Enchères, Bertsekas et Kantorovich

Enchères,
Bertsekas et
Kantorovich
Arnaud Moncet
Généralités sur le
problème
d’affectation
Algorithme
d’enchères
Problème de
transport optimal
discret
Annexe : Dualité
de Kantorovich
Enchères, Bertsekas et Kantorovich
Journées Louis Antoine
Arnaud Moncet
IRMAR
29 avril 2010

Enchères,
Bertsekas et
Kantorovich
Arnaud Moncet
Généralités sur le
problème
d’affectation
Algorithme
d’enchères
Problème de
transport optimal
discret
Annexe : Dualité
de Kantorovich
Plan
Généralités sur le problème d’affectation
Algorithme d’enchères
Problème de transport optimal discret
Annexe : Dualité de Kantorovich

Enchères,
Bertsekas et
Kantorovich
Arnaud Moncet
Généralités sur le
problème
d’affectation
Algorithme
d’enchères
Problème de
transport optimal
discret
Annexe : Dualité
de Kantorovich
Problème d’affectation (symétrique)
INpersonnes et Nobjets
Ivi,j:valeur de l’objet jpour la personne i(entier ≥0)
1
22
1 1
30
personnes objets
3
2
IOn cherche une affectation complète (bijection σentre
les pers. et les objets) qui maximise la valeur totale :
V(σ) := X
i
vi,σ(i)
IV∗:= valeur maximale

Enchères,
Bertsekas et
Kantorovich
Arnaud Moncet
Généralités sur le
problème
d’affectation
Algorithme
d’enchères
Problème de
transport optimal
discret
Annexe : Dualité
de Kantorovich
Exemple
1
22
1 1
30
personnes objets
3
2
IAffectations complètes optimales :
3
22
1 1
3
3
22
1 1
3
IValeur totale optimale : V∗=5

Enchères,
Bertsekas et
Kantorovich
Arnaud Moncet
Généralités sur le
problème
d’affectation
Algorithme
d’enchères
Problème de
transport optimal
discret
Annexe : Dualité
de Kantorovich
Problème dual
INouvelles variables pj∈R:prix de l’objet j
Iπi,j:= vi,j−pj:profit réalisé par la pers. iavec l’objet j
IProblème dual : trouver le min (pour p∈RN) de
D(p) := X
i
max
jπi,j+X
j
pj
=X
pers.
profits max +X
objets
prix
ID(p)≥V(σ)car :
D(p) = X
i
(max
jπi,j
| {z }
≥πi,σ(i)
+pσ(i))≥X
i
vi,σ(i)
Théorème (Kantorovich)
max
σ∈SN
V(σ) = min
p∈RND(p)