SESSION 2016 PSIMA02
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI
____________________
MATHEMATIQUES
Mardi 3 mai : 14 h - 18 h
____________________
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives
qu’il a été amené à prendre.
___________________________________________________________________________________
Les calculatrices sont autoris´
ees
1/7
Notations et d´
efinitions
Rd´
esigne l’ensemble des nombres r´
eels et Cl’ensemble des nombres complexes.
Si n, m sont deux entiers naturels non nuls, on d´
esigne par Mn,m (R)[respectivement Mn,m (C)]
l’espace vectoriel des matrices `
anlignes et mcolonnes `
a coefficients dans R[respectivement
dans C]. Comme Mn,m (R)est contenu dans Mn,m (C), une matrice `
a coefficients r´
eels est
aussi `
a coefficients complexes.
Si n=m, on note Mn(R)[respectivement Mn(C)] pour Mn,n (R)[respectivement Mn,n (C)].
Ind´
esigne la matrice identit´
edeMn(R)[respectivement Mn(C)].
Si (Mn)nNest une suite de matrices de Mn(R), on dit que cette suite converge vers une ma-
trice L∈M
n(R)si, pour tout couple (i, j)1,n2, la suite (Mn(i, j))nNdes coefficients
d’indice (i, j)de Mnconverge vers le coefficient, not´
eL(i, j), d’indice (i, j)de L.
Un vecteur (x1,··· ,x
n)de Rn[respectivement de Cn] est identifi´
e`
a l’´
el´
ement
x1
.
.
.
xn
de
Mn,1(R)[respectivement Mn,1(C)].
Pour tout vecteur x=(x1,··· ,x
n)Cn,on note x= max {|xi|;1in}.
Pour toute matrice A∈M
n(C),on d´
esigne par Sp (A)l’ensemble de toutes les valeurs
propres complexes de Aet on note :
ρ(A) = max
λSp(A)|λ|.
On rappelle que ρ(A)est le rayon spectral de A.
– Si Xest une variable al´
eatoire d´
efinie sur un espace probabilis´
e(Ω,A,P)telle que
X(Ω) = {x1,··· ,x
n}⊂R, on identifie la loi PXde Xau vecteur colonne
P(X=x1)
.
.
.
P(X=xn)
.
Objectifs
L’objet de ce probl`
eme est d’´
etudier la suite des puissances d’une matrice stochastique. La premi`
ere
partie est consacr´
ee `
a cette ´
etude dans le cas o`
un=2. Dans la seconde partie, on ´
etudie le spectre
des matrices stochastiques. Dans la troisi`
eme partie, on ´
etudie l’existence d’une probabilit´
e invariante
par une matrice stochastique et la derni`
ere partie est consacr´
ee `
a l’´
etude des puissances d’une telle
matrice.
2/7
Notations et d´
efinitions
Rd´
esigne l’ensemble des nombres r´
eels et Cl’ensemble des nombres complexes.
Si n, m sont deux entiers naturels non nuls, on d´
esigne par Mn,m (R)[respectivement Mn,m (C)]
l’espace vectoriel des matrices `
anlignes et mcolonnes `
a coefficients dans R[respectivement
dans C]. Comme Mn,m (R)est contenu dans Mn,m (C), une matrice `
a coefficients r´
eels est
aussi `
a coefficients complexes.
Si n=m, on note Mn(R)[respectivement Mn(C)] pour Mn,n (R)[respectivement Mn,n (C)].
Ind´
esigne la matrice identit´
edeMn(R)[respectivement Mn(C)].
Si (Mn)nNest une suite de matrices de Mn(R), on dit que cette suite converge vers une ma-
trice L∈M
n(R)si, pour tout couple (i, j)1,n2, la suite (Mn(i, j))nNdes coefficients
d’indice (i, j)de Mnconverge vers le coefficient, not´
eL(i, j), d’indice (i, j)de L.
Un vecteur (x1,··· ,x
n)de Rn[respectivement de Cn] est identifi´
e`
a l’´
el´
ement
x1
.
.
.
xn
de
Mn,1(R)[respectivement Mn,1(C)].
Pour tout vecteur x=(x1,··· ,x
n)Cn,on note x= max {|xi|;1in}.
Pour toute matrice A∈M
n(C),on d´
esigne par Sp (A)l’ensemble de toutes les valeurs
propres complexes de Aet on note :
ρ(A) = max
λSp(A)|λ|.
On rappelle que ρ(A)est le rayon spectral de A.
– Si Xest une variable al´
eatoire d´
efinie sur un espace probabilis´
e(Ω,A,P)telle que
X(Ω) = {x1,··· ,x
n}⊂R, on identifie la loi PXde Xau vecteur colonne
P(X=x1)
.
.
.
P(X=xn)
.
Objectifs
L’objet de ce probl`
eme est d’´
etudier la suite des puissances d’une matrice stochastique. La premi`
ere
partie est consacr´
ee `
a cette ´
etude dans le cas o`
un=2. Dans la seconde partie, on ´
etudie le spectre
des matrices stochastiques. Dans la troisi`
eme partie, on ´
etudie l’existence d’une probabilit´
e invariante
par une matrice stochastique et la derni`
ere partie est consacr´
ee `
a l’´
etude des puissances d’une telle
matrice.
2/7
Partie I
Cas n=2
On suppose dans cette partie que n=2et, pour α[0,1] et β[0,1] avec (α, β)= (0,0), on
note :
A(α, β)=1αα
β1β.
Il pourra ˆ
etre utile de noter λ=1(α+β).
I.1 Puissances de A(α, β)
Q1. Montrer que 1est valeur propre de A(α, β)et d´
eterminer le sous-espace propre associ´
e.
Q2. Montrer que A(α, β)est diagonalisable dans M2(R)et la diagonaliser.
Q3. Calculer, pour tout entier pN, la matrice A(α, β)p.
Q4. Montrer que, pour (α, β)= (1,1), la suite (A(α, β)p)pNconverge vers une matrice
L(α, β)que l’on pr´
ecisera. Que se passe-t-il pour (α, β) = (1,1) ?
I.2 Application
Soient αet βdeux r´
eels de ]0,1[. Un message binaire de longueur , c’est-`
a-dire une suite finie
(a1,a
2,··· ,a
)o`
u pour tout i∈{1,··· ,},ai∈{0,1}, est transmis dans un r´
eseau form´
e de
relais. On suppose que, `
a chaque relais, un ´
el´
ement x∈{0,1}est transmis avec une probabilit´
e
d’erreur ´
egale `
aαpour un passage de 0 `
a 1 et βpour un passage de 1`
a0. On note X0la variable
al´
eatoire d´
efinissant le message initial de longueur et, pour nN,aun-i`
eme relais, le r´
esultat
du transfert est not´
eXn. On suppose que les relais sont ind´
ependants les uns des autres et que les
erreurs sur les bits constituant le message sont ind´
ependantes.
Q5. Cas =1
Montrer que pour tout entier n0:
P(Xn+1 = 0)
P(Xn+1 = 1) =1αβ
α1βP(Xn= 0)
P(Xn= 1) .
Calculer, pour n>0,P(Xn=0|X0= 0) et P(Xn=1|X0= 1).
Si r= min α
α+β,β
α+β, montrer que la probabilit´
e pour que Xnsoit conforme `
aX0est
sup´
erieure ou ´
egale `
a:
r+ (1 r)(1 αβ)n.
3/7
Q6. Cas >1
On pose Xn=X1
n,··· ,X
no`
u, pour k∈{1,··· ,},Xk
nest le r´
esultat de la transmission
du k-i`
eme bit au n-i`
eme relais. Soit Qnla probabilit´
e pour que le message Xnsoit conforme au
message initial. Montrer que Qnv´
erifie :
Qn(r+ (1 r) (1 αβ)n).
Q7. On suppose dans cette question que α=β. Que peut-on dire dans ce cas de l’in´
egalit´
e
pr´
ec´
edente ?
Pour tout ε]0,1[,d
´
eterminer un entier nctel que la probabilit´
e d’obtenir un message erron´
e
au n-i`
eme relais soit sup´
erieure ou ´
egale `
aε(on dit que ncest la taille critique du r´
eseau).
Partie II
Spectre des matrices stochastiques
Dans cette partie, les matrices consid´
er´
ees sont carr´
ees et d’ordre n2.On dit qu’une matrice
A=(ai,j )1i,jn∈M
n(R)est stochastique [respectivement strictement stochastique] si et seule-
ment si elle est `
a coefficients positifs [respectivement strictement positifs] et :
i∈{1,··· ,n},
n
j=1
aij =1.
II.1 Coefficients
Q8. Soit A=(ai,j )1i,jn∈M
n(R)une matrice stochastique [respectivement strictement
stochastique]. Montrer que pour tous i, j compris entre 1et nona:
0aij 1[respectivement 0<a
ij <1].
Q9. Montrer qu’une matrice A`
a coefficients r´
eels positifs est stochastique si et seulement si 1
est valeur propre de Aet le vecteur ede coordonn´
ees (1,··· ,1) est un vecteur propre associ´
e.
Q10. Montrer que le produit de deux matrices stochastiques [respectivement strictement sto-
chastiques] est une matrice stochastique [respectivement strictement stochastique].
II.2 Valeurs propres
Soit A∈M
n(R)une matrice stochastique.
Q11. Montrer que
xCn,pN,Apx≤x.
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Q6. Cas >1
On pose Xn=X1
n,··· ,X
no`
u, pour k∈{1,··· ,},Xk
nest le r´
esultat de la transmission
du k-i`
eme bit au n-i`
eme relais. Soit Qnla probabilit´
e pour que le message Xnsoit conforme au
message initial. Montrer que Qnv´
erifie :
Qn(r+ (1 r) (1 αβ)n).
Q7. On suppose dans cette question que α=β. Que peut-on dire dans ce cas de l’in´
egalit´
e
pr´
ec´
edente ?
Pour tout ε]0,1[,d
´
eterminer un entier nctel que la probabilit´
e d’obtenir un message erron´
e
au n-i`
eme relais soit sup´
erieure ou ´
egale `
aε(on dit que ncest la taille critique du r´
eseau).
Partie II
Spectre des matrices stochastiques
Dans cette partie, les matrices consid´
er´
ees sont carr´
ees et d’ordre n2.On dit qu’une matrice
A=(ai,j )1i,jn∈M
n(R)est stochastique [respectivement strictement stochastique] si et seule-
ment si elle est `
a coefficients positifs [respectivement strictement positifs] et :
i∈{1,··· ,n},
n
j=1
aij =1.
II.1 Coefficients
Q8. Soit A=(ai,j )1i,jn∈M
n(R)une matrice stochastique [respectivement strictement
stochastique]. Montrer que pour tous i, j compris entre 1et nona:
0aij 1[respectivement 0<a
ij <1].
Q9. Montrer qu’une matrice A`
a coefficients r´
eels positifs est stochastique si et seulement si 1
est valeur propre de Aet le vecteur ede coordonn´
ees (1,··· ,1) est un vecteur propre associ´
e.
Q10. Montrer que le produit de deux matrices stochastiques [respectivement strictement sto-
chastiques] est une matrice stochastique [respectivement strictement stochastique].
II.2 Valeurs propres
Soit A∈M
n(R)une matrice stochastique.
Q11. Montrer que
xCn,pN,Apx≤x.
4/7
Q12. Montrer que ρ(A)=1.
II.3 Diagonale strictement dominante
Une matrice A∈M
n(C)est dite `
a diagonale strictement dominante si et seulement si
i∈{1,··· ,n},|aii|>
n
j=1
j=i
|aij |.
Q13. Soit Aune matrice quelconque dans Mn(C)et soit λCune valeur propre de A.
Montrer qu’il existe un indice i∈{1,2,··· ,n}tel que :
|λaii|≤
n
j=1
j=i
|aij |.
Q14. Montrer qu’une matrice A∈M
n(C)`
a diagonale strictement dominante est inversible.
II.4 Valeur propre de module maximal
Soit A=(ai,j )1i,jn∈M
n(R)une matrice strictement stochastique.
Q15. On d´
esigne par A1=(ai,j )1i,jn1∈M
n1(R)la matrice extraite de Aen suppri-
mant sa derni`
ere ligne et sa derni`
ere colonne. Montrer que la matrice A1In1est `
a diagonale
strictement dominante. Que peut-on en d´
eduire quant au rang de AI?
Q16. Montrer que ker (AIn)est de dimension 1.
Q17. Soit λSp (A)\{1}.Montrer que |λ|<1.
Partie III
Probabilit´
e invariante
On consid`
ere quatre points dans le plan num´
erot´
es de 1`
a4. Une particule se d´
eplace chaque
seconde sur l’ensemble de ces points de la fac¸on suivante : si elle se trouve au point i, elle reste au
point iavec une probabilit´
e´
egale `
a1
10 ou passe en un point j=ide fac¸on ´
equiprobable.
III.1 Une suite de variables al´
eatoires
On note X0une variable al´
eatoire de loi P0donnant la position du point en l’instant n=0,Xn
la position du point `
a l’instant net Pn=
P(Xn= 1)
.
.
.
P(Xn= 4)
la loi de Xn.
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