Corrections - XMaths

http://xmaths.free.fr 1ère S
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Dérivée
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Corrections
t=0 t=1 t=2 t=3
Exercice 03
1°) Le mobile se déplace sur un axe (O,
→
u) et son abscisse est donnée par : p(t) = t
2
+ 2t
À l'instant t = 0 on a p(0) = 0
2
+ 2 x 0 donc p(0) = 0 .
À l'instant t = 1 on a p(1) = 1
2
+ 2 x 1 donc p(1) = 3 .
À l'instant t = 2 on a p(2) = 2
2
+ 2 x 2 donc p(2) = 8 .
À l'instant t = 3 on a p(3) = 3
2
+ 2 x 3 donc p(3) = 15 .
On obtient, à l'échelle 1/100 le schéma suivant :
Le sens de variation (connu) d'une fonction trinôme du second degré permet d'affirmer que la fonction :
t ֏ t
2
+ 2t est décroissante sur ]-∞ ; -1[ et croissante sur ]-1 ; +∞[ .
Donc la fonction p définie sur [0 ; +∞[ par p(t) = t
2
+ 2t est croissante.
Le mobile se déplace dans le sens du vecteur
→
u , sans revenir en arrière.
2°) Lorsque t varie de 1 à 3, la distance parcourue est donnée par : p(3) - p(1) = 15 - 3 = 12
Lorsque t varie de 1 à 3, le mobile a parcouru une distance de 12 mètres.
La vitesse moyenne sur l'intervalle [1 ; 3] est donnée par 12
3 - 1 = 12
2 = 6
La vitesse moyenne sur l'intervalle [1 ; 3] est de 6 m.s
-1
.
3°) La vitesse moyenne sur l'intervalle [1 ; 2] est de 5 m.s
-1
car p(2) - p(1)
2 - 1 = 5
1 = 5
La vitesse moyenne sur l'intervalle [1 ; 1,5] est de 4,5 m.s
-1
car p(1,5) - p(1)
1,5 - 1 = 2,25
0,5 = 4,5
La vitesse moyenne sur l'intervalle [1 ; 1,25] est de 4,25 m.s
-1
car p(1,25) - p(1)
1,25 - 1 = 1,0625
0,25 = 4,25
La vitesse moyenne sur l'intervalle [1 ; 1,1] est de 4,1 m.s
-1
car p(1,1) - p(1)
1,1 - 1 = 0,41
0,1 = 4,1
La vitesse moyenne sur l'intervalle [1 ; 1,01] est de 4,01 m.s
-1
car p(1,01) - p(1)
1,01 - 1 = 0,0401
0,01 = 4,01
Il semble que plus l'intervalle a une faible amplitude, plus la vitesse moyenne se rapproche de 4 .
On peut penser que la vitesse instantanée à l'instant t = 1 est de 4 m.s
-1
.
NB : Il semble que le mouvement soit accéléré (la vitesse augmente en fonction du temps)