Étude du frottement en Loire maritime

LA HOUILLE BLANCHE / No 1/2-1974
Étude
du frottement en Loire
maritime
par J..L. Mauvais et J.·C. Salomon
Laboratoire d'Océanographie Physique Laboratoire d'Océanographie Physique
Faculté des Sciences de Brest Faculté des Sciences de Brest
Centre Océanologique
de Bretagne
Introduction F= ou -1- li ou -1- gP oh
ot OX P OX
Depuis quelques années les progrès de l'analyse numérique
(liés aux performances des ordinateurs) ont été très impor-
tants et l'intérêt des modèles mathématiques n'est plus à
démontrer.
Un des paramètres les plus importants de l'équation
dynamique régissant
la propagation de la marée dans un
estuaire est
le frottement. Or, les progrès accomplis dans
la détermination de ce paramètre sont loin d'être compa-
rables aux progrès de l'analyse numérique.
C'est pour cette raison qu'il nous aparu utile d'étudier
le frottement.
Cette étude s'est faite en Loire-Maritime dans deux direc-
tions :
étude locale du frottement par mesure du gradient de
vitesse au-dessus du fond; corrélation avec la granulo-
métrie du sédiment;
étude du frottement
sur une grande partie de l'estuaire
par résolution numérique des équations de propagation
de la marée.
Étude ponctuelle
du frottement
L'équation du mouvement permet, àpartir de mesures
ponctuelles de la vitesse, des hauteurs d'eau et des densités,
de calculer
le terme de frottement.
La zone étudiée est située aux environs de Paimbœuf.
L'écoulement est unidimensionnel. Supposant une influence
faible du gradient horizontal de densité, l'équation du mou-
vement peut s'écrire
[3] :
149
Fforce de frottement par unité de masse;
uvitesse;
gaccélération de la pesanteur;
pmasse volumique
de l'eau;
pmasse volumique moyenne sur une verticale;
hcote de la surface rapportée àun plan horizontal;
zdistance au fond, comptée positivement suivant la
verticale ascendante;
temps.
Des enregistrements continus
de la vitesse ont été réali-
sés en cinq points d'une verticale
(z =0,24 m; 0,45 m;
0,79 m; 1,80 met 2,34 m)
hauteur d'eau moyenne . . . . . . . . . . . .
.. 9 m environ
vitesse maximale 1,2
ml senviron
Neuf cycles de marée ont été observés par des coeffi-
cients et des débits fluviaux différents,
ce qui nous apermis
d'étudier
le frottement en fonction des deux variables tet z.
Recherche d'une loi de frottement
Les courbes (F, u) ne s'interprètent pas facilement, elles
ont le plus souvent l'aspect d'ellipses qui se ,resserrent
au
voisinage du fond. Ces courbes expérimentales ont été
approximées
par des fonctions de la forme
Article published by SHF and available at http://www.shf-lhb.org or http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1974015

les coefficients a, (3, y, a étant déterminés par moindres
carrés,
et les résultats testés suivant les écarts entre valeurs
théoriques
et expérimentales.
Il
apparaît que les dérivées de la vitesse ont une influence
faible
et difficile àexpliciter avec les mesures disponibles.
L'importance de la hauteur est très notable mais irrégulière,
et il n'est pas possible de déterminer une valeur précise
du coefficient (3.
Une fonction de plusieurs variables se révélant trop dif-
ficile à
cerner avec les mesures disponibles, il nous semble
préférable
d'approcher la loi de frottement par une fonction
simple de
la vitesse.
Deux expressions sont particulièrement intéressantes
(a) F= - (KI +K2u) u
(b) F =-K u"
On observe une variation de la fonction cherchée sui-
vant z.
Les termes du premier et second degré (a) ont une impor-
tance relative variable suivant la cote. Le terme du second
degré,
prépondérant près de la surface, diminue vers le
fond, àl'inverse
du terme de degré 1qui devient le plus
important.
Par fort débit fluvial, le rapport K2/ KI aug-
mente,
et même en profondeur, reste supérieur àl'unité.
La loi (b) rend compte du même phénomène. L'exposant
de la vitesse croît depuis des valeurs assez dispersées mais
voisines de 1, dans les plus basses couches, jusqu'à a=2
environ, dans
la veine principale (fig. 1). Le coefficient K
suit une variation inverse.
Relations entre frottement et granulométrie
des matériaux constituant le fond
La force de frottement qui s'exerce au sein du liquide
s'accompagne, sur le fond,
d'une tension dont l'étude du
profil des vitesses peut rendre compte.
On avérifié [3] que, dans la région étudiée, les courants
avaient une structure verticale proche d'une fonction loga-
rithmique.
y* LZ+Zn
11=- og---
K Zo
Y'" ="\/-c/p vitesse de frottement;
7tension de frottement;
K constante de Karman;
Zo épaisseur de rugosité.
Parallèlement à
l'étude de la force de frottement, nous
avons envisagé les variations
des paramètres y* et Zo en
observant
quatre cycles marégraphiques sur fond sableux,
trois
sur fond vaseux et un sur fond rocheux.
Corrélations entre u, v* et 20
Afin de connaître dans quelle mesure y* et Zo caracté-
risent l'écoulement,
nous avons calculé le coefficient de
régression multiple entre la vitesse, la vitesse étoilée et
l'épaisseur de rugosité :
u=f (V* zo)
150
On constate que, dans les endroits sableux, cette corréla-
tion
est voisine de 0,9, alors que, dans les zones vaseuses,
elle n'est plus
que de 0,7, voire même 0,6.
En zone sableuse, la corrélation croît avec la hauteur à
laquelle
on mesure la vitesse :faible corrélation sur le
fond (0,5 à0,6)
et très bonne corrélation au point de
mesure le plus
haut (0,95).
En zone vaseuse, les corrélations sont faibles :de l'ordre
de 0,2 à0,3 àz= 0,24 m, puis 0,7 àz=I,SO m, mais
seulement 0,6 à2,34 m.
Interprétation des valeurs moyennes sur une marée
FOND SABLEUX
L'épaisseur de rugosité décrit de mamere satisfaisante
la fraction grossière (D
so
)des sédiments sableux. Une
mesure, réalisée sur la roche, conduit à: Zn =S,4 cm et
semble fixer une limite asymptotiquc à la courbe présentée
figure 2. II semble que la ·différence entre les épaisseurs de
rugosité,
déterminées pour une même granulométrie de
0,2
mm, soit due àl'aspect du fond plus ridé à un poste de
mesure qu'au second [2].
Le peu de points appalraissant sur la figure 2, ne doit
pas faire oublier que chacun résulte de
la moyenne de
750 valeurs expérimentales couvrant 12 h25 mm. Par
ailleurs, l'utilisation d'une colonne solidaire du fond, et
mesurant simultanément la vitesse àdes niveaux bien défi-
nis,
conduit àdes valeurs précises. De sorte que les résul-
tats
obtenus semblent dignes de foi.
FOND VASEUX
Les mesures réalisées SUT fond de vase ne donnent
aucunccorrélation entre l'épaisseur de rugosité (de 7 à
15 cm) et la granulométrie. Ce résultat s'explique, sans
doute,
par les turbidités élevées qui règnent à proximité
du fond, et diminuent la valeur de la constante de Karman.
Le fait se répercute dans nosca1culs par une augmcnta-
tian apparente de Zn.
En conclusion de cette premIere étape de l'étude du
frottemcnt en Loire-Maritime, entreprise à partir de
mesures de la vitesse, nous dirons que:
Une fonction quadratique de la vitesse est la fonction
simple
décrivant le mieux le phénomène dans la veine
principale
du courant. Sur le fond, une puissance voisine
de
l'unité est préférable, et àtoute cote, une valeur inter-
médiaire
croissant depuis le fond vers la surface. La
constante de proportionnalité augmente près du fond
(fig. 3).
Par ailleurs, il existe une relation entre l'épaisseur de
rugosité moyenne déterminée sur un cycle de marée, et
la granulométrie du sédiment lorsque celui-ci est du sable.
Sur fond ,de vase, il n'y aplus de relation apparente.
Encore faudrait-il séparer l'influence de la variation de la
constante de Karman, ,de la variation réelle de zoo L'épais-
seur de rugosité varie, au cours du temps, de manière
importante et difficile àinterpréter. Le coefficient de
régression multiple entre Il, Y'" et Zn est plus imp~r:ant
sur fond sableux que sur fond vaseux. Le coeffiCient
croît avec la hauteur, mais, dans le cas d'un sédiment
vaseux, on observe un maximum intermédiaire.

J.-L. MAUVAIS et J.-C. SALOMON
GranlJtométrie
fraction grossière BO-I.
2/ Variation de l'épaisseur de rugosité en fonction
de la granulométrie du sédiment.
~ 0:: F( gronu'tomt'tri:
du sédiment)
]0 en cm
'0
Mesure complémentoire réalisée
sur de te roche
.a
09
oa
07
06
0.5
O.'
0.3
+
02
++
0.1
Étude du frottement
par résolution numérique de l'équation
de propagation de la marée
Une autre démarche dans l'étude du frottement consiste
àenvisager le phénomène sous son aspect «moyen », à
l'échelle d'une section de l'écoulement, après résolution de
l'équation du mouvement.
La détermination du frottement, par résolution numéri-
que des équations de propagation de la marée dans un
estuaire, nécessite la connaissance des
hauteurs et des
débits dans tout le
Heuve.
Les hauteurs sont déterminées par interpolation para-
bolique entre trois ou quatre marégraphes. Les débits sont
calculés
par la méthode des cubatures [1].
Le calcul d'un cycle de marée toutes les dix minutes et
tous les 250 ms'effectue pour tout l'estuaire (entre Paim-
bœuf
et Thouaré) en moins de dix minutes sur CIl 10070.
Il est donc facile d'obtenir d'utiles renseignements (débit,
stock oscillant...) sur le fleuve, par différents ·coefficients de
marée
et différents régimes (étiage, crue... ).
La méthode des cubatures nous apermis de calculer le
frottement moyen sur des profils distants de 250 mpour
une période de quinze jours en régime de crue.
Le régime de crue aété étudié de 'préférence àun
régime normal àla demande
du Port Autonome de Nantes.
Au vu des résultats, nous avons regretté ce choix :en
effet,
il semble exister une assez grande différence entre les
Zm
Zm
~
o
o
o Fort débit ~!uvia·l
oFaible débit Fluvial
o
KM
°01------------~1Cl--:o'-----------2~.10.:.-:-'
mo '
____ 0(
__ K
o Forl dlibil r1uvi
ol
o Faible débit fluvial
d
1
1
f
/1
/1
! !
/ 1
!1
11
11
1 1
11
!1
/ 1
/ 1
/ 1
/ 1
!1
!1
!1
//
/ 1
/ 1
//
! /
/ t
!1
1
jJ c/
/
/
/
/
/
/
/-<5
0'
o0 _<_~~ ".~._'o_~ __ ~ -19~{mks.)
1/ Structure verticale des paramètres de la loi de frottement:
F= KU'"
3/ Variation de la constante de proportionnalité
suivant la cote.
151

coefficients de frottement en flot et en jusant. Or, en pé-
riode de crue, nous avions beaucoup plus de mesure en
jusant qu'en flot.
Nous n'avons étudié le frottement qu'entre Paimbœuf et
Nantes.
En effet, en aval de Paimbœuf, l'écoulement n'est
plus unidimensionnel et la méthode des cubatures ne peut
donc s'appliquer; en amont de Nantes, les renseignements
concernant la topographie sont nettement insuffisants (et
périmés).
Nous nous sommes cependant servis des documents
disponibles
pour calculer les volumes d'eau emmagasinés
dans la partie supérieure du fleuve (calcul entaché d'une
certaine imprécision, ce qui n'est pas très grave étant
donné les débits calculés), mais il ne nous était pas pos-
sible d'entreprendre, àpartir de ces résultats, une étude
du frottement.
Validité des mesures
Le frottement ades valeurs très faibles (de 10-
3à
10-
6unités M.K.S.). Une erreur d'interpolation, sur la
hauteur d'eau, de 1cm sur 250 m peut donc avoir une
influence
non négligeable. De même, une erreur sur la
pente
du fond. Il est bien évident que l'on ne peut pré-
tendre schématiser le fleuve avec une précision de l'ordre
du centimètre.
Il faut donc compenser ces lacunes
par un traitement
statistique portant sur un grand nombre
de données (156
sections entre Paimbœuf et Nantes -
une mesure toutes
les dix minutes sur une durée de quinze jours).
De plus, les lois de frottement ne sont pas testées sur
l'ensemble
du fleuve, mais sur chaque section. On peut
ainsi espérer que les défauts de schématisation seront
extrêmement réduits.
Justification de l'étude entreprise
La figure 4représente, pour une section de la Loire,
l'influence relative de différents
paramètres intervenant
dans l'équation dynamique.
On voit immédiatement que le frottement est, de loin, le
paramètre le plus important.
Résultats
a) Pour chaque profil, nous avons essayé de déterminer
une loi de la forme :
(
oV oV oH OH*)
frottement =fV, H'?Ji ' ox ' ot ' OX
(loi établie par moindres carrés)
V:vitesse; H: hauteur d'eau; t:temps; x:abscisse;
H* : hauteur par rapport à un fond horizontal.
Au premier abord, l'influence des dérivées est assez dif-
ficile àchiffrer. Mais
on s'aperçoit que, dans tous les cas,
àvitesse égale, le frottement est plus important lorsque la
vitesse décroît que lorsque la vitesse croît (facteur multi-
plicatif variant de 1,3 à1,5).
La hauteur, àelle seule, ne peut expliquer cela. Il faut
donc admettre une influence de l'accélération, mais nous
n'avons pu la chiffrer.
152
Nous devons donc revenir au schéma classique :
frottement =a
Va HP
En moyenne, pour l'ensemble du fleuve:
V2
F=K -- pour V> 0,3 m/s
HO,5
V
et F=K- pour V<0,3 mis
H
Ces moyennes subissent d'assez grandes variations
le
long du fleuve. Nous ne nous attacherons pas aux varia-
tions de
~. Elles sont, àpremière vue, assez déconcer-
tantes et peuvent être
en partie dues àla schématisation du
fleuve.
avarie de 2,6 à1,4. a=2,6 lorsqu'il existe des épis
sur les berges
du fleuve et a=1,4 lorsque les berges sont
très régulières et
que le lit du fleuve est composé de vase.
avarie également avec la hauteur moyenne sur la sec-
tion :
a= 2,1 pour Hmo)'en =2,5 et a= 1,3 pour Hmoyen =1°m
On remarque également que a ne varie pas brutalement
en fonction de la vitesse. La figure 5représente, pour une
section
et pour un cycle de marée, l'es variations du frot-
tement
en fonction de la vitesse. On voit ainsi avarier de
0,5 à 1 puis 2 ... On retrouve une loi semblable àcelle de
la résistance
de l'air. Par contre, en un autre lieu (fig. 6),
il semble que, pour tout le cycle de marée, le frottement
soit proportionnel
au carré de la vitesse.
Le terme le plus important intervenant dans le frotte-
ment est, de loin, la vitesse. Mais il semble que la relation
liant ces deux paramètres ne puisse s'exprimer
par une fonc-
tion simple.
NOTE. - On peut remarquer que si, pour l'ensemble du
fleuve, on calcule
la somme :
m·
'" ( V2 )2
e2= \., F -'- K -.
LJ HO,,,
i=l
on obtient un e2nettement plus important que celui obtenu
avec
une loi de frottement de la forme
F=
aV
-I-
bV2
HO,5
Mais les coefficients aet bvarient beaucoup d'une sec·
tion à l'autre et peuvent difficilement s'interpréter.
De même pour une loi de frottement du type :
aV -1- b V2 -1- CV3
F= HO,5
Pourtant, àl'avenir, pour une meilleure détermination
du frottement, il sera peut·être souhaitable d'utiliser des
lois de ce type.
b) Si l'on suppose que, pour l'ensemble du fleuve, la loi
moyenne
de frottement est, pour les vitesses supérieures à
30
cm/s, de la forme:
KV2
F=--
HO,:;

J.-L. MAUVAIS et J.-C. SALOMON
On voit que la vitesse a, dans la détermination des coef-
r ET (L)
+b-\ Log x ,- b" Log --L- -1- bGLog V
Um/s 0.3 O.. 0.5 1.0
0.2
1
1
1
10-'
,, ,
0.2 0.3 0.5
1.0 Um/s
F
m~-l
2:Kl-'
6.10"'
10 11 12
H~f"'e:I
5-6/ Variation du frottement en fonction de la vitesse
durant un cycle de marée.
/=K.UOS
,".~~
rig (,
4/ Variation des principaux termes intervenant dans l'équation
de propagation durant un cycle de marée.
b'l = -0,09
b" = -0,032
bG= -1,681
avec bo= -7,762
b1 =-0,176
b2= - 0,089
bs=
-0,049
on peut calculer, par moindres carrés, pour toutes les sec-
tions, les coefficients Ket rechercher s'il existe des corré-
lations
entre ces coefficients K et différentes caractéris-
tiques locales
du fleuve.
Ces caractéristiques locales sont les suivantes :
abscisse le long du fleuve: x ;
hauteur moyenne àchaque section H(moyenne sur
15 jours);
vitesse moyenne àchaque section :V(moyenne sur
15 jours) ;
variations de largeur du fleuve en fonction
de l'abscisse:
oL/ox;
granulométrie locale des sédiments composant le lit du
fleuve;
irrégularités de largeur du fleuve: ET (L).
Le paramètre oL/ox est calculé à partir de valeurs lis-
sées. Il ne
tient donc compte que de l'allure générale du
fleuve (variations de largeur sur 500 ou 1000 m). Par
contre, le paramètre utilisé ici ne décrit que les irrégularités
locales, donc
de plus petite taille, qui viennent sesuperpo-
ser aux précédentes (nous avons utilisé l'écart type des
largeurs calculé
sur 250 mavec un pas de 20 m) :
irrégularités de
profondeur du fIeuve : ET (H) pour
tenir compte de l'existence possible de dunes. Nous
avons utilisé l'écart type des profondeurs calculé sur
-cinq sections séparées par une distance de 50 mde part
et d'autre de la section moyenne (pas de calcul :20 m) ;
le rayon de
courbure du fIeuve.
Si
l'on calcule les coefficients de corrélation simple en-
tre le
frottement et chacun de ces paramètres, on trouve
des corrélations très faibles.
Par contre, le coefficient de corrélation multiple est de
0,9.
Le rayon de courbure, la hauteur moyenne et la gra-
nulométrie ne semblent pas significatifs. Les autres para-
mètres le sont.
Pour la granulométrie, nous devons toutefois faire une
remarque.
Pour entreprendre une étude statistique valable,
il nous aurait fallu plusieurs granulométries par section, ce
qui représentait évidemment un énorme travail. Nous avons
donc
dû nous contenter de granulomètries récentes ayant
été effectuées pour d'autres études. Il est bien évident que
l'échantillonnage n'était pas idéal (nous ne possédions des
granulométries
que pour une quarantaine de sections, très
souvent une seule granulométrie
par section. Quand nous
en avions plusieurs (2 ou 3) elles pouvaient d'ailleurs être
très di
ff érentes).
Il n'est
donc pas étonnant que les résultats obtenus
n'aient pas été significatifs.
On peut
exprimer les coefficients de proportionnalité par
une loi du type:
ET (H) oL
Log K=bo+blLog L+b2Log ~ +bsLog ox
153