Algèbre : Fiche de TD n 1

Algèbre : Fiche de TD n◦1
Relations d’équivalence.
Exercice 1. Soit Aun ensemble non vide. Montrer qu’à toute relation d’équivalence dans Aon peut
associer une partition de A(dont les éléments sont les classes d’équivalence de la relation) et réciproquement.
Rappel : une partition de Aest une collection de sous-ensembles non vides de A, deux à deux disjoints, dont
l’union est A. Dénombrer les relations d’équivalence sur un ensemble à 2ou à 3éléments.
Exercice 2.
1. Soit f:A−→ Bune application entre deux ensembles non vides. Montrer que la relation Rfdéfinie
par :
“pour tous a, a0∈A,a∼a0si et seulement si f(a) = f(a0)”
est une relation d’équivalence.
2. Réciproque. On note P(A)l’ensemble des parties de A. Montrer que toute relation d’équivalence R
dans Adéfinit une application f:A−→ P(A)telle que R=Rf.
3. Soit f:A−→ Bune application entre deux ensembles non vides. On note A/Rfl’ensemble des
classes d’équivalence de Rf. Montrer que l’ application ¯ f:A/Rf−→ Best bien définie en posant
¯
f([x]) = f(x)où [x]est la classe de xpour Rf, puis que ¯ fest injective. Que se passe-t-il si fest
surjective ?
Exercice 3.
1. Soit Rla relation sur U12 ={z∈C, z12 = 1}définie par zRz0si z4=z04. Montrer que c’est une
relation d’équivalence et décrire l’ensemble des classes d’équivalence.
2. Soit Rla relation dans N×Ndéfinie par : (x, y)R(x0, y0)si x+y0=x0+y. Montrer que c’est une
relation d’équivalence. Trouver une bijection de N2/Rvers Z.
3. Soit Rla relation dans Z×Z∗définie par : (x, y)R(x0, y0)si xy0=x0y. Montrer que c’est une relation
d’équivalence. Trouver une bijection de l’ensemble des classes d’équivalence vers Q.
4. Soit Rla relation dans R[X]définie par : PRQsi X2+1 divise P−Q. Montrer que c’est une relation
d’équivalence et trouver une bijection de l’ensemble des classes d’équivalence vers C.
5. Soit Ele plan affine. On considère la relation (dite d’équipollence) sur E × E définie par :
(A, B)R(C, D)si ABDC est un parallélogramme.
Vérifier que c’est une relation d’équivalence et que l’ensemble des classes d’équivalence n’est autre que
l’ensemble des vecteurs du plan. Comment définir la somme des vecteurs ?
6. Soit Rla relation dans l’espace des matrices Mn,p(R)définie par :
ARBs’il existe P, Q ∈GLn(R)×GLp(R)telles que B=P AQ.
Montrer que c’est une relation d’équivalence. Vérifier qu’il y a min(n, p) + 1 classes d’équivalence et
donner un représentant de chaque classe.
7. Soit Rla relation dans l’espace des matrices Mn(R)définie par :
ARBs’il existe P∈GLn(R)telle que B=P−1AP .
Vérifier que c’est une relation d’équivalence. Si n≥2, montrer qu’il y a une infinité de classes d’équi-
valence.
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Exercice 4. Montrer que la relation sur Rdéfinie par a∼bsi et seulement si a−b∈Zest bien une
relation d’équivalence. Montrer que l’ensemble de ses classes peut être identifié avec S1={z∈C| |z|= 1}
par le biais de l’application t7→ e2iπt (faire le lien avec la question 3 de l’exercice 3). Montrer que cette
relation d’équivalence est compatible avec la somme de Ret que l’opération induite sur l’ensemble des classes
d’équivalence est le produit de C.
Exercice 5. On considère sur Zla relation de congruence modulo n(n > 1fixé) définie par : a∼bsi et
seulement si a−best un multiple de n.
1. Montrer qu’il s’agit bien d’une relation d’équivalence avec nclasses d’équivalence (faire le lien avec la
question 3 de l’exercice 3). On notera par la suite a≡b[n](ou a≡b) au lieu de a∼b.
2. Montrer que cette relation d’équivalence est compatible avec la somme et le produit de Z(i.e. si a≡b
et c≡d, alors a+c≡b+det ac ≡bd). On notera Z/nZ(ou Z/n) l’ensemble des classes d’équivalence
et [a]la classe de a.
3. En déduire des lois +et ·sur le quotient Z/nZ. Vérifier qu’elles sont commutatives. Vérifier que
(Z/nZ,+) est un groupe. Pourquoi (Z/n, ·)n’est-il jamais un groupe ?
4. Montrer que si pgcd(a, n)=1et ab ≡ac, alors b≡c.
5. Montrer que si pgcd(a, n)=1il existe btel que ab ≡1.
6. Montrer que nest premier si et seulement si le fait d’avoir ab ≡0implique que soit a≡0soit b≡0.
7. On suppose que nest premier. On note (Z/nZ)∗=Z/nZ\[0]. Montrer que la loi ·sur Z/nZest une
loi interne de (Z/nZ)∗. Montrer de plus que ((Z/nZ)∗,·)est un groupe. Que se passe t-il si nn’est pas
premier ?
8. Démontrer le petit théorème de Fermat : si nest premier alors pour tout entier aon a an≡a[n].
(On pourra considérer l’ensemble {[a],[2a],...,[(n−1)a]},[x]étant la classe de congruence de x
modulo n).
9. Montrer que si nest premier, alors ndivise Ck
npour 1≤k≤n−1. En déduire une autre preuve de
la question précédente.
Exercice 6. (Bonus)
1. Soit un ensemble Gmuni d’un produit associatif, admettant un (non nécessairement unique) élément
neutre à gauche eGet tel que tout élément de Gadmet un inverse à gauche (non nécessairement
unique) pour eG.
(a) Soit x∈Get x0
Gun inverse à gauche de xpour eG. Montrer que x0 Gest aussi inverse à droite de
xpour eG. (indication : faire intervenir x00
Ginverse à gauche de x0 Gpour eG).
(b) En déduire que eGest aussi neutre à droite, puis qu’il est le seul élément neutre à gauche. Que
peut-on dire de G?
(c) Vérifier que tout élément xde Ga un unique inverse à gauche x0, et que x0est aussi inverse à
droite.
2. Montrer qu’un ensemble Gmuni d’un produit associatif est un groupe si et seulement si pour tous
a, b ∈Gil existe d’uniques x, y ∈Gtels que ax =bet ya =b. En général, a-t’on x=y?
Exercice 7. (Bonus)
1. Vérifier que la relation Rdans R2définie par (a, b)R(c, d)si et seulement si (a−c, b −d)∈Z2est
bien une relation d”equivalence
2. Montrer que l’ensemble de ses classes peut être identifié avec le tore T2défini par :
T2={(z, w)∈C2| |z|= 1,|w|= 1}(T2=S1×S1)
par le biais de l’application R2→C2,(t, u)7→ (e2iπt, e2iπu).
3. Montrer que cette relation d’équivalence est compatible avec la somme de R2et déterminer l’opération
induite sur T2.
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