 2,
•les coefficients de la région 2 en fonction de ceux de la région 3.
2b- Déterminez le coefficient de transmission Tde la barrière de
potentielle, représentez Ten fonction de la largeur de la barrière
et commentez.
3- Particule incidente d’énergie E<V
0
3a- En remarquant qu’il est possible de passer du cas E>V
0au
cas E<V
0en remplaçant la constante de propagation k2de la
particule située en 0 <x<apar −i k2, exprimez la transmis-
sion T.
3b- Calculez la transmission pour un électron incident de masse
9, 1 10−31 kg, arrivant avec une énergie de 1 eV sur une barrière de
potentiel de 2 eV de largeur 1 Å. Comparez avec la transmission
d’un proton dont la masse est 1836 fois plus grande.
Puits de potentiel fini
Nous étudions le puits de potentiel décrit sur la Fig. 3 et sup-
posons une particule incidente d’énergie Earrivant de x=−∞.
–V0
+a/2
x
V
0
–a/2
! " #
FIGURE 3 – Puits de potentiel.
Nous cherchons à déterminer l’amplitude de probabilité ϕ(x)
correspondant à la dépendance spatiale de la fonction d’onde
ψ(x,t) = ϕ(x)χ(t)caractéristique de la particule. Nous étudions
le cas d’une particule d’énergie telle que −V
0<E<0, le cas
E>0 pouvant être déduit de l’exercice précédent pour V
0<0.

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1- Déterminez la forme des solutions de l’amplitude de probabi-
lité ϕ(x)dans les régions 1, 2 et 3. Nous utiliserons les constantes
k1=√−2m E/¯het k2=p2m(E+V
0)/¯h.
2- En appliquant les conditions aux limites, exprimez les
constantes de la région 2 en fonction de celle de la région 1, puis
en fonction de celle de la région 3. En déduire la relation :
k2−i k1
k2+i k1=±exp (−i k2a). (1)
Justifez que cette équation induit une quantification énergétique.
4- Deux cas se présentent selon le signe dans l’équation 1. Dans le
cas positif, identifiez les phases des deux termes et montrez que
l’équation de quantification peut s’écrire :
k1/k2=tan(k2a/2).
5- En utilisant l’égalité 1/ cos2(α) = 1+tan2(α), montrez qu’il
suffit de résoudre graphiquement l’équation :
cos2(k2a/2) = (k2/k0)2, (2)
où k0=qk12+k22=p4πm V
0/h2.
6- Montrez que les fonctions d’ondes sont paires dans le cas po-
sitif.
7- Quelle serait l’équation à résoudre graphiquement dans le cas
impair, c’est-à-dire le cas du signe moins pour l’équation 1?
Orbitales atomiques
1- Déterminez la valeur numérique des rayons des quatre pre-
mières orbitales atomique selon le modèle de Bohr, ainsi que leurs
énergies respectives.
2- Le spectre d’émission de l’hydrogène présente des raies
d’émission dans l’ultraviolet (série de Balmer), dans le visible (sé-
rie de Lyman) et dans l’infrarouge (série de Paschen). Étudier les
transitions énergétiques correspondant à une émission et abou-
tissant au niveau fondamental. À quelle série correspondent ces
transitions ? Effectuez de même pour les transitions aboutissants
au niveau d’énergie E2, puis E3.
3- Selon le modèle quantique d’un électron au voisinage d’un
proton, combien d’états électroniques dégénérés correspondent
à une même énergie associée au nombre quantique principal n?
4- Nous considérons l’atome de Gallium dont l’extrait correspon-
dant du tableau périodique des éléments est présenté figure 4.
Déterminez le remplissage électronique de cet atome.
4
69.723
31
IIIA
NOMBRE ATOMIQUE
NOM DE L’ÉLÉMENT
SYMBOLE
MASSE ATOMIQUE RELATIVE
NUMÉRO DU GROUPE
Ga
GALLIUM
PÉRIODE
FIGURE 4 – Extrait de la classification périodique des éléments
correspondant au Gallium.