MÉCANIQUE QUANTIQUE Questions préliminaires

HMEE105 - TD2 ∼ M1 - 2015–2016
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1
Marche de potentiel
TD2 :
M ÉCANIQUE QUANTIQUE
Nous étudions la marche de potentiel décrite sur la Fig. 1 et
supposons une particule incidente d’énergie E arrivant de x =
−∞.
V
V0
!
"
0
Questions préliminaires
x
F IGURE 1 – Marche de potentiel.
Nous cherchons à déterminer l’amplitude de probabilité ϕ( x )
1- Rappelez l’expression de l’équation de Schrödinger pour une
particule de masse m soumise à un potentiel V (~r, t) où ~r est le correspondant à la dépendance spatiale de la fonction d’onde
vecteur position de la particule. Nous tiendrons compte des opé- ψ( x, t) = ϕ( x ) χ(t) caractéristique de la particule.
rateurs d’énergie cinétique et d’énergie potentielle.
1- Particule incidente d’énergie E < V0 .
1a- Exprimez l’équation régissant ϕ( x ) pour la particule située
2- Nous cherchons les solutions sous forme d’ondes stationnaires
en x < 0, et déterminez la forme des solutions ϕ( x ).
dans un système supposé statique et conservatif. En écrivant la
fonction d’onde ψ(~r, t) sous la forme ψ(~r, t) = ϕ(~r ) χ(t), rappelez 1b- Effectuez de même pour la particule située en x > 0.
l’équation de l’espace régissant ϕ et l’exprimer pour une seule
dimension spatiale. Nous noterons x la variable de l’espace à une 1c- En appliquant les conditions aux limites, déterminez l’expresdimension, et E l’énergie de la particule.
sion de l’amplitude de probabilité de présence ϕ( x ).
1d- Déterminez et tracez la densité de probabilité de présence,
3- Rappelez les conditions de continuité (limites) qui s’appliquent puis commentez.
à l’amplitude de probabilité ϕ( x ).
1e- Calculez le coefficient de réflexion au niveau de la barrière.
4- Que représente physiquement | ϕ( x )|2 ?
2- Effectuez de même pour une particule d’énergie E > V0 .
2
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Barrière de potentiel
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3- Particule incidente d’énergie E < V0
Nous étudions la barrière de potentiel décrite sur la Fig. 2 et 3a- En remarquant qu’il est possible de passer du cas E > V0 au
supposons une particule incidente d’énergie E arrivant de x = cas E < V0 en remplaçant la constante de propagation k2 de la
particule située en 0 < x < a par −i k2 , exprimez la transmis−∞.
sion T.
V
V0
!
"
0
#
a
x
3b- Calculez la transmission pour un électron incident de masse
9, 1 10−31 kg, arrivant avec une énergie de 1 eV sur une barrière de
potentiel de 2 eV de largeur 1 Å. Comparez avec la transmission
d’un proton dont la masse est 1836 fois plus grande.
F IGURE 2 – Barrière de potentiel.
Puits de potentiel fini
Nous cherchons à déterminer l’amplitude de probabilité ϕ( x )
correspondant à la dépendance spatiale de la fonction d’onde
Nous étudions le puits de potentiel décrit sur la Fig. 3 et supψ( x, t) = ϕ( x ) χ(t) caractéristique de la particule.
posons une particule incidente d’énergie E arrivant de x = −∞.
1- Déterminez la forme des solutions de l’amplitude de probabilité ϕ( x ) pour une particule incidente d’énergie E > V0 et E < V0
dans les différentes sections de l’espace, i.e., x < 0, 0 < x < a et
x > a.
2- Particule incidente d’énergie E > V0
2a- Appliquer les conditions aux limites puis exprimez :
• les coefficients de la région 1 en fonction de ceux de la région 2,
• les coefficients de la région 2 en fonction de ceux de la région 3.
V
–a/2
+a/2
0
"
!
x
#
–V0
F IGURE 3 – Puits de potentiel.
Nous cherchons à déterminer l’amplitude de probabilité ϕ( x )
correspondant à la dépendance spatiale de la fonction d’onde
2b- Déterminez le coefficient de transmission T de la barrière de ψ( x, t) = ϕ( x ) χ(t) caractéristique de la particule. Nous étudions
potentielle, représentez T en fonction de la largeur de la barrière le cas d’une particule d’énergie telle que −V0 < E < 0, le cas
E > 0 pouvant être déduit de l’exercice précédent pour V0 < 0.
et commentez.
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1- Déterminez la forme des solutions de l’amplitude de probabilité ϕ(√x ) dans les régions p
1, 2 et 3. Nous utiliserons les constantes
k1 = −2 m E/h̄ et k2 = 2 m ( E + V0 )/h̄.
3
Orbitales atomiques
1- Déterminez la valeur numérique des rayons des quatre pre2- En appliquant les conditions aux limites, exprimez les mières orbitales atomique selon le modèle de Bohr, ainsi que leurs
constantes de la région 2 en fonction de celle de la région 1, puis énergies respectives.
en fonction de celle de la région 3. En déduire la relation :
2- Le spectre d’émission de l’hydrogène présente des raies
d’émission dans l’ultraviolet (série de Balmer), dans le visible (sék2 − i k1
= ± exp (−i k2 a) .
(1) rie de Lyman) et dans l’infrarouge (série de Paschen). Étudier les
k2 + i k1
transitions énergétiques correspondant à une émission et abouJustifez que cette équation induit une quantification énergétique. tissant au niveau fondamental. À quelle série correspondent ces
transitions ? Effectuez de même pour les transitions aboutissants
4- Deux cas se présentent selon le signe dans l’équation 1. Dans le au niveau d’énergie E2 , puis E3 .
cas positif, identifiez les phases des deux termes et montrez que
3- Selon le modèle quantique d’un électron au voisinage d’un
l’équation de quantification peut s’écrire :
proton, combien d’états électroniques dégénérés correspondent
à une même énergie associée au nombre quantique principal n ?
k1 /k2 = tan(k2 a/2).
1/ cos2 (α)
tan2 (α),
5- En utilisant l’égalité
= 1+
suffit de résoudre graphiquement l’équation :
cos2 (k2 a/2) = (k2 /k0 )2 ,
où k0 =
q
k1 2 + k2 2 =
p
4- Nous considérons l’atome de Gallium dont l’extrait corresponmontrez qu’il dant du tableau périodique des éléments est présenté figure 4.
Déterminez le remplissage électronique de cet atome.
(2)
4 π m V0 /h2 .
6- Montrez que les fonctions d’ondes sont paires dans le cas positif.
NUMÉRO DU GROUPE
IIIA
31
NOMBRE ATOMIQUE
4
PÉRIODE
69.723
Ga
GALLIUM
MASSE ATOMIQUE RELATIVE
SYMBOLE
NOM DE L’ÉLÉMENT
7- Quelle serait l’équation à résoudre graphiquement dans le cas F IGURE 4 – Extrait de la classification périodique des éléments
correspondant au Gallium.
impair, c’est-à-dire le cas du signe moins pour l’équation 1 ?