Corrections - XMaths

Exercice 03
→
1°) Le mobile se déplace sur un axe (O, u ) et son abscisse est donnée par : p(t) = t2 + 2t
À l'instant t = 0 on a p(0) = 02 + 2 x 0 donc p(0) = 0 .
À l'instant t = 1 on a p(1) = 12 + 2 x 1 donc p(1) = 3 .
À l'instant t = 2 on a p(2) = 22 + 2 x 2 donc p(2) = 8 .
À l'instant t = 3 on a p(3) = 32 + 2 x 3 donc p(3) = 15 .
On obtient, à l'échelle 1/100 le schéma suivant :
t=0
t=1
t=2
t=3
Le sens de variation (connu) d'une fonction trinôme du second degré permet d'affirmer que la fonction :
t ֏ t2 + 2t est décroissante sur ]-∞ ; -1[ et croissante sur ]-1 ; +∞[ .
Donc la fonction p définie sur [0 ; +∞[ par p(t) = t2 + 2t est croissante.
→
Le mobile se déplace dans le sens du vecteur u , sans revenir en arrière.
2°) Lorsque t varie de 1 à 3, la distance parcourue est donnée par : p(3) - p(1) = 15 - 3 = 12
Lorsque t varie de 1 à 3, le mobile a parcouru une distance de 12 mètres.
La vitesse moyenne sur l'intervalle [1 ; 3] est donnée par
12 = 12 = 6
3-1 2
La vitesse moyenne sur l'intervalle [1 ; 3] est de 6 m.s-1 .
3°) La vitesse moyenne sur l'intervalle [1 ; 2] est de 5 m.s-1 car p(2) - p(1) = 5 = 5
1
2-1
p(1,5)
p(1)
-1
La vitesse moyenne sur l'intervalle [1 ; 1,5] est de 4,5 m.s
car
= 2,25 = 4,5
0,5
1,5 - 1
p(1,25)
p(1)
La vitesse moyenne sur l'intervalle [1 ; 1,25] est de 4,25 m.s-1 car
= 1,0625 = 4,25
0,25
1,25 - 1
p(1,1)
p(1)
0,41
La vitesse moyenne sur l'intervalle [1 ; 1,1] est de 4,1 m.s-1 car
=
= 4,1
0,1
1,1 - 1
La vitesse moyenne sur l'intervalle [1 ; 1,01] est de 4,01 m.s-1 car p(1,01) - p(1) = 0,0401 = 4,01
0,01
1,01 - 1
Il semble que plus l'intervalle a une faible amplitude, plus la vitesse moyenne se rapproche de 4 .
On peut penser que la vitesse instantanée à l'instant t = 1 est de 4 m.s-1 .
NB : Il semble que le mouvement soit accéléré (la vitesse augmente en fonction du temps)
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