Thèse - Département de mathématiques

Thèse
présentée pour obtenir le titre de
docteur de l’université de Versailles St-Quentin-en-Yvelines
Spécialité :
Mathématiques
Représentations `-modulaires
des groupes p-adiques
Décomposition en blocs de la catégorie des représentations lisses
de GL(m, D), groupe métaplectique et représentation de Weil
Gianmarco Chinello
Soutenue le 7 Septembre 2015 devant le jury composé de :
Mme Corinne Blondel Université Paris Diderot Rapporteur
M. Jean-François Dat Université Pierre et Marie Curie Examinateur
M. Guy Henniart Université Paris Sud Examinateur
M. Benjamin Schraen Université de Versailles St-Quentin Examinateur
M. Vincent Sécherre Université de Versailles St-Quentin Directeur
M. Shaun Stevens University of East Anglia Rapporteur
Après avis des rapporteurs :
Mme Corinne Blondel Université Paris Diderot
M. Shaun Stevens University of East Anglia

Résumé
Cette thèse traite deux problèmes concernant la théorie des représentations `-modulaires
d’un groupe p-adique. Soit Fun corps local non archimédien de caractéristique résiduelle p
différente de `. Dans la première partie, on étudie la décomposition en blocs de la catégorie
des représentations lisses `-modulaires de GL(n, F )et de ses formes intérieures. On veut
ramener la description d’un bloc de niveau positif à celle d’un bloc de niveau 0(d’un autre
groupe du même type) en cherchant des équivalences de catégories. En utilisant la théorie
des types de Bushnell-Kutzko dans le cas modulaire et un théorème de la théorie des
catégories, on se ramene à trouver un isomorphisme entre deux algèbres d’entrelacement.
La preuve de l’existence d’un tel isomorphisme n’est pas complète car elle repose sur une
conjecture qu’on énonce et qui est prouvée pour plusieurs cas. Dans une deuxième partie
on généralise la construction du groupe métaplectique et de la représentation de Weil dans
le cas des représentations sur un anneau intègre. On construit une extension centrale du
groupe symplectique sur Fpar le groupe multiplicatif d’un anneau intègre et on prouve
qu’il satisfait les mêmes propriétés que dans le cas des représentations complexes.
`-modular representations of p-adic groups
Block decomposition of the category of smooth representations of GL(m, D),
metaplectic group and Weil representation
Abstract
This thesis focuses on two problems on `-modular representation theory of p-adic groups.
Let Fbe a non-archimedean local field of residue characteristic pdifferent from `. In the
first part, we study block decomposition of the category of smooth modular representa-
tions of GL(n, F )and its inner forms. We want to reduce the description of a positive-level
block to the description of a 0-level block (of a similar group) seeking equivalences of ca-
tegories. Using the type theory of Bushnell-Kutzko in the modular case and a theorem of
category theory, we reduce the problem to find an isomorphism between two intertwining
algebras. The proof of the existence of such an isomorphism is not complete because it
relies on a conjecture that we state and we prove for several cases. In the second part we
generalize the construction of metaplectic group and Weil representation in the case of
representations over un integral domain. We define a central extension of the symplectic
group over Fby the multiplicative group of an integral domain. We prove that it satisfies
the same properties as in the complex case.

Remerciements
Tout d’abord je tiens vraiment à exprimer mes remerciements les plus profonds à mon
directeur, Vincent Sécherre, pour la confiance qu’il m’a accordée en acceptant de diriger
mon mémoire de Master 2 et puis cette thèse de doctorat. Pendant ces quatre ans et demi
il m’a appris, avec beaucoup de patience, ce qu’était la recherche et son œil critique m’a
été très précieux pour améliorer la clarté de l’exposition et la rigueur des démonstrations.
Je lui suis reconnaissant pour toutes les heures qu’il a consacrées à ma recherche, pour tous
ses conseils, ses remarques et ses critiques constructives sur ce travail. Sans sa disponibilité
cette thèse n’aurait jamais pu voir le jour.
Mes remerciements vont également à Shaun Stevens et Corinne Blondel pour avoir ac-
cepté l’immense travail de relire cette thèse, malgré le délai serré, et d’en être rapporteurs.
Je souhaite remercier aussi Jean-François Dat, Guy Henniart et Benjamin Schraen pour
l’honneur qu’ils me font d’être dans mon jury de thèse et d’être présents à ma soutenance.
Ma thèse s’est déroulée au sein du Laboratoire de Mathématiques de Versailles et je
voudrais adresser mes remerciements à tous ces membres. Je remercie particulièrement
Yvan Martel, le directeur lors de mon arrivée, et Catherine Donati-Martin, la directrice
actuelle, pour m’avoir accueilli au sein du laboratoire le premier et au conseil de labo la
deuxième. Puis, mes remerciements vont aussi à Laure Frèrejean et à Nadège Arnaud, la
gestionnaire et la bibliothécaire du laboratoire. J’aimerais remercier aussi les directeurs
du département de mathématiques, Otared Kavian avant et Laurent Dumas après, qui
m’ont permis d’enseigner pendant ces ans de doctorat malgré mon français (pas du tout
parfait). Merci aussi à Liliane Roger secrétaire du département pour son efficacité et sa
gentillesse.
Je remercie sincèrement toute l’équipe d’Algèbre et Géométrie, dont je fais partie, et
surtout le directeur Vincent Cossart et les organisateurs du séminaire, Benjamin et Maria,
qui m’ont permis de présenter plusieurs fois mes travaux.
Merci à Anis, Antoine, Aurélien, Benedetta, Benjamin, Bernd, Camilla, Cécile, Jérémy,
Jimena, Jonas, Loïc, Sadaka, Tamara, Venket et à tous les autres doctorants/ATER/post-
doc que j’ai rencontrés pendant ces 4 ans à Versailles pour les nombreux bons moments
passés ensemble. Mais surtout un grand merci à Daniele avec qui j’ai passé trois belles
années en colocation et avec qui j’ai écrit mon premier article de recherche.