Algèbre : Fiche de TD n 1

Algèbre : Fiche de TD n◦ 1
Relations d’équivalence.
Exercice 1. Soit A un ensemble non vide. Montrer qu’à toute relation d’équivalence dans A on peut
associer une partition de A (dont les éléments sont les classes d’équivalence de la relation) et réciproquement.
Rappel : une partition de A est une collection de sous-ensembles non vides de A, deux à deux disjoints, dont
l’union est A. Dénombrer les relations d’équivalence sur un ensemble à 2 ou à 3 éléments.
Exercice 2.
1. Soit f : A −→ B une application entre deux ensembles non vides. Montrer que la relation Rf définie
par :
“pour tous a, a0 ∈ A, a ∼ a0 si et seulement si f (a) = f (a0 )”
est une relation d’équivalence.
2. Réciproque. On note P(A) l’ensemble des parties de A. Montrer que toute relation d’équivalence R
dans A définit une application f : A −→ P(A) telle que R = Rf .
3. Soit f : A −→ B une application entre deux ensembles non vides. On note A/Rf l’ensemble des
classes d’équivalence de Rf . Montrer que l’ application f¯ : A/Rf −→ B est bien définie en posant
f¯([x]) = f (x) où [x] est la classe de x pour Rf , puis que f¯ est injective. Que se passe-t-il si f est
surjective ?
Exercice 3.
1. Soit R la relation sur U12 = {z ∈ C, z 12 = 1} définie par z R z 0 si z 4 = z 04 . Montrer que c’est une
relation d’équivalence et décrire l’ensemble des classes d’équivalence.
2. Soit R la relation dans N × N définie par : (x, y) R (x0 , y 0 ) si x + y 0 = x0 + y. Montrer que c’est une
relation d’équivalence. Trouver une bijection de N2 /R vers Z.
3. Soit R la relation dans Z × Z∗ définie par : (x, y) R (x0 , y 0 ) si xy 0 = x0 y. Montrer que c’est une relation
d’équivalence. Trouver une bijection de l’ensemble des classes d’équivalence vers Q.
4. Soit R la relation dans R[X] définie par : P R Q si X 2 + 1 divise P − Q. Montrer que c’est une relation
d’équivalence et trouver une bijection de l’ensemble des classes d’équivalence vers C.
5. Soit E le plan affine. On considère la relation (dite d’équipollence) sur E × E définie par :
(A, B) R (C, D) si ABDC est un parallélogramme.
Vérifier que c’est une relation d’équivalence et que l’ensemble des classes d’équivalence n’est autre que
l’ensemble des vecteurs du plan. Comment définir la somme des vecteurs ?
6. Soit R la relation dans l’espace des matrices Mn,p (R) définie par :
A R B s’il existe P, Q ∈ GLn (R) × GLp (R) telles que B = P AQ.
Montrer que c’est une relation d’équivalence. Vérifier qu’il y a min(n, p) + 1 classes d’équivalence et
donner un représentant de chaque classe.
7. Soit R la relation dans l’espace des matrices Mn (R) définie par :
A R B s’il existe P ∈ GLn (R) telle que B = P −1 AP .
Vérifier que c’est une relation d’équivalence. Si n ≥ 2, montrer qu’il y a une infinité de classes d’équivalence.
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Exercice 4. Montrer que la relation sur R définie par a ∼ b si et seulement si a − b ∈ Z est bien une
relation d’équivalence. Montrer que l’ensemble de ses classes peut être identifié avec S1 = {z ∈ C | |z| = 1}
par le biais de l’application t 7→ e2iπt (faire le lien avec la question 3 de l’exercice 3). Montrer que cette
relation d’équivalence est compatible avec la somme de R et que l’opération induite sur l’ensemble des classes
d’équivalence est le produit de C.
Exercice 5. On considère sur Z la relation de congruence modulo n (n > 1 fixé) définie par : a ∼ b si et
seulement si a − b est un multiple de n.
1. Montrer qu’il s’agit bien d’une relation d’équivalence avec n classes d’équivalence (faire le lien avec la
question 3 de l’exercice 3). On notera par la suite a ≡ b[n] (ou a ≡ b) au lieu de a ∼ b.
2. Montrer que cette relation d’équivalence est compatible avec la somme et le produit de Z (i.e. si a ≡ b
et c ≡ d, alors a + c ≡ b + d et ac ≡ bd). On notera Z/nZ (ou Z/n) l’ensemble des classes d’équivalence
et [a] la classe de a.
3. En déduire des lois + et · sur le quotient Z/nZ. Vérifier qu’elles sont commutatives. Vérifier que
(Z/nZ, +) est un groupe. Pourquoi (Z/n, ·) n’est-il jamais un groupe ?
4. Montrer que si pgcd(a, n) = 1 et ab ≡ ac, alors b ≡ c.
5. Montrer que si pgcd(a, n) = 1 il existe b tel que ab ≡ 1.
6. Montrer que n est premier si et seulement si le fait d’avoir ab ≡ 0 implique que soit a ≡ 0 soit b ≡ 0.
7. On suppose que n est premier. On note (Z/nZ)∗ = Z/nZ \ [0]. Montrer que la loi · sur Z/nZ est une
loi interne de (Z/nZ)∗ . Montrer de plus que ((Z/nZ)∗ , ·) est un groupe. Que se passe t-il si n n’est pas
premier ?
8. Démontrer le petit théorème de Fermat : si n est premier alors pour tout entier a on a an ≡ a[n].
(On pourra considérer l’ensemble {[a], [2a], . . . , [(n − 1)a]}, [x] étant la classe de congruence de x
modulo n).
9. Montrer que si n est premier, alors n divise Cnk pour 1 ≤ k ≤ n − 1. En déduire une autre preuve de
la question précédente.
Exercice 6. (Bonus)
1. Soit un ensemble G muni d’un produit associatif, admettant un (non nécessairement unique) élément
neutre à gauche eG et tel que tout élément de G admet un inverse à gauche (non nécessairement
unique) pour eG .
(a) Soit x ∈ G et x0G un inverse à gauche de x pour eG . Montrer que x0G est aussi inverse à droite de
x pour eG . (indication : faire intervenir x00G inverse à gauche de x0G pour eG ).
(b) En déduire que eG est aussi neutre à droite, puis qu’il est le seul élément neutre à gauche. Que
peut-on dire de G ?
(c) Vérifier que tout élément x de G a un unique inverse à gauche x0 , et que x0 est aussi inverse à
droite.
2. Montrer qu’un ensemble G muni d’un produit associatif est un groupe si et seulement si pour tous
a, b ∈ G il existe d’uniques x, y ∈ G tels que ax = b et ya = b. En général, a-t’on x = y ?
Exercice 7. (Bonus)
1. Vérifier que la relation R dans R2 définie par (a, b) R (c, d) si et seulement si (a − c, b − d) ∈ Z2 est
bien une relation d”equivalence
2. Montrer que l’ensemble de ses classes peut être identifié avec le tore T2 défini par :
T2 = {(z, w) ∈ C2 | |z| = 1, |w| = 1}
(T2 = S1 × S1 )
par le biais de l’application R2 → C2 , (t, u) 7→ (e2iπt , e2iπu ).
3. Montrer que cette relation d’équivalence est compatible avec la somme de R2 et déterminer l’opération
induite sur T2 .
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