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CCP Maths PSI 2016 — Énoncé 1/7
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI!
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MATHEMATIQUES
Mardi 3 mai : 14 h - 18 h!
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N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives
qu’il a été amené à prendre.!
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Les calculatrices sont autoris´ ees
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CCP Maths PSI 2016 — Énoncé 2/7
Notations et d´ efinitions
–Rd´ esigne l’ensemble des nombres r´ eels et Cl’ensemble des nombres complexes.
– Si n, m sont deux entiers naturels non nuls, on d´ esigne par Mn,m (R)[respectivement Mn,m (C)]
l’espace vectoriel des matrices ` anlignes et mcolonnes ` a coefficients dans R[respectivement
dans C]. Comme Mn,m (R)est contenu dans Mn,m (C), une matrice `
a coefficients r´ eels est
aussi ` a coefficients complexes.
– Si n=m, on note Mn(R)[respectivement Mn(C)] pour Mn,n (R)[respectivement Mn,n (C)].
–Ind´
esigne la matrice identit´ e de Mn(R)[respectivement Mn(C)].
– Si (Mn)n∈Nest une suite de matrices de Mn(R), on dit que cette suite converge vers une ma-
trice L∈ Mn(R)si, pour tout couple (i, j)∈1, n2, la suite (Mn(i, j))n∈Ndes coefficients
d’indice (i, j)de Mnconverge vers le coefficient, not´
eL(i, j), d’indice (i, j)de L.
– Un vecteur (x1,· · · , xn)de Rn[respectivement de Cn] est identifi´
e` a l’´ el´ ement
x1
.
.
.
xn
de
Mn,1(R)[respectivement Mn,1(C)].
– Pour tout vecteur x= (x1,· · · , xn)∈Cn,on note x∞= max {|xi|; 1 ≤i≤n}.
– Pour toute matrice A∈ Mn(C),on d´
esigne par Sp (A)l’ensemble de toutes les valeurs
propres complexes de Aet on note :
ρ(A) = max
λ∈Sp(A)|λ|.
On rappelle que ρ(A)est le rayon spectral de A.
– Si Xest une variable al´ eatoire d´ efinie sur un espace probabilis´ e(Ω,A,P)telle que
X(Ω) = {x1,· · · , xn} ⊂ R, on identifie la loi PXde Xau vecteur colonne
P(X=x1)
.
.
.
P(X=xn)
.
Objectifs
L’objet de ce probl` eme est d’´ etudier la suite des puissances d’une matrice stochastique. La premi` ere
partie est consacr´ ee ` a cette ´ etude dans le cas o` un= 2. Dans la seconde partie, on ´ etudie le spectre
des matrices stochastiques. Dans la troisi` eme partie, on ´ etudie l’existence d’une probabilit´ e invariante
par une matrice stochastique et la derni` ere partie est consacr´ ee ` a l’´ etude des puissances d’une telle
matrice.
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CCP Maths PSI 2016 — Énoncé 3/7
Partie I
Cas n= 2
On suppose dans cette partie que n= 2 et, pour α∈[0,1] et β∈[0,1] avec (α, β)= (0,0), on
note :
A(α, β) = 1−α α
β1−β.
Il pourra ˆ etre utile de noter λ= 1 −(α+β).
I.1 Puissances de A(α, β)
Q1. Montrer que 1est valeur propre de A(α, β)et d´ eterminer le sous-espace propre associ´ e.
Q2. Montrer que A(α, β)est diagonalisable dans M2(R)et la diagonaliser.
Q3. Calculer, pour tout entier p∈N, la matrice A(α, β)p.
Q4. Montrer que, pour (α, β)= (1,1), la suite (A(α, β)p)p∈Nconverge vers une matrice
L(α, β)que l’on pr´ ecisera. Que se passe-t-il pour (α, β) = (1,1) ?
I.2 Application
Soient αet βdeux r´ eels de ]0,1[. Un message binaire de longueur ℓ, c’est-` a-dire une suite finie
(a1, a2,· · · , aℓ)o`
u pour tout i∈ {1,· · · , ℓ},ai∈ {0,1}, est transmis dans un r´ eseau form´ e de
relais. On suppose que, ` a chaque relais, un ´ el´ ement x∈ {0,1}est transmis avec une probabilit´ e
d’erreur ´ egale ` aαpour un passage de 0 ` a 1 et βpour un passage de 1` a0. On note X0la variable
al´ eatoire d´ efinissant le message initial de longueur ℓet, pour n∈N∗, au n-i`
eme relais, le r´ esultat
du transfert est not´ eXn. On suppose que les relais sont ind´
ependants les uns des autres et que les
erreurs sur les bits constituant le message sont ind´ ependantes.
Q5. Cas ℓ= 1
Montrer que pour tout entier n≥0:
P(Xn+1 = 0)
P(Xn+1 = 1) =1−α β
α1−β P(Xn= 0)
P(Xn= 1) .
Calculer, pour n > 0,P(Xn= 0|X0= 0) et P(Xn= 1|X0= 1).
Si r= min α
α+β,β α+β, montrer que la probabilit´
e pour que Xnsoit conforme ` aX0est
sup´ erieure ou ´ egale ` a :
r+ (1 −r)(1 −α−β)n.
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CCP Maths PSI 2016 — Énoncé 4/7
Q6. Cas ℓ > 1
On pose Xn=X1
n,· · · , Xℓ no`
u, pour k∈ {1,· · · , ℓ},Xk
nest le r´
esultat de la transmission
du k-i` eme bit au n-i` eme relais. Soit Qnla probabilit´
e pour que le message Xnsoit conforme au
message initial. Montrer que Qnv´
erifie :
Qn≥(r+ (1 −r) (1 −α−β)n)ℓ.
Q7. On suppose dans cette question que α=β. Que peut-on dire dans ce cas de l’in´ egalit´ e
pr´ ec´ edente ?
Pour tout ε∈]0,1[, d´ eterminer un entier nctel que la probabilit´
e d’obtenir un message erron´ e
au n-i` eme relais soit sup´ erieure ou ´ egale ` aε(on dit que ncest la taille critique du r´
eseau).
Partie II
Spectre des matrices stochastiques
Dans cette partie, les matrices consid´ er´ ees sont carr´ ees et d’ordre n≥2.On dit qu’une matrice
A= (ai,j )1≤i,j≤n∈ Mn(R)est stochastique [respectivement strictement stochastique] si et seule-
ment si elle est ` a coefficients positifs [respectivement strictement positifs] et :
∀i∈ {1,· · · , n},
n
j=1
aij = 1.
II.1 Coefficients
Q8. Soit A= (ai,j )1≤i,j≤n∈ Mn(R)une matrice stochastique [respectivement strictement
stochastique]. Montrer que pour tous i, j compris entre 1et non a :
0≤aij ≤1[respectivement 0< aij <1].
Q9. Montrer qu’une matrice A` a coefficients r´ eels positifs est stochastique si et seulement si 1
est valeur propre de Aet le vecteur ede coordonn´ ees (1,· · · ,1) est un vecteur propre associ´ e.
Q10. Montrer que le produit de deux matrices stochastiques [respectivement strictement sto-
chastiques] est une matrice stochastique [respectivement strictement stochastique].
II.2 Valeurs propres
Soit A∈ Mn(R)une matrice stochastique.
Q11. Montrer que
∀x∈Cn,∀p∈N,Apx∞≤ x∞.
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CCP Maths PSI 2016 — Énoncé 5/7
Q12. Montrer que ρ(A) = 1.
II.3 Diagonale strictement dominante
Une matrice A∈ Mn(C)est dite `
a diagonale strictement dominante si et seulement si
∀i∈ {1,· · · , n},|aii|>
n
j=1
j=i
|aij |.
Q13. Soit Aune matrice quelconque dans Mn(C)et soit λ∈Cune valeur propre de A.
Montrer qu’il existe un indice i∈ {1,2,· · · , n}tel que :
|λ−aii| ≤
n
j=1
j=i
|aij |.
Q14. Montrer qu’une matrice A∈ Mn(C)` a diagonale strictement dominante est inversible.
II.4 Valeur propre de module maximal
Soit A= (ai,j )1≤i,j≤n∈ Mn(R)une matrice strictement stochastique.
Q15. On d´ esigne par A1= (ai,j )1≤i,j≤n−1∈ Mn−1(R)la matrice extraite de Aen suppri-
mant sa derni` ere ligne et sa derni` ere colonne. Montrer que la matrice A1−In−1est `
a diagonale
strictement dominante. Que peut-on en d´ eduire quant au rang de A−I?
Q16. Montrer que ker (A−In)est de dimension 1.
Q17. Soit λ∈Sp (A)\ {1}.Montrer que |λ|<1.
Partie III
Probabilit´ e invariante
On consid` ere quatre points dans le plan num´ erot´ es de 1` a4. Une particule se d´ eplace chaque
seconde sur l’ensemble de ces points de la fac¸on suivante : si elle se trouve au point i, elle reste au
point iavec une probabilit´ e´ egale ` a1
10 ou passe en un point j=ide fac¸on ´
equiprobable.
III.1 Une suite de variables al´ eatoires
On note X0une variable al´
eatoire de loi P0donnant la position du point en l’instant n= 0,Xn
la position du point ` a l’instant net Pn=
P(Xn= 1)
.
.
.
P(Xn= 4)
la loi de Xn.
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