Université Paris Descartes — UFR Math-Info Année 2015

Universit´ e Paris Descartes —UFR Math-Info Ann´ ee 2015-2016
Licence 2e ann´ ee Environnement de Calcul Scientifique et Mod´ elisation
page web du cours : http://www.mi.parisdescartes.fr/˜moisan/ecs/
Contrˆole continu terminal (9 mai 2016) — dur´ee : 1h30
Tous documents et calculatrices interdits.
Exercice 1
´
Ecrire, dans chaque cas ci-dessous, le r´esultat affich´e par Scilab apr`es ex´ecution de la ligne
propos´ee. On d´etaillera bien les ´etapes interm´ediaires.
a) A=matrix(12:-1:1,3,4);A(:,2)=[];A=A(2:$,[1,4]);A’
b) v=linspace(1,3,5);for i=1:2;v=[v(2:2:$),i,v(1:2:$)];end;v
c) A=[toeplitz(1:3),matrix(4:9,3,2);(-1).^(1:5)]
d) A=[1,-3,2;0,3,-1;2,-1,-3];A(:,and(A>=0,1))=0;sum(A,2)*ones(1,3)
e) A=kron([1,0;0,4],[1,1;2,-1]);cumsum(diag(diag(A)),2)
Exercice 2
a) On souhaite calculer la valeur de ex−1 pour x= 10−30. Expliquer pourquoi la ligne
Scilab ci-dessous renvoie 0.
x=10^{-30};exp(x)-1
b) ´ Ecrire une fonction Scilab expmoins1 qui prend en entr´ee un r´eel xet renvoie le r´eel y
d´efini par
y=
ex−1 si |x|>1,
3
X
k=1
xk
k!sinon.
1

Exercice 3
´
Ecrire, sans utiliser de boucle, des fonctions Scilab qui r´epondent aux sp´ecifications
donn´ees :
a) La fonction matrice prend en entr´ee deux vecteurs lignes xet yde mˆeme taille (disons
n), et renvoie une matrice A= (ai,j ) carr´ee d’ordre nd´efinie par
ai,j =1
1 + |xi|+ ln(1 + x2
j+y2 j).
b) La fonction extrait prend en entr´ee une matrice Aet renvoie la sous-matrice de A
constitu´ee des colonnes de Aqui ne contiennent aucun coefficient nul.
c) La fonction decompose prend entr´ee un polynˆome `a coefficients r´eels P(de la variable
X) et renvoie deux polynˆomes Qet R(de la variable X´egalement) tels que P=Q−R, et tous
les coefficients de Pet Qsont positifs ou nuls. Par exemple si P=X4−3X3+ 2X2−X−1
la fonction doit retourner Q=X4+ 2X2et R= 3X3+X+ 1.
d) La fonction combine prend en entr´ee deux matrices A= (ai,j ) et B= (bi,j ) de mˆeme
taille et renvoie une matrice C= (ci,j ) de mˆeme taille que Aet Bdont le terme g´en´eral est
d´efini par
ci,j =
ai,j si bi,j >0,
bi,j sinon.
Exercice 4
a) ´ Ecrire une fonction Scilab diviseurs qui prend en entr´ee un entier naturel net renvoie
un vecteur ddont les coefficients sont les diviseurs (stricts) de n, c’est-`a-dire les ´el´ements de
{1,2, . . . , n −1}qui divisent n. Par exemple, diviseurs(12) doit renvoyer le vecteur [1,2,3,4,6].
Cette fonction ne doit pas utiliser de boucle.
b) Un entier naturel nest dit parfait s’il est ´egal `a la somme de ses diviseurs stricts. Par
exemple, 6 est un nombre parfait car 1 + 2 + 3 = 6. ´ Ecrire une fonction Scilab parfaits qui
prend en entr´ee un entier naturel net renvoie dans un vecteur pla liste des nombres parfaits
inf´erieurs ou ´egaux `a n.
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