Contractibilité du groupe linéaire des espaces de Hilbert

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
L UC I LLUSIE
Contractibilité du groupe linéaire des espaces de
Hilbert de dimension infinie
Séminaire N. Bourbaki, 1964-1966, exp. no 284, p. 105-113
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Séminaire BOURBAKI
année, 1964/65,
17e
Février 1965
n° 284
CONTRACTIBILITÉ
LINÉAIRE
DU GROUPE
DES ESPACES DE HILBERT DE DIMENSION INFINIE
par Luc ILLUSIE
(d’après
[4])
base A , qui pourra être R ,
H . Quand on parlera d’espaces (resp. fibrés) vectoriels, il sera sousqu’il s’agit d’espaces (resp. fibrés) vectoriels sur A.
exposé,
Dans cet
C ,
N. KUIPER
ou
entendu
on
suppose choisi
corps de
un
théorème de N. KUIPER.
1. Le
[4J,
Dans
N. KUIPER
le résultat suivant :
prouvé
a
THÉORÈME. - Soit H un espace de Hilbert de dimension infinie. Soit L(H) l’espace des opérateurs linéaires continus de H , mini de la topologie de la norme.
Alors le groupe GL(H) des éléments inversibles de L(H) , muni de la topologie
L(H) ,
induite par celle de
Voici les
est contractile.
principales étapes
faible. - GL(H)
1° Réduction à la contractibilité
lemme 1 ci-dessous montre
(i.
tractile
(cf.
IEMME 1
MILNOR
U - N
m ::
N
de
que tous
métrisable
convexe
nue
e.
telles
[7]). -
une
réel
bre
Soit
r >
un
un
0,
1. - Choisissons
B(x, r)
notons
un
c
étant ouvert dans
U
est faiblement
N -~ U
E
sur
une
affine
de
U.
une
métrique
Pour tout
convexes.
la boule ouverte de centre
pour tout
L(H) ,
le
con-
ouvert d’un espace vectoriel localement
recouvrement ouvert de
B(x. , 3r.)
théorème.
complexe simplicial N ,
laquelle les boules soient
u =
telles que
U
application continue, ~, :
homotope à l’identité
Démonstration du lemme
lation et pour
Soit
soit
que
ce
qu’il suffit de prouver que GL(H)
ses groupes d’homotopie sont nuls).
E . Il existe
et
démonstration de
de la
U
i e 1 .
par des boules
u
jouit alors
application contisur les simplexes
invariante par transx E
x
E
et tout
nom-
et de rayon
r .
U. = B(x. , r.)
de la
propriété
suivante :
(1)
de
Si
U.
(io ,
u
...
... ,
u
U.
iest)
est
un
simplexe du
contenue dans
U .
105
nerf
N
de
u , l’enveloppe
convexe
Soit
U ~ N
maintenant 03C6 :
l’unité
(~p.). -r
l’application
subordonnée à
U
sur
U .
continue définie par une partition de
Définissons d’autre part, grâce à (l)~
application continue ~ : N -~ U en posant ~r(i) xi si i est un sommet de
N et en prolongeant ] de manière affine aux simplexes de N
Alors 03C803C6 est homotope à l’identité de U , car, en vertu de (1), le segment joignant x à
est contenu dans U pour tout x E U , ce qui démontre le lemme 1.
une
=
.,
(Remarque :
aurait pu montrer aussi que
on
Réduction à (a). - Soit
2°
alors
homotope
P
triangulation
une
à
Sn GL(H)
f :
de
Sn
et
une
et telle que la restriction
f
est
homotope à l’identité
de
N .)
application continue. Il existe
application continue f1: Sn GL(H) ,
de
fl à chaque simplexe de P soit
une
linéaire affine.
effet, avec les notations du lemme 1, où E L(H) et U GL(H) , soit P
formé par les
une triangulation finie de Sn telle que le recouvrement de Sn
Choisissons pour chaque sométoiles des sommets de P soit plus fin que
met p de P un indice i(p) tel que l’image par f de l’étoile de p soit
contenue dans
L’application fi : Sn GL(H) , définie en posant
Ui
(p)
f1 (p) xi(p) si p est un sommet de P et en prolongeant de manière affine aux
simplexes de P, répond à la question.
En
=
=
.
=
fl(S)
Comme
un
sous-espace vectoriel de dimension finie de
donc démontré si l’on prouve l’assertion suivante :
le théorème
sera
Soit
sous-espace vectoriel de dimension finie de
L(H) ,
(a)
est contenu dans
V
un
jection canonique
V n
GL(H) -~ GL(H)
est
L(H) .
Alors l’in-
homotope à l’application constante
séparable. - On remarque qu’il suffit de démontrer (a) lorsque H est séparable (i. e. de dimension K ). En effet, si A est la sous-*algèbre unitaire engendrée par V , il existe une famille (H.). Ide sous-espaces
séparables de H , stables par A et deux à deux orthogonaux, telle que H = EB H.J.
3 ° Réduction
au cas
(somme hilbertienne).
(Hi)lE 1
naux.
Pour le
de sous-espaces
voir,
on
séparables
de
Ordonné par inclusion, c’est
maximal,
et soit
est stable par
séparable
base algébrique
H’
un
et
H’
AH"
dénomhrable
était de
serait
comme
H
stables par
A
et deux à deux
ensemble inductif. Soit
de la
l’orthogonal
A . Si
considère l’ensemble des familles
somme
hilbertienne
dimension o ,
un
sous-espace
espace vectoriel
~) H..
il existerait
orthogoélément
un
Alors
un
séparable (puisque
sur A ) orthogonal
H’
sous-espace
A
admet
une
à tous les
qui contredirait le caractère maximal de la famille
H’ est donc de dimension finie, et l’on obtient la décomposition annonremplaçant l’un des H. par H. 1 e,H’ .
Hi
et stable par
cée
en
A,
4° Un lemme
déjà
LEMME 2. -
Soient
ce
connu sur
H
les espaces de Hilbert
espace de Hilbert
un
GL(H, H’)
de dimension infinie. Notons
ments
est
qui induisent 1’identité
à
homotope
l’application
séparable
H’
et
sous-espace de
1
E
H’~
Posons maintenant
H" ® H" ® . ~ .
s (g) =
g ~
g ®
g - g e 1 e I e
ce
...
Le lemme 2 montre
Soient
H
mension finiede
V
...
qu’il suffit,
un
espace
L(H) .
généralité,
GL(H)
n
5° Dernière
pour prouver l’assertion
V
de
GL(H)
V
n
(a)
dans le
dimension
et V un sous-espace vectorielde dü
sous-espace H’ de H de dimension infinie
GL(H) dans GL(H) soit homotope à une appli-
l’image
soit contenue dans
posé,
nière à avoir
contienne
n +
on commence
Kl ai
GL(H , H’) .
(b). - Supposons, ce qui ne restreint pas la
l’identité, et soit n = dim V . Il existe alors une
démonstration de
1
et
de H,
deux à deux
une
suite
orthogonaux tels
de sous-espaces
que
c
S;
par déformer
pour tout
K = V
n
GL(H)
i. Considérons
en
en
KI
effet
pour tout i.
Va.
(La construction par récurrence de ces deux suites est immédiate
teur.) Choisissons de plus, pour chaque i, un sous-espace Fi
sion n contenant
Va.. Enfin, notons S. la sphère unité de
Cela
sé-
H
cas
un
dont
de vecteurs unitaires
de
séparable
de Hilbert
Alors ilexiste
dans
étape :
que
suite
H
H’ à la somme hilbertienne
H" ,
termes).’ L’application s : GL(H’~ ) -~ GL(H) définie par
est homotope (par rotations), d’une part à l’injection
g I~-~ l (f) I ® ... ,
, et d’ autre part à l’application constante
et identifions
=
l’injection canonique
cation de
de
rétraction
de prouver l’assertion suivante.
parable,
tel que
une
IH, .
x
le lemme 2.
qui démontre
(b)
GL(H’.J..)
sur
des élé-
H’ , les
et l’appli-
(a ~)
~) ~ 0~: t~ 1 ,
GL(H , H’~)
par déformation de
H
GL(H) .
Démonstration du lemme 2. - Par rapport à la décomposition H =
éléments de GL(H, H’) s’expriment par des matrices du type
définit
associe
c ation qui, à
(~ ~)
(b).
l’injection canonique
GL(H, H’ ) -~
constante
un
GL(H) formé
le sous-groupe de
H’ . Alors
sur
et réduction à
séparables
et
laissée
de
Ei
au
lec-
de dimen-
F..
dans
GL(H)
de
l’application
ma-
X
K
t
(0 ,
x
de la
somme
pcur
(v, t)
Alors ~ :
soit
GL(H)
iéN Ei )
hilbertienne
K
(0 , 1) ,
E
K
x
(0 , 1~ .~ GL(H)
x
et
va
K2 ai
=
maintenant déformer
E
LEMME 3. - Soient
un
est
application
une
1)ai c Si pour tout
K~ dans
K~ ~ ~(K , 1)
va
espace de Hilbert de dimension
F . Notons
S(E)
non
donc,
d’une
s ( a)
== Ip, ~
telle que
f
=
situé
sr :
GL(H)
un
f(x,
E
unitaire
satisfaisant
isométrie
application définie
par
a.
x
pour tout
alors à la
aux
de
sur
E
par
telle que
x E
a
=
U (E ) -~ S(E)
p :
S(E)
dans
d’un
de
point
S(F) .
S(E)’
dé-
Il existe
telle que
S (F) (0 , 1 ) S(E)’
S(F) . L’application
~
-
x
question.
f :
conditions du lemme 3.
(v , t~ E K~ x (0 , l)et
l’application définie
F,
e t
r :i
E
application
et f(x, 1)x
au-dessus de
espace de Hilbert de dimension
un
vecteur
p
application continue
x
E.
pour
une
de
s
hyperplan,
une
0) _ IE
complémentaire
un
sphère unité de
E . Il existe alors
que
F
finie,
est contractile et contient
=
de
une
S(E)1
S(E)’
le
r(x, 0) = a et r(x , 1)
S(F) (0 , 1~ -~ U(E) répond
application
l’
part
de manière que
(resp. S (F) ) la
S(E)
section continue
une
et d’autre
Soient donc
a
F . Alors
sur
part
Soit
~( , 0)
i.
Démonstration du lemme 3. - Considérons le fibré principal
u-~ .
l’orthogonal
utiliser pour cela le lemme suivant :
x
f ini par p(u)
est
continue telle que
y
(resp. F ) et U(E) le groupe unitaire de
continue f : S(F) (0 , 1~ -~ U(E) telle
pour tout x E S (F ) .
=
E’
et
en
un
vecteur unitaire de
(où
t)E, _ IE,
~,(K ,
i. On
pour tout
ai
03BB(v ,
et posons
y
l’injection canonique
On
a
définie par
a. (F.)
n +
1~
F
un
hyperplan,
S(F) x (0 ~ 1~ -~ U(E)
Donnons-nous,
=
F
et
pour
a.(a.) =
une
chaque
a .
iy
Notons
Alors
g(v , t)
définie par
(b)
2.
de
K
H
engendré
K
par le
soit
et de
KI
l’injection canonique
l’image laisse fixe
1) ,
K~ _
en
de
dont
système
l’injection
ca-
i.
Kl
en
entre
continue
g( , 0)
est telle que
GL(H)
dans
l’application
pour tout
ai
homotopie
une
de
application
H’
t)v
les déformations de
composant
rable
f(v,
=
et
continue,
=
obtient finalement
une
est
et que
nonique
En
f
l’application
K
dans
on
GL(H) et
sépa-
le sous-espace
orthonormal
qui démontre
ce
""
et achève la démonstration du théorème.
Applications.
1° Contractibilité de
finie,
En
son
U(H) . U(H)
groupe unitaire
Si
H
espace de Hilbert de dimension inest contractile.
U(H)
s’identifie à
effet,
est
endomorphismes hermitiens définis positifs
un
P(H) , P (H) désignant
x
de
H ~
l’ensemble des
résultat, puisque P(H)
d’où le
est contractile.
2° Trivialité de
t o u t
fibre
mou
E
principal
est trivial. En
compacte
est
fibrés. - Si
effet,
(DIXMIER-DOUADY,
n°
H
est
un
séparable,
la
L’application
bré
le
p :
infinies,
U(H) ~ G~
11,
lemme
donc
G
a
G
Remarque. - Au contraire,
la
(H). -
G
(H)
Si
H
est
un
des sous-espaces de
est contractile. En
définie par
~(H)
de groupe
le
et de base paraE
4).
principal ~(H)G~ ~ ~(H) ,type d’homotopie
U(E)
2°,
sur
(resp. U(H) )
le faisceau des germes de sections continues de
gras.3mannienne
sion et de codimension
GL(H)
de groupe
3° Contractibilité de la grassmannienne
Hilbert
espace de Hilbert de dimension infinie,
effet,
p(u) = u(E)
x
U(El ) .
de
U(H) ,
.
soit
E
espace de
de dimen-
H,
E
fait de
G
(H).
U(H)
Ce fibré est trivial
1.
e.
un
fi-
d’après
est contractile.
°
des sous-espaces de dimension
grassmannienne
mais
est
un espace classifiant pour le
contractile,
groupe unitaire U(n) . Cela résulte de la contractibilité de la variété de Stiefel
des n-repères de H ;J cette propriété était déjà connue avant le théorème
finie
n
de
H
Gn(H)
n’est pas
Vn(H)
de
Kuiper,
c’est
une
conséquence
facile de la contractibilité de
U(H)
pour la
topologie simple
4°
Type d’homotopie
H
suit,
teurs
désigne
un
de
H
compacts
(cf. DIXMIER-DOUADY, [1],
forte
11).
n°
opérateurs à indice de H . - Dans ce qui
espace de Hilbert séparable. Soit C(H) l’espace des opéra(c’est un idéal bilatère fermé de L(H) ), et posons
de
l’espace
des
L’ (H)
=
L(H)/C(H) .
L(H) -~ L’(H) l’épimorphisme canonique. Un théorème de E. MICHAEL, [6],
(tout épimorphisme d’espaces de Banach admet une section continue) assure que p
est une fibration. Notons F(H) l’espace des opérateurs à indice de H (i. e.
dont le noyau et le conoyau sont de dimensions finies) et GL’(H) le groupe des
éléments inversibles de L’(H) . On sait que
Soit
p :
autrement
GL’(H) .
dit,
n’est autre que le fibré induit par
F(H)
D’autre
part,
L(H)
au-dessus de
l’indice
multiplicatif GL’ (H)
dans le groupe additif
composante connexe de l’éléGL’(H) =
ment neutre dans GL’(H) , et GL’(H) s’identifie à Z x
GL’(H) . o De plus,
F (H) est l’ensemble des opérateurs d’indice nul, et la restriction
de p à l’ouvert GL(H) c
Fo(H) fait de GL(H) un fibré principal sur GL’(H) ,
passe
au
quotient
et définit
un
homomorphisme
Ker i’
Z .
de fibre le groupe
GC(H)
=
GL(H)
n
(I
invariant
le sous-espace engendré par
du groupe
C(H))
(PALAIS, [8]). -Soit (e ) +
nEN
GL(n , A) au sous -groupe de GL(H)
PROPOSITION
tifions
+
i’
est la
une
b ase orthonormale de
laissant fixe
... ,
ei
pour
H . Ideni >
n
en . Posons
Alors
a.
l’ adhérence de
b.
l’injection canonique
dans
GL(H) est égale à GC (H) ;9
GC(H) est une équivalence d’homotopie.
et
Démonstration
Notons
a.
V
H’
le sous-espace de
L(H) formé
le sous-espace de
algébriquement engendré par les e. , et
f E L(H) tels que f(H) c H’ et
H
des éléments
f(e.) =
0 , pour tout i, sauf un nombre fini. Alors V est dense dans l’espace
opérateurs de rang fini, qui, à son tour, est dense dans C(H) . L’assertion
s’en déduit aussit8t, car
coïncide avec l’ensemble des éléments inversibles
des
de
l + V .
b. C’est
LEMME. -
une
conséquence
E
Soient
un
de la densité de
V
dans
espace vectoriel localement
espace vectoriel
C(H)
convexe
et du lemme suivant :
métrisable,
E’
un
E’ -~ E
f :
topologique,
une application linéaire continue d’
mage dense. Alors, pour tout ouvert U de E , l’ application
flu, : U’ -~ U ,
où U’ = f’"1(U) , est une équivalence d’homotopie.
(La démonstration
complexe simplicial
telles que ~xp soit
COROLLAIRE. -
de
ce
N
lemme
se
de
1,
en
construisant
un
N -, U’
flU, :
Fo(H)
U . Mais
GL’(H) ,
celle du lemme
applications continues 03C6: U ~ N , 03C8:
inverse de
U’ -~ U à homotopie près.)
est
Démonstration. - GL(H)
motopie
comme
et des
classifiant pour le groupe
un
. D’après
F (H) ,
GL’(H)
sur
GL(H) -~
GL’(H)
proposition, l’injection U-+GC(H)
résulte (DOLD
en
fibré
la
infini
unitaire
étant contractile, le fibré principal
est universel pour le groupe GC(H)
est une équivalence d’homotopie. Il
sifiant pour
fait
i-
[2])
que
de fibre
GL’(H)
C(H) ,
est
a le
un
clas-
type
d’ho-
d’où le corollaire.
Pour tout
couple d’espaces topologiques (X , Y) , notons (X , Y) l’ensemble
des classes d’homotopie d’applications continues de X dans Y . Le
corollaire
précédent prouve l’existence d’un isomorphisme de foncteurs sur la catégorie des
espaces compacts à valeurs dans la catégorie des ensembles ( , F(H)~ .~ K . Dans
[3]
et
~9~,
on
F(H)
isomorphisme de
plus
que
comment
On
on
construit,
est
par
un anneau
une
à
méthode,
homotopie
un
tel
isomorphisme.
près(1),et l’homomorphisme
foncteurs à valeurs dans la
catégorie
des
anneaux.
On montre de
construit est un
Voici brièvement
procède.
considère,
pour tout espace
bornés de fibrés hilbertiens
(au
sembles de
en
(1)
autre
cohomologie sont,
topologique X ,
sens
de LANG
catégorie
[5], chap. 7) sur X ,
la
Si le corps de base est R
chaque point, des espaces vectoriels
ou
C .
des
complexes
dont les
en-
de dimension
quotient dans C (X) par la relation d’équivalence engendrée par
déformation des complexes et addition de complexes acycliques, on obtient un groupe
abélien noté I~°(X) . C’est même un anneau, le produit étant défini à partir du
produit tensoriel des complexes. Une application continue de X dans F(H) définit canoniquement un objet de C~(X) réduit aux degrés 0 et 1 ;3 on obtient donc,
par passage au quotient, une application naturelle
(X , F(H)) -~ K(X) . Si X
est paracompact, le théorème de Kuiper entraine que
~pX est une bijection. Grâce à
cette bijection on peut munir F(H) d’une structure d’anneau à homotopie près
(l’addition s’interprétant comme la composition des opérateurs). D’autre part, la
catégorie C (X) contient la sous-catégorie C(X) des complexes de fibres de dimension finie. Passant au quotient dans C (X) par la relation d’équivalence engendrée par déformation des complexes et addition de complexes acycliques de C(X),
on obtient le groupe usuel
K(X) (tout au moins si X est paracompact). L’injection C (X) c C (X) définit par passage aux quotients un morphisme naturel
ix: K(X) -~ I~(X) . On démontre que si X est compact, iX est un isomorphisme,
l’isomorphisme inverse XX: I~(X) -~ K(X) correspondant, grosso modo, à une caractéristique d’Euler-Poincaré. On a donc finalement, pour tout X compact, un isomorphisme naturel
finie. Passant
au
.
les structures d’anneaux.
respectant
On laisse
avec
lecteur courageux le soin de s’assurer que cet
au
l’isomorphisme
construit à
partir
isomorphisme
coïncide
du corollaire ci-dessus.
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