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Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
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RAN3 – Trigonométrie – Cours - Rev 2013
Remise à Niveau Mathématiques
Troisième partie : Trigonométrie
Cours

Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
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RAN3 – Trigonométrie – Cours - Rev 2013
1 TRIGONOMETRIE 3
1.1 A PPROCHE HISTORIQUE 3
1.2 D EFINITIONS PREMIERES 4
1.3 Q UELQUES FORMULES DE TRIGONOMETRIE 7
1.4 E QUATIONS TRIGONOMETRIQUES 12
2 APPLICATIONS A LA GEOMETRIE DU TRIANGLE 17
2.1 T RIANGLE ET CERCLE 17
2.2 R ELATIONS METRIQUES ET TRIGONOMETRIQUES DANS LE TRIANGLE RECTANGLE 20
2.3 R ELATIONS METRIQUES ET TRIGONOMETRIQUES DANS LE TRIANGLE QUELCONQUE 22
3 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 23
3.1 G ENERALITES SUR LES FONCTIONS SIN , COS , TAN 23
3.2 F ONCTIONS RECIPROQUES 27

Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie
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1 Trigonométrie
1.1 Approche historique
La civilisation Sumérienne est considérée à ce jour comme celle qui, la première (4
ème
millénaire),
inventa et mit en place un système d’écriture et de calcul, utilisant l’écriture cunéiforme. On y
comptait en base 60, avec pour raison principale que ce nombre se découpe de nombreuses
façons en parts entières égales. On dirait aujourd’hui que 60 possède un grand nombre de
diviseurs : 60, 30, 20, 15, 12, 10, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
Les civilisations Akkadienne puis Araméenne, qui lui succédèrent, reprirent le système de
numération de Sumer. On trouve à la période des 17
e
–15
e
siècles avant JC la division du cercle en
360 parties pour obtenir le degré (
o
) qui est une unité bien adaptée à la mesure des angles
(mesures astronomiques, principalement). Entre les 15
e
et 8
e
siècles avant JC, la longueur de
l'année était décrétée à 360 jours, d'après différents écrits.
On voit apparaître chez les astronomes grecs de l’antiquité la notion de tangente d’un angle, dans
l’expression de certains types de calculs. Parallèlement, les mathématiciens envisagent la
géométrie du triangle (plan ou sphérique) sous l’aspect de relations à déterminer entre des angles
et des longueurs : naissance de la trigonométrie (du grec tri-gônas : trois-angle) plane et
sphérique. Les notions de lignes trigonométriques - sinus, cosinus, tangente, cotangente – seront
développées ensuite par les astronomes arabes du haut Moyen Age et des tables de valeurs
seront formées.
Ces travaux se poursuivent activement jusqu'au 18
e
siècle puis débordent de la géométrie (Euler,
Fourier, Laplace, …) avec l’étude des fonctions trigonométriques.
La trigonométrie dont il sera question ici est la "Trigonométrie plane".

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1.2 Définitions premières
1.2.1 Le nombre π
ππ
π
Initialement, π était défini comme un rapport de grandeurs, celui de l'aire intérieure d'un cercle à
celle du carré construit sur son rayon ou, peu de temps après, comme le rapport du périmètre
d’un cercle à son diamètre. Il n’était pas du tout évident qu’ils ne dépendent pas de la taille du
cercle considéré et soient donc une constante mathématique, et encore moins évident que ces
deux rapports soient égaux (mais on le soupçonnait fortement) !
La lettre pi a été choisie par les grecs en tant qu’initiale de « périmètre » (et on comprend que
Pythagore l’ait adoptée et transmise, entre 550 et 500 avant JC). C’est Archimède qui, au 3
e
siècle
avant JC, a prouvé que les rapports mentionnés au paragraphe précédent étaient indépendants du
rayon du cercle considéré et qu’ils étaient égaux entre eux.
L'irrationalité de π fut prouvée en 1761 par le Suisse Lambert.
Sa transcendance sera, elle, démontrée en 1882 par l'Allemand Lindemann.
Le calcul d’une valeur approchée de π est une histoire qui remonte aux temps les plus anciens.
De nombreuses méthodes (géométriques ou analytiques) existent pour affiner sa connaissance.
Dans l’antiquité, certains utilisaient la valeur 3, d’autres 3,125 (Babyloniens) ou 3,15 (Egyptiens,
plus tard) ou le rapport 22/7…
En 1999, MM. Kanada et Takahashi ont donné π avec 206 milliards de décimales ; aujourd’hui, on
a dépassé les 2000 milliards de décimales et ce n'est pas fini…
Un tableur donnera π = 3,141592653589793. Dans la pratique, on prend la valeur π = 3,1416.
1.2.2 Le radian
Le degré d’angle présente un inconvénient majeur en sciences : c’est une unité.
Les applications des angles et des lignes trigonométriques sont très présentes en physique
(mécanique, électricité, traitement du signal, etc.) et pour inclure ces notions dans des formules
sans avoir à les agrémenter de conversions, il faut une mesure d’angles sans unités. Le problème
se pose également en mathématiques : l’étude de fonctions trigonométriques, de leurs primitives
et dérivées, l’établissement d’un développement limité, où la variable est un angle, impose la
même contrainte.

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On décide donc d’exprimer un angle comme le rapport de deux longueurs : plaçons-nous sur un
cercle ; un angle est caractérisé par un secteur angulaire, et sa mesure sera le rapport de la
longueur de l’arc par le rayon du cercle. Ainsi, cette mesure s’exprimera sans unité puisque c’est
un rapport mètre/mètre, et on dira qu’on a exprimé l’angle en radians.
Cette définition de la mesure d’un angle α peut être visualisée sur un cercle de rayon 1 (d’unité
sans importance) où la valeur de α en radians sera définie par la longueur de l’arc AM
correspondant :
Un angle de 1 radian est donc caractérisé par un arc dont la longueur vaut exactement le rayon du
cercle.
Un angle d’un tour complet vaut, en radians, 2πR/R, soit 2π. 1 tour = 2π rad
Correspondances radians/tours/degrés/grades:
tours 0 1/12 1/8 1/6 1/4 1/3 1/2 3/4 1
radians 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 π 3π/2 2π
degrés 0 30 45 60 90 120 180 270 360
grades 0 50 100 200 300 400
Le degré se divise en minutes (’) et secondes (’’) d’arc : 60’’ = 1’ et 60’ = 1°
Par exemple : 5,73° = 5°43’48’’
(0,73° × 60 = 43,8’ et 0,8’× 60 = 48’’)
Le grade se divise de façon décimale : décigrade (dgr), centigrade (cgr), milligrade (mgr), etc.
Il est rarement utilisé (parfois en topographie) et tend à être abandonné.
M
A
1
1
Arc AM = α radians
α