Nombres Premiers

Nombres Premiers
D´efinitions :
Un entier naturel n est premier si n 1 et s’il a exactement deux diviseurs positifs 1 et n.
D´ecomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers, c’est l’´ecrire sous la forme d’un
produit de puissances de nombres premiers distincts.
Exemples :
105 = 3 5 7.
3 5 7 est la d´ecomposition en produit de facteurs premiers du nombre 105.
99 = 9 11 = 3211
600 = 8 3 25 = 233 52
233 52est la d´ecomposition en produit de facteurs premiers de 600.
Les facteurs premiers sont 2, 3 et 5 affect´es des exposants 3, 1 et 2.
Exercice 1 - Comment reconnaˆıtre un nombre premier ?
1. Le nombre 97 est-il premier ?
2. Le nombre 259 est-il premier ?
Exercice 2 - Comment d´ecomposer un nombre entier en un produit de facteurs premiers ?
D´ecomposer 2 520 en produits de facteurs premiers.
Exercice 3
D´eterminer si les nombres suivants sont premiers :
13 ; 18 ; 23 ; 27 ; 43 ; 89 ; 101 ; 197 ; 319 ; 405.
Exercice 4
Quel est le plus petit nombre non nul divisible par deux nombres premiers distincts ?
Exercice 5
R´epondre par vrai ou faux :
1. tous les nombres impairs sont premiers.
2. aucun nombre pair n’est premier.
3. la diff´erence entre deux nombres premiers est toujours deux.
4. il y a une infinit´e de nombres premiers.
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Exercice 6
1. D´eterminer le nombre de nombres premiers inf´erieurs `a 100 se terminant par 2.
2. D´eterminer le nombre de nombres premiers inf´erieurs `a 100 se terminant par 3.
Exercice 7
D´ecomposer en produit de facteurs premiers.
18 ; 24 ; 30 ; 42 ; 49 ; 196 ; 252 ; 455 ; 546 ; 840.
Exercice 8
Simplifier les fractions suivantes en d´ecomposant le num´erateur et le d´enominateur en produit de facteurs
premiers.
48
75 ;180 126 ;585 1275 ;360 252 ;32670 792 ;17303 1859 .
Exercice 9
Ecrire sous la forme a b les nombres suivants en d´ecomposant le radicande en produit de facteurs premiers.
54 ; 74 ; 845 ; 1000 ; 1044 ; 6125 ; 20825.
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Correction
Exercice 1
Indication :
On effectue les divisions du nombre donn´e par les nombres premiers successifs, sans omission.
Si le reste est nul, le nombre n’est pas premier.
Si aucun des restes n’est nul, on continue jusqu’`a ce que le quotient devienne ´egal ou inf´erieur au
diviseur. Le nombre donn´e est alors premier.
1. On effectue la division du nombre 97 par :
2 97 n’est pas divisible par 2 car son dernier chiffre 7 n’est pas pair.
3 97 n’est pas divisible par 3 car la somme de ses chiffres 9 + 7 = 16 n’est pas divisible par 3.
5 97 n’est pas divisible par 5 car son dernier chiffre 7 n’est ni 0, ni 5.
7 97 = 7 13 + 6. Le reste de la division de 97 par 7 n’est pas nul, donc 97 n’est pas divisible par 7.
11 97 = 11 8 + 9. Le reste de la division de 97 par 11 n’est pas nul, donc 97 n’est pas divisible par 11. Le quotient 8 est inf´erieur au diviseur 11.
On peut donc conclure : aucune des divisions de 97 par 2, 3, 5, 7 et 11 n’a un reste nul et le quotient de la
derni`ere division est inf´erieur au diviseur premier. Le nombre 97 est donc premier.
Remarque : si 97 n’est pas divisible par 2, il ne le sera bien sˆur pas non plus par ses multiples 4, 6, 8, etc.
De mˆeme, 97, non divisible par 3, ne sera donc pas divisible par 9.
Remarque : on peut s’arrˆeter `a la division de 97 par 11. En effet, si, par exemple, 97 ´etait divisible par 13,
on aurait : 97 = 13 d o`u d serait un entier inf´erieur `a 8. Donc d diviserait 97 et serait plus petit que 11, ce
qui est impossible d’apr`es ce qui pr´ec`ede.
Remarque : pour la division par 2, 3, 5 ou 11, on utilise de pr´ef´erence les crit`eres de divisibilit´e.
2. On effectue la division du nombre 259 par :
2 259 n’est pas divisible par 2 car son dernier chiffre n’est pas pair.
3 259 n’est pas divisible par 3 car la somme de ses chiffres 2 + 5 + 9 = 16 n’est pas divisible par 3.
5 259 n’est pas divisible par 5 car son dernier chiffre 9 n’est ni 0, ni 5.
7 259 = 7 37. Le reste de la division de 259 par 7 est nul. 259 est divisible par 7.
Le nombre 259 n’est donc pas un nombre premier.
Exercice 2
Indication :
On divise le nombre donn´e par les nombres premiers successifs en ´ecrivant `a chaque fois le quotient
obtenu sous le dividende.
On divise 2 520 par le plus petit nombre possible c’est-`a-dire 2.
2 520 2 = 1 260.
Le diviseur 2 se note `a droite du trait, le quotient 1 260 sous 2 520.
Le plus petit diviseur premier de 1 260 est 2.
1 260 2 = 630.
2 se note `a droite, le quotient 630 se place sous 1 260.
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630 ´etant pair, son plus petit diviseur premier est 2.
630 2 = 315.
3 est le plus petit diviseur premier de 315.
315 3 = 105.
3 est le plus petit diviseur premier de 105.
105 3 = 35.
5 est le plus petit diviseur premier de 35.
35 5 = 7.
7 est premier, donc divisible par 7.
77 = 1.
Finalement,
2 520 = 2 223357
2 520 = 23325 7.
23325 7 est la d´ecomposition en produit de facteurs premiers de 2 520.
Remarque : on choisit les nombres premiers de pr´ef´erence dans l’ordre croissant pour ne pas en oublier.
Remarque : un nombre est divisible par 2 s’il se termine par un chiffre pair.
Remarque : un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. La somme des chiffres
de 315 est : 3 + 1 + 5 = 9. 9 est divisible par 3 donc 315 l’est aussi.
Remarque : un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou par 5.
Exercice 3
13 est un nombre premier car les seuls diviseurs de 13 sont 1 et 13 ;
18 ´etant divisible par 2 et par 3, alors ce n’est pas un nombre premier ;
23 n’est pas divisible par 2, 3, 5. D’autre part dans la division de 23 par 5, le quotient 4 est inf´erieur au
diviseur 5 donc 23 est un nombre premier ;
27 ´etant divisible par 3, alors ce n’est pas un nombre premier ;
43 n’est pas divisible par 2, 3, 5, 7 : 43 = 7 6 + 1, le quotient 6 est inf´erieur au diviseur 7, donc 43 est
un nombre premier ;
89 n’est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11. 89 = 11 8 + 1, le quotient de la division euclidienne de 89 par
11 est 8 ; il est inf´erieur au diviseur 11 donc 89 est un nombre premier ;
101 n’est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11. Le quotient de la division de 101 par 11 est 9. 9 ´etant inf´erieur `a
11, le nombre 101 est un nombre premier ;
197 n’est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Le quotient de 197 par 17 est 11 ; 11 17, donc 197 est un
nombre premier.
319 = 11 29, donc 319 est divisible par 11 et n’est pas un nombre premier.
405 se termine par 5 donc est divisible par 5 et n’est pas un nombre premier.
Exercice 4
Soient p et q deux nombres premiers distincts. Cela signifie que les seuls diviseurs positifs de p sont 1 et p et
les seuls diviseurs positifs de q sont 1 et q.
Par cons´equent, le plus petit nombre non nul divisible par deux nombres premiers distincts est leur produit
pq.
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Exercice 5
1. FAUX, tous les nombres impairs ne sont pas premiers. Par exemple : 9 est un nombre impair divisible par
3.
2. FAUX, 2 est pair et c’est un nombre premier.
3. FAUX, entre 7 et 11, il n’y a pas de nombre premier et 11 - 7 = 4 qui est diff´erent de 2.
4. VRAI.
Exercice 6
1. 2 est le seul nombre premier inf´erieur `a 100 se terminant par 2 car les autres nombres se terminant par 2
seront des nombres pairs, ils seront donc au moins divisibles par 2.
2. Il y a 7 nombres premiers inf´erieurs `a 100 se terminant par 3 : 3, 13, 23, 43, 53, 73, 83.
23 n’est pas divisible par 2, 3, 5. D’autre part dans la division de 23 par 5, le quotient 4 est inf´erieur au
diviseur 5 donc 23 est un nombre premier ;
43 n’est pas divisible par 2, 3, 5, 7 : 43 = 7 6 + 1, le quotient 6 est inf´erieur au diviseur 7, donc 43 est
un nombre premier ;
53 n’est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11 : 53 = 11 4 + 9, le quotient 4 est inf´erieur au diviseur 11 donc
53 est un nombre premier ;
73 n’est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11 : 73 = 11 6 + 7, le quotient 6 est inf´erieur au diviseur 11 donc
73 est un nombre premier.
83 n’est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11 : 83 = 11 7 + 6, le quotient 7 est inf´erieur au diviseur 11 donc
83 est un nombre premier.
33 est divisible par 11 ; 63 est divisible par 3 ; 93 est divisible par 3.
Exercice 7
18 = 2 9 = 2 32
24 = 8 3 = 233
30 = 2 15 = 2 3 5
42 = 2 21 = 2 3 7
49 = 7 7 = 72
196 = 2 2 7 7 = 2272
252 = 22327
455 = 5 7 13
546 = 2 3 7 13
840 = 233 5 7
Exercice 8
Pour 48
75 :
48 = 2 2 2 2 3 = 243 et 75 = 3 5 5 = 3 52, donc :
48
75
243
3 52
24
52
16
25
Pour 180
126 :
180 = 2 2 3 3 5 = 22325 et 126 = 2 3 3 7 = 2 327, donc :
180
126
10
7
Pour 585
1275 :
585 = 3 3 5 13 = 325 13 et 1275 = 3 5 5 17 = 3 5217, donc :
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