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Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
Remise à Niveau Mathématiques
Troisième partie : Trigonométrie
Cours
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RAN3 – Trigonométrie – Cours - Rev 2013
Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
1 TRIGONOMETRIE
3
1.1 APPROCHE HISTORIQUE
3
1.2 DEFINITIONS PREMIERES
4
1.3 QUELQUES FORMULES DE TRIGONOMETRIE
7
1.4 EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES
12
2 APPLICATIONS A LA GEOMETRIE DU TRIANGLE
17
2.1 TRIANGLE ET CERCLE
17
2.2 RELATIONS METRIQUES ET TRIGONOMETRIQUES DANS LE TRIANGLE RECTANGLE
20
2.3 RELATIONS METRIQUES ET TRIGONOMETRIQUES DANS LE TRIANGLE QUELCONQUE
22
3 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
23
3.1 GENERALITES SUR LES FONCTIONS SIN, COS, TAN
23
3.2 FONCTIONS RECIPROQUES
27
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Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
1 Trigonométrie
1.1 Approche historique
La civilisation Sumérienne est considérée à ce jour comme celle qui, la première (4ème millénaire),
inventa et mit en place un système d’écriture et de calcul, utilisant l’écriture cunéiforme. On y
comptait en base 60, avec pour raison principale que ce nombre se découpe de nombreuses
façons en parts entières égales. On dirait aujourd’hui que 60 possède un grand nombre de
diviseurs : 60, 30, 20, 15, 12, 10, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
Les civilisations Akkadienne puis Araméenne, qui lui succédèrent, reprirent le système de
numération de Sumer. On trouve à la période des 17e–15e siècles avant JC la division du cercle en
360 parties pour obtenir le degré (o) qui est une unité bien adaptée à la mesure des angles
(mesures astronomiques, principalement). Entre les 15e et 8e siècles avant JC, la longueur de
l'année était décrétée à 360 jours, d'après différents écrits.
On voit apparaître chez les astronomes grecs de l’antiquité la notion de tangente d’un angle, dans
l’expression de certains types de calculs. Parallèlement, les mathématiciens envisagent la
géométrie du triangle (plan ou sphérique) sous l’aspect de relations à déterminer entre des angles
et des longueurs : naissance de la trigonométrie (du grec tri-gônas : trois-angle) plane et
sphérique. Les notions de lignes trigonométriques - sinus, cosinus, tangente, cotangente – seront
développées ensuite par les astronomes arabes du haut Moyen Age et des tables de valeurs
seront formées.
Ces travaux se poursuivent activement jusqu'au 18e siècle puis débordent de la géométrie (Euler,
Fourier, Laplace, …) avec l’étude des fonctions trigonométriques.
La trigonométrie dont il sera question ici est la "Trigonométrie plane".
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1.2 Définitions premières
1.2.1 Le nombre π
Initialement, π était défini comme un rapport de grandeurs, celui de l'aire intérieure d'un cercle à
celle du carré construit sur son rayon ou, peu de temps après, comme le rapport du périmètre
d’un cercle à son diamètre. Il n’était pas du tout évident qu’ils ne dépendent pas de la taille du
cercle considéré et soient donc une constante mathématique, et encore moins évident que ces
deux rapports soient égaux (mais on le soupçonnait fortement) !
La lettre pi a été choisie par les grecs en tant qu’initiale de « périmètre » (et on comprend que
Pythagore l’ait adoptée et transmise, entre 550 et 500 avant JC). C’est Archimède qui, au 3e siècle
avant JC, a prouvé que les rapports mentionnés au paragraphe précédent étaient indépendants du
rayon du cercle considéré et qu’ils étaient égaux entre eux.
L'irrationalité de π fut prouvée en 1761 par le Suisse Lambert.
Sa transcendance sera, elle, démontrée en 1882 par l'Allemand Lindemann.
Le calcul d’une valeur approchée de π est une histoire qui remonte aux temps les plus anciens.
De nombreuses méthodes (géométriques ou analytiques) existent pour affiner sa connaissance.
Dans l’antiquité, certains utilisaient la valeur 3, d’autres 3,125 (Babyloniens) ou 3,15 (Egyptiens,
plus tard) ou le rapport 22/7…
En 1999, MM. Kanada et Takahashi ont donné π avec 206 milliards de décimales ; aujourd’hui, on
a dépassé les 2000 milliards de décimales et ce n'est pas fini…
Un tableur donnera π = 3,141592653589793. Dans la pratique, on prend la valeur π = 3,1416.
1.2.2 Le radian
Le degré d’angle présente un inconvénient majeur en sciences : c’est une unité.
Les applications des angles et des lignes trigonométriques sont très présentes en physique
(mécanique, électricité, traitement du signal, etc.) et pour inclure ces notions dans des formules
sans avoir à les agrémenter de conversions, il faut une mesure d’angles sans unités. Le problème
se pose également en mathématiques : l’étude de fonctions trigonométriques, de leurs primitives
et dérivées, l’établissement d’un développement limité, où la variable est un angle, impose la
même contrainte.
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On décide donc d’exprimer un angle comme le rapport de deux longueurs : plaçons-nous sur un
cercle ; un angle est caractérisé par un secteur angulaire, et sa mesure sera le rapport de la
longueur de l’arc par le rayon du cercle. Ainsi, cette mesure s’exprimera sans unité puisque c’est
un rapport mètre/mètre, et on dira qu’on a exprimé l’angle en radians.
Cette définition de la mesure d’un angle α peut être visualisée sur un cercle de rayon 1 (d’unité
sans importance) où la valeur de α en radians sera définie par la longueur de l’arc AM
correspondant :
M
1
Arc AM = α radians
α
A
1
Un angle de 1 radian est donc caractérisé par un arc dont la longueur vaut exactement le rayon du
cercle.
Un angle d’un tour complet vaut, en radians, 2πR/R, soit 2π.
1 tour = 2π rad
Correspondances radians/tours/degrés/grades:
tours
0
1/12
1/8
1/6
1/4
1/3
1/2
3/4
1
radians
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/2
2π
degrés
0
30
45
60
90
120
π
180
270
360
grades
0
200
300
400
50
Le degré se divise en minutes (’) et secondes (’’) d’arc :
100
60’’ = 1’ et 60’ = 1°
Par exemple : 5,73° = 5°43’48’’
(0,73° × 60 = 43,8’ et 0,8’× 60 = 48’’)
Le grade se divise de façon décimale : décigrade (dgr), centigrade (cgr), milligrade (mgr), etc.
Il est rarement utilisé (parfois en topographie) et tend à être abandonné.
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1.2.3 Le cercle trigonométrique
Pour disposer d’un outil de base performant, on place notre cercle de rayon 1 au centre d’un
repère (O,(Ox),(Oy)) et on le munit d’un sens direct de rotation (le signe + de la figure ci-dessous),
arbitraire. Les angles sont alors orientés : en tournant dans le sens direct, on leur attribuera une
valeur positive, et négative dans l’autre sens.
A tout point M du cercle correspondra, outre son couple (x, y) de coordonnées, l’angle de vecteurs
(OA, OM ) , noté α :
1.2.4 Mesure principale et Modulo
A un point M fixé correspond en fait une infinité de valeurs pour l’angle α. En effet, pour aller de A
vers M, on peut faire n’importe quel nombre de tours complets, dans un sens ou dans l’autre,
avant d’arriver à destination.
On doit donc écrire : α = αp + k.2π, où :
* k est un entier relatif quelconque ;
* le choix de la valeur αp se fera dans l’intervalle [0 ; 2π[ : c’est la longueur de l’arc AM, en
tournant dans le sens direct ; αp sera dénommé mesure principale de α.
On écrira aussi : α = αp [2π], et on lira « alpha p modulo 2 pi ».
Dans la figure ci-dessus, la mesure principale de l’angle représenté vaut environ π/6.
Cependant, un angle de π/6 + 2π, π/6 + 6π, π/6 - 2π, π/6 - 12π, etc. sera représenté par le
même point M.
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1.2.5 Lignes trigonométriques d’un angle
Soit un point M du cercle trigonométrique.
Par définition :
sin(α) = yM
cos(α) = xM
le sinus de α est l’ordonnée de M :
son cosinus est l’abscisse de M :
tan (α ) =
sa tangente est le rapport des deux :
sin (α )
cos (α )
* il s’agit donc de la pente du segment [OM]
* tan(α) existe pour α différent de π/2 + kπ.
cotan (α ) =
sa cotangente est l’inverse :
cos (α )
1
=
tan (α ) sin (α )
* cotan(α) existe pour α différent de kπ.
Conséquence : sinus et cosinus d’un angle variable sont des valeurs qui parcourent [-1 ; 1].
Valeurs pour quelques angles remarquables :
1.3 Quelques formules de trigonométrie
1.3.1 Relations immédiates
Quelle que soit la position du point M, le théorème de Pythagore montre immédiatement que :
2
2
cos (α ) + sin (α ) = 1
D’où les relations :
1
cos (α ) =
1 + tan 2 (α )
2
tan 2 (α )
sin (α ) =
1 + tan 2 (α )
2
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1.3.2 Relations de symétrie
On donnera ici les formules relatives au sinus et cosinus.
Les conséquences sur tangente et cotangente en découlent par définition.
Angles opposés
Angle dont la différence vaut π
cos(-α
α) = cos(α
α) ; sin(-α
α) = -sin(α
α)
cos(π+
π+α
α) ; sin(π+
π+α
α)
π+α) = -cos(α
π+α) = -sin(α
Angles supplémentaires (somme = π)
Angles complémentaires (somme = π/2)
cos(π−
π−α
α) ; sin(π−
π−α
α)
π−α) = -cos(α
π−α) = sin(α
cos(π/2−
π/2−α
α) ; sin(π/2−
π/2−α
α)
π/2−α) = sin(α
π/2−α) = cos(α
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Angles dont la différence vaut π/2
cos(π
π/2+α
α) = -sin(α
α) ; sin(π
π/2+α
α) = cos(α
α)
Ces relations se retrouvent aisément à l’aide d’un rapide schéma, il n’est pas utile de les retenir
par cœur. Elles sont valables quelle que soit la valeur de α.
1.3.3 Formules d’addition et d’angle double
Les formules d’Euler, liant cosinus et sinus à des exponentielles complexes, que l’on verra en cours
dans le chapitre traitant des nombres complexes, permettent d’établir que :
cos(α+β) = cos(α)cos(β) – sin(α)sin(β)
sin(α+β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)
tan (α + β ) =
tan (α ) + tan ( β )
1 − tan (α ) tan ( β )
Les formules de soustraction en découlent, en remplaçant β par –β :
cos(α−β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)
sin(α−β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β)
tan (α − β ) =
tan (α ) − tan ( β )
1 + tan (α ) tan ( β )
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Dans le cas où α = β, les formules d’addition deviennent celles de l’angle double :
cos(2α) = cos²(α) – sin²(α)
sin(2α) = 2sin(α)cos(α)
tan ( 2α ) =
2 tan (α )
1 − tan 2 (α )
2
2
De plus, la relation cos (α ) + sin (α ) = 1 permet de compléter :
cos(2α) = cos²(α) – sin²(α) = 2cos²(α) – 1 = 1 – 2sin²(α)
Il est utile d’en passer par là lorsque, par exemple, on souhaite calculer l’intégrale du carré d’un
cosinus ou d’un sinus.
1.3.4 Formules utilisant le demi-angle
Lignes trigonométriques du demi-angle :
On peut en établir à partir des dernières égalités ci-dessus :
1 + cos (α )
α 
cos   = ±
2
2
1 − cos (α )
α 
; sin   = ±
2
2
1 − cos (α )
α 
; tan   = ±
1 + cos (α )
2
Formules utilisant la tangente du demi-angle :
α 
Posons tan   = t .
2
α 
α 
2 sin   cos  
α
α
 
 
2
 2  , et en simplifiant par cos2  α  :
On a : sin (α ) = 2 sin   cos   =
 
2
 2  sin 2  α  + cos2  α 
2
 
 
2
2
sin (α ) =
2t
1 + t2
De par le même principe, nous obtenons : cos (α ) =
1 − t2
2t
et donc tan (α ) =
où l’on
2
1+t
1 − t2
reconnaît la formule de la tangente de l’angle double établie au point 1.3.3.
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1.3.5 Formules de transformation
On veut transformer en produit : sin(α) ± sin(β) et cos(α) ± cos(β).
Les formules d’addition et de soustraction du sinus permettent d’écrire :
sin(α+β) + sin(α−β) = 2sin(α)cos(β) et sin(α+β) − sin(α−β) = 2cos(α)sin(β)
Utilisons les notations suivantes : α+β = p et α−β = q. Donc : α =
p+q
2
et β =
p−q
2
Nous obtenons :
 p+q 
 p−q 
 p+q   p−q 
sin ( p ) + sin ( q ) = 2 sin 
 cos 
 et sin ( p ) − sin ( q ) = 2 cos 
 sin 

 2 
 2 
 2   2 
Le même principe appliqué au cosinus donne :
 p+q 
 p−q 
 p+q   p−q 
cos ( p ) + cos ( q ) = 2 cos 
 cos 
 et cos ( p ) − cos ( q ) = −2 sin 
 sin 

 2 
 2 
 2   2 
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1.4 Equations trigonométriques
Une équation trigonométrique fait figurer au moins une ligne trigonométrique d’un angle
dépendant de l’inconnue, que l’on notera ici x.
Attention : si on est amené à « visualiser » une équation simple en s’aidant du cercle
trigonométrique, alors on ne doit pas oublier que l’inconnue x est un angle et non une abscisse ;
on ne doit pas oublier non plus le modulo aux réponses que l’on apporte…
1.4.1 Equation invariante lorsqu'on change x en –x
On posera u = cos(x) ; u deviendra notre nouvelle inconnue, avec u ≤ 1.
Exemple : Résolution de l'équation
1
+ sin 2 ( x ) − 2 cos ( x ) = 0
1 + tan 2 ( x )
L’application de formules donne : cos2 ( x ) + 1 − cos2 ( x ) − 2 cos ( x ) = 0 , soit 1 − 2u = 0 .
Le changement de variable ne s’impose pas ici, mais la réflexion donnée en titre nous a aiguillés
sur le fait que tout pouvait être écrit assez simplement en fonction de cos(x).
L’équation montre alors que cos(x) = u = 1/2.
Attention à ne pas oublier de solutions : on visualise les angles de cosinus 1/2 sur le cercle
trigonométrique et on cite tous les réels égaux à ces valeurs modulo 2π.
Les solutions sont : x = π/3 + 2kπ ou x = -π/3 + 2kπ , k entier relatif quelconque.
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1.4.2 Equation invariante lorsqu'on change x en π – x
On posera u = sin(x) ; u deviendra notre nouvelle inconnue, avec u ≤ 1.
Exemple : Résolution de l'équation : cos(2x) + 11sin(x) + 5 = 0.
L’application de formules donne : 1 – 2sin²(x) + 11sin(x) + 5 = 0, soit –2u² + 11u + 6 = 0.
Cette équation du second degré a pour discriminant : ∆ = 11² - 4.(-2).6 = 169 = 13², positif.
L’équation admet deux solutions réelles : u1 = (-11-13)/(-4) = 6 et u2 = (-11+13)/(-4) = -1/2.
Seule la seconde peut nous convenir, puisque u est un sinus ( u ≤ 1 ).
Attention à ne pas oublier de solutions : on visualise les angles de sinus -1/2 sur le cercle
trigonométrique et on cite tous les réels égaux à ces valeurs modulo 2π.
Les solutions sont : x = -π/6 + 2kπ ou x = 7π/6 + 2kπ , k entier relatif quelconque.
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1.4.3 Equation invariante lorsqu'on change x en π + x
On posera u = tan(x) ; u deviendra notre nouvelle inconnue, avec u réel quelconque.
Exemple : Résolution de l'équation :
(
)
(
)
3 − 1 cos2 ( x ) − 1 + 3 sin ( x ) cos ( x ) + 1 = 0 .
Divisons tout par cos²(x), après avoir remarqué que cos(x) = 0 ne peut vérifier l’équation (ce n’est
sin ( x )
1
pas une situation qui mènera à des solutions) : 3 − 1 − 1 + 3
+
=0.
cos ( x ) cos2 ( x )
(
L’application de formules donne :
(
)
(
)
)
3 − 1 − 1 + 3 tan ( x ) + 1 + tan 2 ( x ) = 0 ⇔ u2 − 1 + 3 u + 3 = 0 .
Cette équation du second degré a pour discriminant :
(
)
2
(
)
3 ) − (1 − 3 )
=
2
∆ = 1 + 3 − 4 3 = 4 − 2 3 = 1 − 3 , positif.
Deux solutions réelles : u1 =
(1 +
2
3 et u2 =
(1 + 3 ) + (1 − 3 ) = 1 .
2
Les solutions sont : x = π/4 + kπ ou x = π/3 + kπ , k entier relatif quelconque.
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1.4.4 Résolution des équations en utilisant les formules de transformation
A appliquer dans des équations utilisant des angles multiples.
Exemple : sin(x) + sin(3x) + sin(4x) + sin(6x) = 0
 4x 
 2x 
On remarque que
sin ( x ) + sin ( 3x ) = 2 sin   cos   = 2 sin ( 2 x ) cos ( x )
 2 
 2 
 10 x 
 2x 
sin ( 4 x ) + sin ( 6 x ) = 2 sin 
et que
 cos   = 2 sin ( 5x ) cos ( x ) .
 2 
 2 
L’équation revient donc à : cos ( x ) ( sin ( 2 x ) + sin ( 5x ) ) = 0 , et en appliquant à nouveau une
 7x 
 3x 
formule de transformation : cos ( x ) sin   cos   = 0 .
 2 
 2 
Un angle de cosinus nul vaut π/2 + kπ, un angle de sinus nul vaut kπ.
Les solutions sont donc :
x = π/2 + kπ, ou 3x/2 = π/2 + kπ, ou 7x/2 = kπ, ce qui donne :
x = π/2 + kπ
π, ou x = π/3 + k.2π
π/3, ou x = k.2π
π/7 .
Il serait fastidieux de tout représenter sur le cercle trigonométrique. L’utilisation d’un tableur
permet de vérifier chaque solution (du moins leurs mesures principales) :
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1.4.5 Résolution par la méthode générale
x
Lorsque les méthodes précédentes sont inapplicables, on peut poser : t = tan  
2
et utiliser les formules donnant sin(α), cos(α), tan(α) en fonction de t.
( x ≠ π + 2kπ )
Attention à étudier à part les possibilités que x soit égal à π + 2kπ.
Cette méthode est notamment utile pour les équations du type : a.sin(x) + b.cos(x) = c.
Exemple : Résoudre l'équation :
3 cos ( x ) − sin ( x ) = 1
On envisage ce changement de variable, mais on étudie au préalable le cas π + 2kπ :
dans ce cas le cosinus vaut –1 et le sinus 0, ce qui ne vérifie pas l’équation. Donc π + 2kπ n’est pas
une solution.
Cette équation devient :
1 − t2
2t
3
−
=1 ⇔
2
1 + t 1 + t2
(
)
3 − 3t 2 − 2t − 1 − t 2
=0
1 + t2
⇔ − 1 + 3 t 2 − 2t − 1 + 3 = 0 ⇔
Son discriminant vaut 12, positif.
Deux solutions réelles : t1 =
(
2
+ 2t + 1 − 3 = 0
( −1 + 3 )(1 − 3 ) = 2 −
3 ) (1 + 3 )(1 − 3 )
−2 + 2 3
2 1+
(1 + 3 ) t
=
3 et t2 =
−2 − 2 3
(
2 1+ 3
)
= −1 .
La première se trouve être la tangente de π/12 + kπ, et la seconde est celle de –π/4 + kπ.
Ainsi, x/2 = π/12 + kπ ou x/2 = –π/4 + kπ
et donc x = π/6 + 2kπ ou x = –π/2 + 2kπ
Vérifions : dans le premier cas, cos(x) = √3/2 et sin(x) = 1/2, ce qui vérifie l’équation ;
dans le second cas, cos(x) = 0 et sin(x) = -1, ce qui vérifie l’équation.
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Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
2 Applications à la géométrie du triangle
2.1 Triangle et cercle
2.1.1 Propriété de l’angle au centre
Soit un cercle de centre O et deux points A et B fixés sur ce cercle.
Le segment [AB] est une corde du cercle. Il forme avec le sommet O l’angle au centre αO.
Soit un point M du cercle, autre que A ou B, situé du même côté que O par rapport à la droite (AB).
[AB] forme avec le sommet M l’angle inscrit (inscrit dans le cercle) αM.
Alors l’angle au centre vaut le double de l’angle inscrit :
Remarque 1 : dans le cas où M se trouverait de l’autre côté de (AB) par rapport au point O,
on aurait : α M = π −
αO
2
.
Remarque 2 : cette formule se démontre aisément si l’on utilise le fait que la somme des angles
d’un triangle vaut π et le fait que le triangle AOB est isocèle en O, mais aussi MOB et MOA.
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Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
2.1.2 Propriété de l’angle inscrit
Il découle de la propriété précédente que : si M, N, P sont des points quelconques du cercle, situés
du même côté de (AB), alors leurs angles inscrits sont égaux.
S’ils sont situés de part et d’autre de la corde [AB], alors leurs angles inscrits sont supplémentaires.
Cette propriété entraîne l’équivalence suivante :
Un quadrilatère est inscrit dans un cercle ⇔ Ses angles aux sommets opposés sont
supplémentaires
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Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
2.1.3 Cas particulier où [AB] est un diamètre
L’angle au centre vaut ici π : c’est un angle plat.
Ceci implique que l’angle inscrit, valant la moitié, est un angle droit :
Au vu de la remarque 1 précédente, l’angle inscrit sera droit aussi pour tout point M situé de
l’autre côté de (AB).
Il en découle également que :
* Le cercle de diamètre [AB] peut être défini comme l’ensemble des points M formant avec eux un
angle droit, auquel on rajoute A et B eux-mêmes ;
* Tout point P est extérieur au cercle si, et seulement s’il forme avec [AB] un angle inférieur à π/2 ;
* Tout point P est intérieur au cercle si, et seulement s’il forme avec [AB] un angle supérieur à π/2 .
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2.2 Relations métriques et trigonométriques dans le triangle
rectangle
2.2.1 Relations métriques
On donne un triangle MAB rectangle en M et on place H, projeté orthogonal de M sur [AB].
* Cette construction montre que les triangles HAM, HMB et MAB sont semblables, c’est à dire que
leurs angles sont égaux deux à deux, ce qui équivaut à dire que leurs côtés sont proportionnels.
Traduction : HAM est un « modèle réduit » de HMB, lui-même « modèle réduit » de MAB.
Signification métrique :
HA HM MA
HA HM MA
et
, par exemple.
=
=
=
=
HM HB MB
AM MB AB
* De cette constatation découlent les formules suivantes :
MA² = AH.AB ; MB² = BH.BA ; et en les ajoutant membre à membre, on a : MA² + MB² = AB².
Cette dernière est la relation établie dans la propriété de Pythagore.
Une propriété est une équivalence : elle énonce la véracité d’un théorème (une implication) et
celle de sa réciproque.
Théorème de Pythagore :
Si MAB est un triangle rectangle en M, alors MA² + MB² = AB².
Réciproque :
Si, dans un triangle MAB, on a la relation MA² + MB² = AB², alors il est rectangle en M.
On a aussi : MH² = HA.HB et encore MA.MB = MH.AB , qui est compatible avec le fait que l’aire
d’un triangle est la moitié du produit base×hauteur.
* Citons enfin la relation de la médiane : OA = OB = OM (O, milieu de [AB]), directement issu du
lien existant entre triangle rectangle et cercle.
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RAN3 – Trigonométrie – Cours - Rev 2013
Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
2.2.2 Relations trigonométriques
Le côté opposé à l’angle droit est le plus grand. Il se nomme hypoténuse.
Choisissons l’angle Â. Son côté opposé est MB et, outre l’hypoténuse, son côté adjacent est MA.
( )
On a : cos  =
MA
MB
MB
; sin ( Â ) =
; tan ( Â ) =
,
AB
AB
MA
que l’on peut retenir par l’acronyme SOHCAHTOA :
Sinus=Opposé/Hypoténuse, Cosinus=Adjacent/Hypoténuse, Tangente=Opposé/Adjacent
On peut aussi remarquer que les angles aux sommets A et B sont complémentaires (leur somme
vaut π/2) et qu’ainsi le sinus de l’un est égal au cosinus de l’autre.
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RAN3 – Trigonométrie – Cours - Rev 2013
Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
2.3 Relations métriques et trigonométriques dans le triangle
quelconque
On a cette fois-ci un triangle quelconque ABC, avec des notations données par la figure :
Relation d’Al-Kashi :
a2 = b2 + c 2 − 2bc.cos ( A^ )
Relation des sinus :
a
b
c
=
=
= 2R
sin ( A^ ) sin ( B^) sin ( C^ )
où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle (contenant A, B et C).
Aire du triangle :
formule « classique » :
A
1
= bc.sin ( A^ )
2
formule de Héron :
A
= p ( p − a )( p − b )( p − c )
où p est le demi-périmètre du triangle, à calculer au préalable.
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RAN3 – Trigonométrie – Cours - Rev 2013
Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
3 Fonctions trigonométriques
3.1 Généralités sur les fonctions sin, cos, tan
On schématise les fonctions trigonométriques, ou circulaires, sinus, cosinus et tangente :
π

tan : ℝ −  + kπ , k ∈ ℤ  → ℝ
sin : ℝ → [ −1 ; 1]
cos : ℝ → [ −1 ; 1]
;
;
.
2

x ֏ sin ( x )
x ֏ cos ( x )
x
֏ tan ( x )
3.1.1 Périodicité et domaine d’étude
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques, de période 2π
π. En effet, 2π est le plus petit réel T
positif tel que pour tout réel x, sin(x + T) = sin(x) et cos(x + T) = cos(x).
On pourra donc étudier les fonctions sin et cos sur [0 ; 2π[.
Pour la tangente, le point 1.3.2 de ce document nous montre que tan(x + π) = tan(x) et on admettra
que la fonction tan est de période π. On étudiera la fonction tan sur ]-π/2 ; π/2[.
3.1.2 Parité
Les constatations faites dans ce point 1.3.2 établissent que les fonctions sin et tan sont impaires et
que la fonction cos est paire.
On pourrait alors restreindre les domaines d’étude cités ci-dessus en utilisant ces propriétés de
symétries, mais nous ferons le choix ici de les conserver.
3.1.3 Dérivées et sens de variation
On admettra ici que :
sin′ ( x ) = cos ( x )
et
cos′ ( x ) = − sin ( x ) .
Dériver la fonction tan revient à dériver un quotient, et nous obtenons :
tan′ ( x ) =
1
= 1 + tan 2 ( x )
2
cos ( x )
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Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
Il est donc aisé de connaître le signe de ces dérivées sur les intervalles d’étude, d’où les tableaux
de variations qui suivent.
3.1.4 Représentations graphiques
y = sin(x)
y = cos(x)
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Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
y = tan(x)
3.1.5 Fonctions composées
Dans la pratique, on a souvent affaire à des fonctions de type f : x ֏ sin ( u ( x ) ) . On trouvera aussi
bien un cosinus qu’un sinus, d’ailleurs.
Nous nous en tiendrons ici à un cas particulier, celui où u est une fonction affine :
f : x ֏ sin ( ax + b ) ou f : x ֏ cos ( ax + b ) .
Périodicité :
Pour retrouver de façon cyclique les mêmes valeurs de f, il faut que ax + b soit augmenté de 2π
(période du sinus et du cosinus).
Or ax + b + 2π = a(x + 2π/a) + b. Ainsi, pour tout réel x, f(x + 2π/a) = f(x).
π/|a|.
Ces fonctions f sont donc périodiques, de période 2π
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RAN3 – Trigonométrie – Cours - Rev 2013
Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
Dérivée :
La dérivation de fonctions composées a été vue dans le document n°2 sur les fonctions et sera
retravaillée dans le chapitre « Dérivées et différentielles ». Nous noterons ici que :
Si f ( x ) = sin ( ax + b ) , alors f ′ ( x ) = a.cos ( ax + b )
et si f ( x ) = cos ( ax + b ) , alors f ′ ( x ) = −a.sin ( ax + b ) .
Exemple :
En électricité, on décrit la valeur d’une intensité sinusoïdale i en fonction du temps t par :
i ( t ) = I0 .sin (ωt + ϕ ) , qui oscille entre -I0 et I0.
ω est appelé pulsation du signal. C’est sa vitesse d’oscillation, en rad.s-1.
La période du signal est T = 2π
π/ω, en secondes : durée entre deux maxima de i.
La fréquence, F ou ν, est l’inverse de la période : ω/2π
π, en s-1 ou Hz : nombre de maxima par
seconde.
π

Application numérique et représentation graphique : soit i ( t ) = 0, 2.sin  100πt +  .
3

Sa période vaut 0,02 s et sa fréquence est 50 Hz.
i (t )
i ( 0 ) = 0, 1 3
T = 0, 02 s
ϕ / ω = 1 / 300
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Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
3.2 Fonctions réciproques
3.2.1 Définition
On cherche ici à donner la valeur de l’angle qui correspond à tel sinus ou tel cosinus ou encore
telle tangente.
Un angle se dénomme également arc et c’est pourquoi les fonctions réciproques de sin, cos et tan
sont respectivement notées arcsin (« arc-sinus »), arccos (« arc-cosinus ») et arctan (« arctangente »).
Par exemple, l’arc dont le sinus vaut 1/2 est π/6, que l’on note arcsin(1/2) = π/6 ;
ou encore : l’arc dont la tangente vaut 1 est π/4 : arctan(1) = π/4.
Un problème se pose : il y a d’autres angles que π/6 dont le sinus vaut 1/2, d’autres angles que π/4
dont la tangente vaut 1, mais si on veut donner le statut de fonction à arcsin, arccos et arctan, il
faut qu’une valeur de sa variable ne possède qu’une seule image, ni plus, ni moins.
Les ensembles d’arrivée de ces fonctions seront donc réduits à la portion congrue, nécessaires et
suffisants :
 π π
arcsin : [ −1 ; 1] →  − ; 
 2 2
x ֏ arcsin ( x )
;
arccos : [ −1 ; 1] → [ 0 ; π]
x ֏ arccos ( x )
;
 π π
arctan : ℝ →  − ; 
 2 2 .
x ֏ arctan ( x )
Attention : les solutions de l’équation sin(y) = x sont en fait, si on note ϕ = arcsin(x) :
y = ϕ + 2k π et y = π − ϕ + 2kπ avec k ∈ ℤ ,
et pour un cosinus : les solutions de l’équation cos(y) = x sont, si on note ϕ = arccos(x) :
y = ϕ + 2k π et y = −ϕ + 2kπ avec k ∈ ℤ .
Pour l’équation tan(y) = x , si on note ϕ = arctan(x), les solutions seront :
y = ϕ + kπ avec k ∈ ℤ , la fonction tan étant π-périodique
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Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
3.2.2 Dérivées et sens de variations
Dériver une fonction réciproque lorsque l’on connaît la fonction de départ est aisé. La méthode a
été vue dans le document précédent de Remise A Niveau et sera à nouveau vue en cours (chapitre
« Dérivées et différentielles »). On admettra ici que (mais tentez de le retrouver) :
1
1
1
arcsin ′ ( x ) =
; arccos′ ( x ) = −
; arctan ′ ( x ) =
.
1 + x2
1 − x2
1 − x2
arcsin et arctan sont donc des fonctions strictement croissantes et arccos est strictement
décroissante, sur leurs domaines respectifs.
3.2.3 Représentations graphiques
y = arcsin(x)
y = arccos(x)
y = arctan(x)
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Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
Remise à Niveau Mathématiques
Troisième partie : Trigonométrie
Exercices
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Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
1 TRIGONOMETRIE
3
1.1 APPROCHE HISTORIQUE
3
1.2 DEFINITIONS PREMIERES
3
1.3 QUELQUES FORMULES DE TRIGONOMETRIE
3
1.4 EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES
5
2 APPLICATIONS A LA GEOMETRIE DU TRIANGLE
6
2.1 TRIANGLE ET CERCLE
6
2.2 RELATIONS METRIQUES ET TRIGONOMETRIQUES DANS LE TRIANGLE RECTANGLE
6
2.3 RELATIONS METRIQUES ET TRIGONOMETRIQUES DANS LE TRIANGLE QUELCONQUE
7
3 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
10
3.1 GENERALITES SUR LES FONCTIONS SIN, COS, TAN
10
3.2 FONCTIONS RECIPROQUES
11
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Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
1 Trigonométrie
1.1
Approche historique
1.2 Définitions premières
1.2.1 Placer sur le cercle trigonométrique les points correspondant aux angles suivants :
2π
5π
7π
29 π
;
;
;
;
3
8
6
3
−27π
4
1.2.2 Donner les mesures principales de :
29π −27π
;
3
4
1.2.3
Soit n un entier. Donner la valeur exacte du cosinus et du sinus de : 2nπ ; (2n+1)π ;
π
+ 2nπ.
4
1.2.4
Déterminer les cosinus et sinus des arcs ci-dessous en les ramenant à des valeurs plus faibles :
11π 19π
21π 31π
;
;−
;
(mesure principale ou dans ]-π ; π], puis transformation, si besoin).
6
3
4
6
2 sin ( x ) − 5 cos ( x )
1.2.5 On donne tan(x) = 3, calculer :
.
sin ( x ) + 3 cos ( x )
1.2.6 Exprimer la relation suivante en fonction de tan(x) :
2 sin 2 ( x ) + 3 sin ( x ) cos ( x ) − cos2 ( x )
sin 2 ( x ) − sin ( x ) cos ( x ) + 2 cos2 ( x )
1.2.7
Montrer que l'expression sin6(x) + cos6(x) + 3sin2(x)cos2(x) a une valeur indépendante de x en
calculant cette valeur.
1.3 Quelques formules de trigonométrie
1.3.1
Vérifier que les points A(0,6 ; -0,8) et B(5/13 ; 12/13) appartiennent au cercle trigonométrique.
1.3.2
Sachant que 0 < t <
π
1
et sin t = ; calculer cos t .
2
4
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RAN3 – Trigonométrie – Ex - Rev 2013
Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
1.3.3
Sachant que
π
1
< t < π et cost = − ; calculer sin t .
2
5
1.3.4
On donne sin
π
6− 2
π
; calculer cos
=
12
4
12
1.3.5
Montrer que quel que soit le réel a, cos4(a) – sin4(a) = cos2(a) – sin2(a).
1.3.6
 3π 
 5π 
Donner la valeur exacte de cos   et sin   .
 4 
 6 
1.3.7
Exprimer en fonction de sin(t) et cos(t) : cos(-π - t) ; sin(-π - t) ; sin(3π + t) ; cos(4π + t) ;
π 
 3π 
sin(4π - t) ; cos(5π + t) ; sin(5π + t) ; cos  + t  ; sin  − t  .
2 
 2

1.3.8
π π
π π
Calculer cos  +  et sin  +  .
4 6
4 6
1.3.9
π π
π
 π
Calculer tan  −  en utilisant l’égalité − = − .
6 4
12
 12 
1.3.10
En remarquant que
2π π 5π
 5π 
 5π 
, calculer cos   et sin  
− =
3 4 12
 12 
 12 
1.3.11
Démontrer que cos(3a) = 4 cos3(a) – 3 cos(a).
1.3.12
Montrer que cos 4a = 8 sin 4 a − 8 sin 2 a + 1
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RAN3 – Trigonométrie – Ex - Rev 2013
Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
1.3.13
a. Mettre sous forme de produit y = 1 − cos 2 x + sin 3 x − sin x
sin x + sin 3x + sin 5x
b. Simplifier y =
.
cos x + cos 3x + cos 5x
1.3.14
Simplifier en utilisant les formules de trigonométrie : A =
cos ( 2a )
sin 2 a
; B=
1 − cos a
1 − tan 2 a
1.3.15
En utilisant la valeur de cos(π/3), déterminer cos(π/6).
1.3.16
En utilisant la valeur de tan(π/3), déterminer sin(2π/3) et cos(2π/3).
1.3.17
π
π
π
π
a. Transformer cos   + cos   puis sin   + sin   .
3
4
3
4
 π 
b. En déduire une écriture exacte de cos   .
 24 
1.4 Equations trigonométriques
π
2

1.4.1 Résoudre cos  2 x +  = −
4
2

π

1.4.2 Résoudre 2 sin  −2 x +  = 3
3

π
π


1.4.3 Résoudre sin  5x −  = sin  x + 
6
6


π

1.4.4 Résoudre cos  3x −  + sin x = 0
4

1.4.5 Résoudre 7 cos2 x + 6 3 sin x cos x + sin 2 x + 2 = 0
1.4.6 Résoudre cos 2 x + 11 sin x + 5 = 0
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RAN3 – Trigonométrie – Ex - Rev 2013
Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
2 Applications à la géométrie du triangle
2.1 Triangle et cercle
2.1.1
Démontrer la propriété de l’angle au centre.
2.2 Relations métriques et trigonométriques dans le triangle
rectangle
2.2.1 Queue d’aronde symétrique
piges : diamètre 15 mm
α = 55°
O
E
A
80 mm
x
B
F
Une pièce a été fabriquée, dans laquelle on veut vérifier l’ouverture d’angle de 55°. On place
pour cela deux piges (billes) et on mesure la longueur « x ». Quelle longueur doit-on trouver si
l’angle mesure exactement 55° ?
2.2.2
Deux troncs d’arbres de même rayon, R, sont posés sur une
plate-forme. On veut placer un troisième tronc, de plus grand
rayon possible, r, entre les deux (voir figure).
Montrer que r est forcément égal au quart de R.
2.2.3
Lorsqu’on déverse sur le sol un sable sec, le tas prend la forme d’un
cône de base circulaire, de demi-angle au sommet 41°. Si on
déverse 5 m3 de ce sable, quels seront le diamètre et la hauteur du
tas formé ?
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RAN3 – Trigonométrie – Ex - Rev 2013
Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
2.2.4
Une plaque P doit être découpée suivant un cercle C pour permettre à une bille de diamètre 34
mm, une fois posée, de dépasser d’exactement 8 mm.
a. Quel doit être le diamètre du cercle C ?
b. On choisit un point A sur la surface de la bille et on conçoit le plan vertical (orthogonal à P)
contenant ce point et le centre du cercle C. Dans ce plan, sous quel angle le point A « voit-il » le
diamètre [BC] du cercle C ?
2.3 Relations métriques et trigonométriques dans le triangle
quelconque
2.3.1
Un bassin de rétention d’eau est circulaire, de rayon 10 mètres. On doit
y poser trois poutrelles métalliques de même longueur, en triangle
équilatéral, les extrémités des poutrelles se joignant sur le bord du
bassin. Quelle doit être la longueur des poutrelles ? (répondre sans
utiliser de triangle rectangle).
2.3.2
On veut calculer la largeur CH d'un fleuve en
restant sur la rive.
On considère les 3 points A, B, C.
On donne AB = 120m, α = 55°, β =45°. (croquis
B
A
H
β
α
ci-contre)
C
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RAN3 – Trigonométrie – Ex - Rev 2013
Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
2.3.3
C
On souhaite établir la relation d’Al-Kashi sur un triangle
quelconque ABC en s’aidant de la figure ci-contre.
a. Exprimer CC’ en fonction de AC et de Â.
b.Exprimer BC’ en fonction de AB, de AC et de Â.
c.En déduire, à l’aide de la relation de Pythagore sur le
Â
C’
A
triangle BCC’, une expression de BC² en fonction d’éléments du triangle ABC uniquement.
2.3.4
Un géomètre mesure la distance de sa station à deux points A et B situés à la même altitude
que lui et obtient 82 m et 125 m. De plus, l’angle horizontal entre ces deux visées vaut 37°.
Quelle est la distance entre les points A et B ?
2.3.5
On souhaite établir la relation des sinus dans un triangle
quelconque ABC en s’aidant de la figure ci-contre, qui
montre le cercle circonscrit au triangle ABC (l’unique
cercle contenant A, B et C) et D, un quatrième point du
cercle, diamétralement opposé à C.
a. Grâce à la propriété de l’angle inscrit et à une
relation trigonométrique dans le triangle BCD, établir que
a/sin(α) = 2R.
b. Montrer que cette égalité peut se généraliser aux
rapports côté/sinus(angle opposé) pour B et C.
2.3.6
Soit un triangle de côtés 10m, 20m, 24m. Calculer son aire par la formule de Héron, puis par la
formule « classique ».
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B
Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
2.3.7
Pour mesurer la hauteur d’une montagne, le géomètre se place en deux points A et B situés à la
même altitude (ici, 464 m) et mesure à chaque fois l’angle entre l’horizontale et la visée du
sommet (ici, 23° et 38°). Quelle est l’altitude du sommet de cette montagne ?
S
38°
23°
H
A
B
655 m
2.3.8
B
Vous devez mesurer la distance AB, mais un
précipice infranchissable ne vous autorise pas
à le faire directement. Vous décidez alors de
prendre un troisième point de station, C, situé
à exactement 50 m de A et vous mesurez les
angles entre les visées AB et AC puis entre les
visées CB et CA.
Quelle est la distance AB ?
A
68°
85°
C
2.3.9
S est l’un des sommets d’un cube. On a découpé un coin de
cube tel que SA = 3 cm, SB = 2 cm et SC = 1 cm. ([SA], [SB] et
[SC] sont des parties des trois arêtes du cube issues de S).
A
B
S
a. Quelle est l’aire du triangle ABC ?
b. Quelle est la distance entre S et le plan (ABC) ?
C
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RAN3 – Trigonométrie – Ex - Rev 2013
Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
3 Fonctions trigonométriques
3.1 Généralités sur les fonctions sin, cos, tan
3.1.1
L'intensité I (en Ampère) d'un courant domestique s'exprime en fonction du temps t (en
secondes) par : I ( t ) = 5 cos (100π.t ) .
a. Entre quelles valeurs varie I ?
b. Montrer que la fonction I est périodique et déterminez sa période
3.1.2
La température T (en °C) à Vancouver varie approximativement selon la formule :
π

T = 14, 8 sin  ( t − 3)  + 10 où t est exprimé en mois. Le 1er janvier correspond à t = 0.
6

a. Quelle est, environ, la température le 1er février ? Le 1er novembre ?
b. Quelles sont les températures extrêmes ? A quelles dates correspondent-elles ?
c. Avec quelle périodicité retrouve-t-on des températures analogues ?
3.1.3
Le Japon connaît des raz de marée provoqués par des tremblements de terre sous-marins
(tsunamis). On modélise alors parfois la hauteur h de l'eau en un point donné en fonction du
temps t par une équation de la forme h(t) = a cos(b t), avec h(t) en mètres, t en secondes.
Calculer les nombres a et b dans le cas d'un tsunami où les vagues mesurent 10 m de haut et
présentent une périodicité de 20 minutes.
h(t), mètres
3.1.4
La courbe ci-contre met en évidence le caractère
semi-diurne des marées en un point donné de la
côte atlantique, au cours d'une période donnée de
l'année. h est la hauteur de l'eau au-dessus du
point choisi et t l'heure de la journée. On suppose
que h s'exprime en fonction de t par :
h(t) = A sin (B t + C) + D.
Calculer les réels A, B, C et D à l'aide du graphique.
3.1.5
Donner les domaines de définition des expressions suivantes :
a. y = tan 2 x − 1 ; b. y = sin 3 x
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t, heures
Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
3.2 Fonctions réciproques
3.2.1
Montrer que : a. tan(arcsin x ) =
x
1− x
2
; b. sin(arccos x ) = 1 − x 2
3.2.2
Donner le domaine de définition des expressions suivantes :
a. y = arccos(x²) ; b. 1 − arctan ( x ) .
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