Étude du frottement en Loire maritime

LA HOUILLE BLANCHE / No 1/2-1974
Étude
du frottement en Loire
maritime
par J..L. Mauvais
et J.·C. Salomon
Laboratoire d'Océanographie Physique
Faculté des Sciences de Brest
Laboratoire d'Océanographie Physique
Faculté des Sciences de Brest
Centre Océanologique de Bretagne
Introduction
F=
Depuis quelques années les progrès de l'analyse numérique
(liés aux performances des ordinateurs) ont été très importants et l'intérêt des modèles mathématiques n'est plus à
démontrer.
Un des paramètres les plus importants de l'équation
dynamique régissant la propagation de la marée dans un
estuaire est le frottement. Or, les progrès accomplis dans
la détermination de ce paramètre sont loin d'être comparables aux progrès de l'analyse numérique.
C'est pour cette raison qu'il nous a paru utile d'étudier
le frottement.
ou -1-
ot
li
ou -1-
g
OX
P oh
P OX
F
u
force de frottement par unité de masse;
vitesse;
g
p
accélération de la pesanteur;
masse volumique de l'eau;
p
h
masse volumique moyenne sur une verticale;
cote de la surface rapportée à un plan horizontal;
z
distance au fond, comptée positivement suivant la
verticale ascendante;
temps.
Cette étude s'est faite en Loire-Maritime dans deux directions :
Des enregistrements continus de la vitesse ont été réalisés en cinq points d'une verticale (z = 0,24 m; 0,45 m;
0,79 m; 1,80 m et 2,34 m)
étude locale du frottement par mesure du gradient de
vitesse au-dessus du fond; corrélation avec la granulométrie du sédiment;
étude du frottement sur une grande partie de l'estuaire
par résolution numérique des équations de propagation
de la marée.
hauteur d'eau moyenne . . . . . . . . . . . . ..
9
m
environ
vitesse maximale
1,2 ml s environ
Neuf cycles de marée ont été observés par des coefficients et des débits fluviaux différents, ce qui nous a permis
d'étudier le frottement en fonction des deux variables t et z.
Étude ponctuelle
du frottement
Recherche d'une loi de frottement
Les courbes (F, u) ne s'interprètent pas facilement, elles
ont le plus souvent l'aspect d'ellipses qui se ,resserrent au
voisinage du fond. Ces courbes expérimentales ont été
approximées par des fonctions de la forme
L'équation du mouvement permet, à partir de mesures
ponctuelles de la vitesse, des hauteurs d'eau et des densités,
de calculer le terme de frottement.
La zone étudiée est située aux environs de Paimbœuf.
L'écoulement est unidimensionnel. Supposant une influence
faible du gradient horizontal de densité, l'équation du mouvement peut s'écrire [3] :
149
Article published by SHF and available at http://www.shf-lhb.org or http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1974015
a
les coefficients a, (3, y,
étant déterminés par moindres
carrés, et les résultats testés suivant les écarts entre valeurs
théoriques et expérimentales.
Il apparaît que les dérivées de la vitesse ont une influence
faible et difficile à expliciter avec les mesures disponibles.
L'importance de la hauteur est très notable mais irrégulière,
et il n'est pas possible de déterminer une valeur précise
du coefficient (3.
Une fonction de plusieurs variables se révélant trop difficile à cerner avec les mesures disponibles, il nous semble
préférable d'approcher la loi de frottement par une fonction
simple de la vitesse.
On constate que, dans les endroits sableux, cette corrélation est voisine de 0,9, alors que, dans les zones vaseuses,
elle n'est plus que de 0,7, voire même 0,6.
En zone sableuse, la corrélation croît avec la hauteur à
laquelle on mesure la vitesse : faible corrélation sur le
fond (0,5 à 0,6) et très bonne corrélation au point de
mesure le plus haut (0,95).
En zone vaseuse, les corrélations sont faibles : de l'ordre
de 0,2 à 0,3 à z = 0,24 m, puis 0,7 à z = I,SO m, mais
seulement 0,6 à 2,34 m.
Deux expressions sont particulièrement intéressantes
F = -
(a)
(KI
+K
2
Interprétation des valeurs moyennes sur une marée
u) u
FOND SABLEUX
F = - K u"
(b)
On observe une variation de la fonction cherchée suivant z.
Les termes du premier et second degré (a) ont une importance relative variable suivant la cote. Le terme du second
degré, prépondérant près de la surface, diminue vers le
fond, à l'inverse du terme de degré 1 qui devient le plus
important. Par fort débit fluvial, le rapport K 2 / KI augmente, et même en profondeur, reste supérieur à l'unité.
La loi (b) rend compte du même phénomène. L'exposant
de la vitesse croît depuis des valeurs assez dispersées mais
voisines de 1, dans les plus basses couches, jusqu'à a = 2
environ, dans la veine principale (fig. 1). Le coefficient K
suit une variation inverse.
L'épaisseur de rugosité décrit de mamere satisfaisante
la fraction grossière (D so) des sédiments sableux. Une
mesure, réalisée sur la roche, conduit à: Zn = S,4 cm et
semble fixer une limite asymptotiquc à la courbe présentée
figure 2. II semble que la ·différence entre les épaisseurs de
rugosité, déterminées pour une même granulométrie de
0,2 mm, soit due à l'aspect du fond plus ridé à un poste de
mesure qu'au second [2].
Le peu de points appalraissant sur la figure 2, ne doit
pas faire oublier que chacun résulte de la moyenne de
750 valeurs expérimentales couvrant 12 h 25 mm. Par
ailleurs, l'utilisation d'une colonne solidaire du fond, et
mesurant simultanément la vitesse à des niveaux bien définis, conduit à des valeurs précises. De sorte que les résultats obtenus semblent dignes de foi.
Relations entre frottement et granulométrie
des matériaux constituant le fond
FOND VASEUX
Les mesures réalisées SUT fond de vase ne donnent
aucunccorrélation entre l'épaisseur de rugosité (de 7 à
15 cm) et la granulométrie. Ce résultat s'explique, sans
doute, par les turbidités élevées qui règnent à proximité
du fond, et diminuent la valeur de la constante de Karman.
Le fait se répercute dans nosca1culs par une augmcntatian apparente de Zn.
La force de frottement qui s'exerce au sein du liquide
s'accompagne, sur le fond, d'une tension dont l'étude du
profil des vitesses peut rendre compte.
On a vérifié [3] que, dans la région étudiée, les courants
avaient une structure verticale proche d'une fonction logarithmique.
En conclusion de cette premIere étape de l'étude du
frottemcnt en Loire-Maritime, entreprise à partir de
mesures de la vitesse, nous dirons que:
+
y* L o g
Z
- -Zn
-
11=-
K
Y'" = "\/-c/p
Zo
Une fonction quadratique de la vitesse est la fonction
simple décrivant le mieux le phénomène dans la veine
princi pale du courant. Sur le fond, une puissance voisine
de l'unité est préférable, et à toute cote, une valeur intermédiaire croissant depuis le fond vers la surface. La
constante de proportionnalité augmente près du fond
(fig. 3).
vitesse de frottement;
tension de frottement;
7
K
constante de Karman;
Zo
épaisseur de rugosité.
Parallèlement à l'étude de la force de frottement, nous
avons envisagé les variations des paramètres y* et Zo en
observant quatre cycles marégraphiques sur fond sableux,
trois sur fond vaseux et un sur fond rocheux.
Corrélations entre u,
v*
et
Par ailleurs, il existe une relation entre l'épaisseur de
rugosité moyenne déterminée sur un cycle de marée, et
la granulométrie du sédiment lorsque celui-ci est du sable.
Sur fond ,de vase, il n'y a plus de relation apparente.
Encore faudrait-il séparer l'influence de la variation de la
constante de Karman, ,de la variation réelle de zoo L'épaisseur de rugosité varie, au cours du temps, de manière
importante et difficile à interpréter. Le coefficient de
régression multiple entre Il, Y'" et Zn est plus imp~r:ant
sur fond sableux que sur fond vaseux. Le coeffiCient
croît avec la hauteur, mais, dans le cas d'un sédiment
vaseux, on observe un maximum intermédiaire.
20
Afin de connaître dans quelle mesure y* et Zo caractérisent l'écoulement, nous avons calculé le coefficient de
régression multiple entre la vitesse, la vitesse étoilée et
l'épaisseur de rugosité :
u
= f (V*
zo)
150
J.-L. MAUVAIS et J.-C. SALOMON
Étude du frottement
par résolution numérique de l'équation
de propagation de la marée
GranlJtométrie
fraction grossière BO-I.
Une autre démarche dans l'étude du frottement consiste
à envisager le phénomène sous son aspect «moyen », à
l'échelle d'une section de l'écoulement, après résolution de
l'équation du mouvement.
La détermination du frottement, par résolution numérique des équations de propagation de la marée dans un
estuaire, nécessite la connaissance des hauteurs et des
débits dans tout le Heuve.
Les hauteurs sont déterminées par interpolation parabolique entre trois ou quatre marégraphes. Les débits sont
calculés par la méthode des cubatures [1].
Le calcul d'un cycle de marée toutes les dix minutes et
tous les 250 m s'effectue pour tout l'estuaire (entre Paimbœuf et Thouaré) en moins de dix minutes sur CIl 10070.
Il est donc facile d'obtenir d'utiles renseignements (débit,
stock oscillant...) sur le fleuve, par différents ·coefficients de
marée et différents régimes (étiage, crue...).
La méthode des cubatures nous a permis de calculer le
frottement moyen sur des profils distants de 250 m pour
une période de quinze jours en régime de crue.
Le régime de crue a été étudié de 'préférence à un
régime normal à la demande du Port Autonome de Nantes.
Au vu des résultats, nous avons regretté ce choix : en
effet, il semble exister une assez grande différence entre les
09
~ 0:: F( gronu'tomt'tri:
du sédiment)
oa
07
06
Mesure complémentoire
réalisée
sur de te roche
0.5
O.'
+
0.3
+
02
+
0.1
.a
2/
'0
]0
en cm
Variation de l'épaisseur de rugosité en fonction
de la granulométrie du sédiment.
Zm
Zm
__ K
o Forl dlibil r1uvi o l
____
o Faible débit fluvial
0(
d
1
1
o Fort débit ~!uvia·l
f
o Faible débit Fluvial
/1
/1
!!
/ 1
! 11
1
1
1
1
/
/
!
!
jJ
/
/
/
/
/
/
/
!
!
!
/
/
!
/
1
1
/
/
/
1
1
1
1
1
1
1
1
1
/
1
1
/
t
1
1
c/
/
o
/-<5
0'
o
0
_<_~~
o
".~._'o_~__ ~
-19~{mks.)
KM
°01------------~1Cl--:o'-----------2~.10.:.-:-'
~
o
1/
o
m
3/
Structure verticale des paramètres de la loi de frottement:
F = KU'"
151
Variation de la constante de proportionnalité
suivant la cote.
'
coefficients de frottement en flot et en jusant. Or, en période de crue, nous avions beaucoup plus de mesure en
jusant qu'en flot.
Nous n'avons étudié le frottement qu'entre Paimbœuf et
Nantes. En effet, en aval de Paimbœuf, l'écoulement n'est
plus unidimensionnel et la méthode des cubatures ne peut
donc s'appliquer; en amont de Nantes, les renseignements
concernant la topographie sont nettement insuffisants (et
périmés).
Nous nous sommes cependant servis des documents
disponibles pour calculer les volumes d'eau emmagasinés
dans la partie supérieure du fleuve (calcul entaché d'une
certaine imprécision, ce qui n'est pas très grave étant
donné les débits calculés), mais il ne nous était pas possible d'entreprendre, à partir de ces résultats, une étude
du frottement.
Nous devons donc revenir au schéma classique :
frottement
a Va HP
=
En moyenne, pour l'ensemble du fleuve:
V2
F = K - - pour V> 0,3 m/s
HO,5
V
< 0,3 mis
et F = K - pour V
H
Ces moyennes subissent d'assez grandes variations le
long du fleuve. Nous ne nous attacherons pas aux variations de ~. Elles sont, à première vue, assez déconcertantes et peuvent être en partie dues à la schématisation du
fleuve.
a varie de 2,6 à 1,4. a = 2,6 lorsqu'il existe des épis
sur les berges du fleuve et a = 1,4 lorsque les berges sont
très régulières et que le lit du fleuve est composé de vase.
a varie également avec la hauteur moyenne sur la section :
Validité des mesures
Le frottement a des valeurs très faibles (de 10- 3 à
10- 6 unités M.K.S.). Une erreur d'interpolation, sur la
hauteur d'eau, de 1 cm sur 250 m peut donc avoir une
influence non négligeable. De même, une erreur sur la
pente du fond. Il est bien évident que l'on ne peut prétendre schématiser le fleuve avec une précision de l'ordre
du centimètre.
Il faut donc compenser ces lacunes par un traitement
statistique portant sur un grand nombre de données (156
sections entre Paimbœuf et Nantes - une mesure toutes
les dix minutes sur une durée de quinze jours).
De plus, les lois de frottement ne sont pas testées sur
l'ensemble du fleuve, mais sur chaque section. On peut
ainsi espérer que les défauts de schématisation seront
extrêmement réduits.
a = 2,1 pour
Hmo)'en
=
2,5 et a
=
1,3 pour
Hmoyen
°
= 1 m
On remarque également que a ne varie pas brutalement
en fonction de la vitesse. La figure 5 représente, pour une
section et pour un cycle de marée, l'es variations du frottement en fonction de la vitesse. On voit ainsi a varier de
0,5 à 1 puis 2 ... On retrouve une loi semblable à celle de
la résistance de l'air. Par contre, en un autre lieu (fig. 6),
il semble que, pour tout le cycle de marée, le frottement
soit proportionnel au carré de la vitesse.
Le terme le plus important intervenant dans le frottement est, de loin, la vitesse. Mais il semble que la relation
liant ces deux paramètres ne puisse s'exprimer par une fonction simple.
NOTE. - On peut remarquer que si, pour l'ensemble du
fleuve, on calcule la somme :
Justification de l'étude entreprise
m·
La figure 4 représente, pour une section de la Loire,
l'influence relative de différents paramètres intervenant
dans l'équation dynamique.
On voit immédiatement que le frottement est, de loin, le
paramètre le plus important.
e2
HO,,,
on obtient un e 2 nettement plus important que celui obtenu
avec une loi de frottement de la forme
F= aV
a) Pour chaque profil, nous avons essayé de déterminer
une loi de la forme :
oV
= f ( V, H'?Ji
'
-I-
bV2
HO,5
Mais les coefficients aet b varient beaucoup d'une sec·
tion à l'autre et peuvent difficilement s'interpréter.
oV
ox ' oH
ot ' OH*)
OX
De même pour une loi de frottement du type :
aV
(loi établie par moindres carrés)
F=
V : vitesse; H : hauteur d'eau; t : temps; x : abscisse;
H* :
LJ
i=l
Résultats
frottement
'" ( F -'- K V2. )2
\.,
=
-1-
b V2
-1-
CV3
HO,5
Pourtant, à l'avenir, pour une meilleure détermination
du frottement, il sera peut·être souhaitable d'utiliser des
lois de ce type.
hauteur par rapport à un fond horizontal.
Au premier abord, l'influence des dérivées est assez difficile à chiffrer. Mais on s'aperçoit que, dans tous les cas,
à vitesse égale, le frottement est plus important lorsque la
vitesse décroît que lorsque la vitesse croît (facteur multiplicatif variant de 1,3 à 1,5).
La hauteur, à elle seule, ne peut expliquer cela. Il faut
donc admettre une influence de l'accélération, mais nous
n'avons pu la chiffrer.
b) Si l'on suppose que, pour l'ensemble du fleuve, la loi
moyenne de frottement est, pour les vitesses supérieures à
30 cm/s, de la forme:
KV2
F =HO,:;
--
152
J.-L. MAUVAIS et J.-C. SALOMON
on peut calculer, par moindres carrés, pour toutes les sections, les coefficients K et rechercher s'il existe des corrélations entre ces coefficients K et différentes caractéristiques locales du fleuve.
Ces caractéristiques locales sont les suivantes :
abscisse le long du fleuve: x ;
hauteur moyenne à chaque section H (moyenne sur
15 jours);
vitesse moyenne à chaque section : V (moyenne sur
15 jours) ;
variations de largeur du fleuve en fonction de l'abscisse:
oL/ox;
granulométrie locale des sédiments composant le lit du
fleuve;
irrégularités de largeur du fleuve: ET (L).
Le paramètre oL/ox est calculé à partir de valeurs lissées. Il ne tient donc compte que de l'allure générale du
fleuve (variations de largeur sur 500 ou 1 000 m). Par
contre, le paramètre utilisé ici ne décrit que les irrégularités
locales, donc de plus petite taille, qui viennent sesuperposer aux précédentes (nous avons utilisé l'écart type des
largeurs calculé sur 250 m avec un pas de 20 m) :
rig (,
10
11
12
H~f"'e:I
4/
Variation des principaux termes intervenant dans l'équation
de propagation durant un cycle de marée.
irrégularités de profondeur du fIeuve : ET (H) pour
tenir compte de l'existence possible de dunes. Nous
avons utilisé l'écart type des profondeurs calculé sur
-cinq sections séparées par une distance de 50 m de part
et d'autre de la section moyenne (pas de calcul : 20 m) ;
le rayon de courbure du fIeuve.
Si l'on calcule les coefficients de corrélation simple entre le frottement et chacun de ces paramètres, on trouve
des corrélations très faibles.
Par contre, le coefficient de corrélation multiple est de
0,9. Le rayon de courbure, la hauteur moyenne et la granulométrie ne semblent pas significatifs. Les autres paramètres le sont.
Pour la granulométrie, nous devons toutefois faire une
remarque. Pour entreprendre une étude statistique valable,
il nous aurait fallu plusieurs granulométries par section, ce
qui représentait évidemment un énorme travail. Nous avons
donc dû nous contenter de granulomètries récentes ayant
été effectuées pour d'autres études. Il est bien évident que
l'échantillonnage n'était pas idéal (nous ne possédions des
granulométries que pour une quarantaine de sections, très
souvent une seule granulométrie par section. Quand nous
en avions plusieurs (2 ou 3) elles pouvaient d'ailleurs être
très di ff érentes).
Il n'est donc pas étonnant que les résultats obtenus
n'aient pas été significatifs.
/=K.UOS
,".~~
0.2
+b
l
Log L
+b
2
ET (H)
Log ~
r
ET (L)
+b-\ Log x ,- b" Log --L-
avec b o = -7,762
b 1 =-0,176
b2 = - 0,089
bs = -0,049
-1-
O..
0.5
Um/s
1.0
F
m~-l
6.10"'
On peut exprimer les coefficients de proportionnalité par
une loi du type:
Log K = bo
0.3
+ bs Log oL
ox
bG Log V
2:Kl-'
b'l = -0,09
b" = -0,032
10-'
b G = -1,681
,
0.2
5-6/
On voit que la vitesse a, dans la détermination des coef153
1
1
1
,
,
0.3
0.5
1.0
Um/s
Variation du frottement en fonction de la vitesse
durant un cycle de marée.
ficients de proportionnalité des lois de frottement, une
influence non négligeable.
Si l'on élimine la vitesse, le coefficient de corrélation
multiple est de 0,7.
Cette influence de la vitesse est une preuve supplémentaire qu'une loi de type F = K V2 ne traduit qu'imparfaitement la réalité.
et du coefficient de marée. Le long du fleuve les coefficients (f. varient de 2,6 à 1,4.
Le frottement apparaît donc comme un paramètre extrêment difficile à déterminer. C'est évidemment très gênant
car une bonne connaissance du frottement permettrait d'affiner les modèles mathématiques et leur ouvrirait de nouvelles possibilités.
Conclusion
Bibliographie
L'étude du frottement, entreprise de deux manières différentes, conduit à des résultats voisins:
[1] MAUVAIS (J.L.). - Calcul des vItesses moyennes ll1stalll<lneeS
en Loire-Maritime. Cahiers Océanographiques, p. 251-266
(mars 1971).
le frottement ne semble pas pouvoir s'exprimer par une
fonction simple de la vitesse et de la hauteur;
au cours d'un cycle de marée la courbe F = f (V) semble décrire une sorte d'ellipse;
les coefficients (f. des lois du type F = K Va varient
localement en fonction de la hauteur au-dessus du fond
[2] MAUVAIS (J.L.) et SALOMON (J.c.). - Liaisons entre paramètres
hydrauliques et sédimentologiques dans l'estuaire de la
Loire. Aunales Hydrographiques (1973) (à paraître).
[3] SALOMON (.LC.). « Contribution à l'étude de la structure
verticale des courants de marée en Loire maritime ». Thèse
3" cycle, Faculté des Sciences, Brest Uanvier 1972).
Discussion
Prbident : M. J. LARRAS
Je suis tout à fait d'accord avec ce que vient d'exposer M. le
Président, dit M. BIESEL; j'ajouterais seulement que l'importance
de la détermination précise des paramètres de calcul dépendra
souvent de l'objectif final poursuivi. Dans certains cas, il pourra
être suffisant de représenter convenablement seulement un amortissement global; par contre, dans d'autres problèmes, il pourra
être nécessaire de suivre l'évolution détaillée en un certain nombre
de points précis. L'étude de MM. MAUVAIS ct SALOMON prendra
alors tout son intérêt.
Avant d'ouvrir la discussion, M. le Président commente ainsi
l'exposé de MM. MAUVAIS et SALOMON:
Je voudrais rassurer les conférenciers qui ont fait une sorte de
constat d'échec et je ne mets, dans cette expression, aucune part
malveillante. Ils ont dit : «Nous sommes à peu près dans l'impossibilité d'expliquer nos constatations; en particulier, il est troublant qu'on ne puisse pas relier, faute d'ailleurs de données suffisantes, le coefficient de frottement à la nature du fond ».
En somme, le but que vous poursuiviez éta;t essentiellement
d'obtenir un calcul de la marée qui soit satisfaisant en toutes circonstances. Je considère donc comme une réussite que vous ayez
pu arriver à trouver un terme complémentaire (vous voyez que
j'emploi à dessein un terme assez vague) qui fait concorder raisonnablement le calcul avec les observations. Ce terme engloble de
nombreux éléments qui varient d'une section, d'une hauteur, d'une
vitesse, ou d'une courbure à une autre.
Vous avez fait allusion à certaines mesures qui ont été faites,
pour mon compte sur la Loire, par le prédécesseur de M. MAQUET.
On est arrivé à ce résultat, assez déroutant, que les mesures de
courant à la perche, qui devaient donner, en principe, des valeurs
moyennes, donnaient, en fait, des vitesses supérieures à la moyenne
des vitesses mesurées au moulinet. On peut donc se trouver obligé
d'introduire dans les calculs des termes correctifs : l'essentiel est
qu'ils donnent de bons résultats. Vous avez justement découvert
les termes qui, dans le cas particulier de la Loire, et non pas dans
n'importe quel estuaire (vous auriez évidemment souhaité oue ce
soit une loi générale), permettent désormais de résoudre tous les
problèmes de marée à l'intérieur dudit estuaire, et surtout de prévoir ce qui se passera lorsqu'on modifiera certaines caractéristiques
de l'estuaire. C'est à mon avis, extrêmement utile ct très intéressant et, à ce titre, il faut vous remercier et vous féliciter pour
ce travail.
Peut-être allez-vous vous trouver, sur ce point, en contradiction
avec M. BIESEL qui est un spécialiste de ces questions et que nous
avons le plaisir d'avoir parmi nous : il pourra nous donner l'opinion de quelqu'un d'infiniment plus compétent que moi-même en ces
matières de recherches et de calculs. J'ai simplement voulu donner,
non pas le point de vue du Président, mais le point de vue d'un
ingénieur qui a eu à s'occuper de l'estuaire de la Loire autrefois et
qui trouve eliltrêmement intéressant les résultats que vous avez
pu obtenir.
M. MAUVAIS donne les indications suivantes sur les raisons qui
ont conduit à mener l'étude qu'il a présenté en collaboration avec
M. SALOMON : Le Port Autonome de Nantes se préoccupe de
connaître l'influence d'un endiguement de vasières qui se trouvent
entre Donges et Saint-Nazaire. Si l'on veut tenter de déterminer,
au moyen d'un modèle mathématique, l'influence de cet endIguement du point de vue hydraulique il faut disposer d'un modèle
très sensible, donc très soigné; c'est ce qui nous a conduit à
cette éude.
Nous avons aetuellenwnt trois modèles mathématiques
un
modèle à cieux dimensions en aval de Saint-Nazaire, où l'on essaie
de ne rien négliger (même la force de Coriolis y intervient);" un
modèle à deux dimensions qui comprend la zone des vaS.leres
jusqu'à Paimbœuf; et un modèle à une dimension de Paimbœuf
à l'amont de Nantes.
Actuellement, nous avons quelques difficultés avec les modèles
à deux dimensions, mais le modèle à une dimension marche parfaitement et nous retrouvons, entre Paimbœuf et Nantes, les courbes de ~arées de 1969. Dcpuis, les courbes cIe marée ont considérab1ement varié; M. MAQUET en a donné la raison hier : .d'une
part, beaucoup de sable a été dragué en amont de Nant~s, et, dautre
part, le chenal a été approfondi du côté de SaInt-NaZaIre.
M. le Président clôt la discussion et informe l'u,sistance de
l'obligation dans laquc11e M. ORGERON et ses collaborateurs du
Laboratoire Central d'Hydraulique de France se sont trouvés -- en
raison d'une surcharge de travail - de renoncer à la présentation
de la dernière communication figurant à l'ordre du jour de la
présente séance.
11 lève ensuite la séance, à 17 h 45, en remerciant à nouveau
toutes les personnes qui ont contribué à présenter ct à discuter le
sujet fort complexe qui en faisait l'objet.
154