Convexité et optimisation - EPI - Université Paris 1 Panthéon

UFR Mathématiques et Informatique
Convexité et optimisation
Licence 3ème année MIASHS
Moncef MEDDEB
2016 −2017

ii Convexité et optimisation

Avant-propos
Ce polycopié est destiné aux étudiants de L3 MIASHS qui suivent le cours de « convexité et optimi-
sation ». Afin de bénéficier pleinement de l’enseignement dispensé, il est fortement recommandé
de travailler de manière assidue et de :
Baller au cours en amphi ;
Bréviser le cours chaque semaine en s’assurant de connaître les définitions, résultats ainsi
que les démonstrations et d’avoir bien compris les différents exemples et remarques ;
Bfournir un travail individuel pour préparer et chercher les exercices chaque semaine avant
d’aller en TD ;
Bparticiper de manière active et dynamique aux séances de TD ;
Bfaire les autres exercices proposés et qui ne sont pas traités en TD ;
Bne pas hésiter à poser toute question ou demander conseil à l’équipe pédagogique.
Toutes les erreurs qui pourraient figurer dans ces notes de cours, sont de ma responsabilité.
iii

iv Convexité et optimisation
Notations
R,N,Z,Q,Rn: ensembles habituels
R+,R∗
+: ensembles des réels positifs, strictement positifs
Mn(R): ensemble des matrices carrées d’ordre nà coefficients dans R
tAou AT: transposée d’une matrice A
h., .i: produit scalaire sur un espace de Hilbert
kxk: norme du vecteur x
Epi(f): épigraphe de f
Gr(f): graphe de f
∇f(x): gradient de fen x
Hf(x): matrice hessienne de fen x
B(x, r),BF(x, r): boule ouverte, boule fermée de centre xet de rayon r
int(A): intérieur de A
adh(A): adhérence de A
Fr(A): frontière de A
Vect(A): sous-espace vectoriel engendré par A
co(A): enveloppe convexe de A
cone(A): enveloppe conique de A
projA(x): projection de xsur A
NA(x): cône normal à Aen x
TA(x): cône tangent à Aen x
A◦: cône polaire négatif de A
A⊥: orthogonal de A

Table des matières
0 Introduction 1
1 Ensembles convexes 3
1.1 Ensemblesconvexes ................................ 3
1.2 Le théorème de Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 L’enveloppeConvexe................................ 6
1.4 Cônesconvexes................................... 7
1.5 Exercices ...................................... 8
2 Propriétés topologiques des ensembles convexes 13
2.1 Intérieur et adhérence d’un convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Autres propriétés des convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Exercices ...................................... 16
3 Théorèmes de séparation 21
3.1 Projection sur un convexe fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Théorèmesdeséparation .............................. 25
3.3 Polarité et lemme de Farkas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Exercices ...................................... 29
4 Fonctions convexes 35
4.1 Définitionsetpropriétés............................... 35
4.2 Le cas des fonctions convexes différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 Exercices ...................................... 39
5 Optimisation : généralités 43
5.1 Définitions...................................... 43
5.2 Existence ...................................... 44
5.3 Le cas de l’optimisation sans contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
v