Cours 2 de SGBD . Contenu

3.2
Calul Relationnel à Variables
n-uplets
C'est un langage de la logique des prédiats ave plusieurs
Une variable
x
aura un type
T
et on note
Les valeurs des variables sont des
n-uplets
Lien intuitif ave SQL ;
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x : T.
de la base.
sortes ou types.
Relation CINEMA, dont deux des attributs sont nom_inema et adresse,
relation SEANCE, dont deux des attributs sont nom_inema et id_lm, et
relation FILM dont deux des attributs sont id_lm et nom_realisateur.
Quel inémas ne projettent auun lm réalisé par Tarantino ? Donner aussi les
adresses.
SELECT .nom_inema, .adresse
FROM inema WHERE NOT EXISTS (SELECT s.nom_inema
FROM seane s, film f
WHERE f.nom_realisateur = 'Tarantino'
AND
f.id_film = s.id_film
AND
s.nom_inema = .nom_inema);
Ii, est une variable dont les valeurs (suessives) sont les
n-uplets
(lignes) de la
table SEANCE.
NOT EXISTS (...) ode une formule logique qui s'évalue à Vrai ou Faux, selon
les valeurs de
c.
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Deux diérenes ave la logique des prédiats du ours de logique du L2.
1) La valeur d'une variable n'est pas un individu indéomposable, mais un
n-uplet. Elle a don des omposantes :
si x : ABC vaut ha1 : A, b1 : B, c1 : Ci, alors on a une syntaxe permettant
d'aéder à la omposante a1, à la omposante b1 et à la omposante c1.
On peut voir le .Attribut omme un symbole de fontion qui assoie à un
individu, le triplet x,un autre individu du domaine de disours, sa omposante
x.Attribut (ours de logique du L2).
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2) Les variables sont typées.
Utilité ?
{A, B, C, ..., Z}. Parmi les tables, on a r , de shéma
{A, B, C} (souvent on note juste ABC ). On veut exprimer, en logique : tous les
n-uplets de r ont une propriété Q.
Par ex. on a : univers =
Si on ne type pas :
∀x(si x ∈ r alors Q(x))
tous les n-uplets possibles :
Pour évaluer, on examine
ave une seule omposante, sur
A,
ave une seule omposante, sur
Z,
AB , sur AC ,.....,W Z
une seule omposante, sur
ave 2 omposantes, sur
.
.
.
ave 26 omposantes, sur
AB...Z
Mais on est intéressé seulement aux
n-uplets
sur
ABC
! Alors :
∀x : ABC(si x ∈ r alors Q(x))
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B, · · ·
ave
Enore sur les prinipes du Calul Relationnel à variables
n-uplets
(CR à
n-uplets).
•
Une variable aura omme valeur un
n-uplet
qui PEUT apparaître dans la
base (bon type), mais qui n'y est pas forement.
•
Notation : si
x
est une variable (n-uplet) et
indique la valeur pour l'attribut
A
du
pour aéder aux omposantes).
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A
n-uplet
un attribut, l'expression
qui est la valeur de
x
x.A
(syntaxe
Pour un shéma de base
S
donné sur un univers
U,
le voabulaire des formules
du alul relationnel est :
• V=
• C
•
ensemble inni de variables.
= ensemble de onstantes =
Symboles de prédiat : =,
On a aussi une fontion
de
type
S
Ai ∈U
Dom(Ai )
>, ≥, <, ≤,
et tout nom de relation dans
qui assoie à ertaines variables des sous-ensembles
U.
Pour
t∈V,
lire
type(t)
S.
omme le type de
32
t.
Syntaxe des
1.
Formules Atomiques (F.A.) :
Si :
t, t′ ∈ V , A
est un attribut
∈ type(t)
alors le mot t.A = t′ .B est une F.A.
2.
3.
et
B
est un attribut
Si t ∈ V , A est un attribut ∈ type(t), k ∈ C
alors le mot t.A = k est une F.A.
et
∈ type(t′ )
k ∈ Dom(A)
Si :
t ∈ V , R est
type(t) = S
alors
un nom de relation,
le mot
R(t)
S
est le shéma de relation assoié à
est une F.A.
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R
et
Exemples de F.A..
P rojection un nom de relation, dont le shéma est
{N omF ilm, N omCinema, Horaire} et soit Aime une relation
{Spectateur, N omF ilm}.
′
Soient t et t des variables, ave
type(t) = type(t′ ) = {N omF ilm, N omCinema, Horaire}.
Soit
Les mots :
1.
t.N omCinema = t′ .N omCinema
2.
t.N omCinema
3.
P rojection(t)
= Gaumont Alésia
sont des F.A.
Le mot
Aime(t)
n'est pas une F.A. : erreur de typage !
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de shéma
Signiation (sémantique) des F.A.
Soit
B
une base sur le shéma
variable
1.
t
et soit
n2
un
t.A = t′ .B est vraie
n1 est la même que
2.
t.A = k
est k .
3.
R(t)
S.
n-uplet
Soit
par rapport à
n-uplet
B
N.B. Si type(t) = E , où E
hoisi omme valeur de la
B
B
B
par
n
ssi la valeur assoiée à l'attribut
ssi la relation de nom
R
A
ontient
n1 .
n-uplet
sur
n'appartient à auune relation !
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A
par
n2 .
est un ensemble d'attributs, tout
même si
t′ .
ssi la valeur assoiée à l'attribut
elle assoiée à l'attribut
est vraie par rapport à
t,
un
hoisi omme valeur de la variable
est vraie par rapport à
être une valeur de
n1
par
E
n1
peut
Exemple.
Base
B
:
AimeLivre
Personne
Livre
NomLivre
NomLivre
p1
l1
l1
p2
l2
l2
p1
l2
Donnons la valeur
hp1, l1i
à
t.N omLivre = t′ .N omLivre
t.N omLivre = l2 est fausse.
AimeLivre(t) est vraie.
Assoions
hp2, l1i
à
t
et
hl2i
t.N omLivre = t′ .N omLivre
t.N omLivre = l1 est vraie.
AimeLivre(t) est fausse.
t
et
hl1i
à
t′ .
est vraie par rapport à
à
t′ .
est fausse.
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B.
Formules
E ⊆ U =ensemble
d'attributs
•
Toute F.A. est une formule.
•
Si
F
•
Si
F1
•
Si
est une formule alors
et
F2
(¬F )
sont des formules et
F est une formule et t ∈ V
(∀t : E F ) et (∃t : E F )
l'est aussi.
∗ ∈ {∧, ∨, →}
alors :
sont des formules.
37
alors
(F1 ∗ F2 )
est une formule.
Formules : suite
Leture intuitive de ∀t
pour
: quelque soit le
n-uplet t
de type
E, F
est vraie
t.
Leture intuitive de ∃t
F
: E FF
est vraie pour
: E F
: il existe au moins un
t.
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n-uplet t
de type
E
tel que
Formules : suite
La même dénition de l'ensemble des formules par une grammaire :
F ormule := F.A. | (¬F ormule) | (F ormule ∗ F ormule)
| (∀t : E F ormule) | (∃t : E F ormule)
où
∗ ∈ {∧, ∨, →}.
Conventions :
F1 ∧ F2 ∧ F3
droit de ne pas érire les
à la plae de
()
(F1 ∧ F2 ) ∧ F3
le plus à l'extérieur. Autres droits :
ou
F1 ∧ (F2 ∧ F3 );
idem pour
∨.
Lien ave le ours de logique du L2 : syntaxe du alul des prédiats (mais types
en plus).
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(∀t : E F ) et (∃t : E F )
portée de ∀t (resp. ∃t).
Pour
F=
:
Variables Libres d'une Formule F
d'un quantiateur (∀ ou
: elles qui ne sont pas dans la portée
∃).
Exemple.
F : ∃t : P ersonne, N omLivre
(AimeLivre(t) ∧ t.P ersonne =′′ Jean′′ ∧ t′ .N omLivre = t.N omLivre)
Ensemble des variables libres de F = {t′ }
F
va être vraie pour ertain valeurs de
t′ ,
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fausse pour d'autres.
Signiation (Sémantique)des formules
F : formule, B : base. s : hoix de
t : variable n-uplet, type(t) = E .
Par rapport à B et s on a :
valeurs pour les variables libres de
•
Si
F
est une F.A. ,
•
Si
F
est
(¬F1 ) , F
•
Si
F
est
(F1 ∧ F2 ) , F
est vraie ssi
•
Si
F
est
(F1 ∨ F2 ) , F
est vraie si au moins une de
•
Si
F
est
(F1 → F2 ) , F
•
Si
F
∀t : E F1 , F est vraie
E ), F1 est vraie pour t.
type
•
Si
F
type
est
F
F.
est vraie ou fausse selon les ritères déjà vus.
est vraie ssi
F1
est fausse.
F1
est vraie et
est vraie ssi ou
F1
F2
aussi.
F1 , F2
est fausse ou
F2
est vraie.
est vraie.
ssi, quelle que soit la valeur de
∃t : E F1 , F est vraie ssi il existe
E ) telle que F1 est vraie pour t.
est
41
t
(ayant le
au moins une valeur de
t
(ayant le
Lien ave le ours de logique du L2 : ii
B
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est une interprétation (partiulière) !
Révenons à la syntaxe et au typage.
Erreurs d'ériture possibles :
Non-Formules :
1.
(Aime(t) ∧ Livre(t′ )
Erreur de syntaxe, pas (forement) de typage.
2.
Aime(t) ∧ t.age = 40
où
type(t) = {N omP ersonne, N omLivre}
Erreur de typage!
3. (Rappel : le shéma de
Livre
est
{N omLivre})
∀t : P ersonne ¬Livre(t)
Erreur de typage!
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Les exemples qui vont suivre utilisent le shéma de base du premier ours :
U=
{N omF ilm, Realizateur, Acteur, P roducteur, N omCinema, Horaire, Spectateur}
S=
{
F ilm(N omF ilm, Realizateur, Acteur, P roducteur),
P rojection(N omF ilm, N omCinema, Horaire), Aime(Spectateur, N omF ilm)
}
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Formulation d'une requête dans le alul relationnel à variables
n-uplets.
•
Format :
{t : E | F (t)}
où
t
est une variable,
ayant
t
E
est le type délaré pour
t
et
F (t)
est une formule
omme seule variable libre.
•
Réponse : l'ensemble des des valeurs de
•
Exemple : Quels sont les (titres des) lms projetés au Gaumont Alésia ?
t
pour lesquelles
F (t)
est vraie.
{t : N omF ilm | ∃t′ : N omF ilm, N omCinema, Horaire (P rojection(t′ )
∧t′ .N omCinema = “GaumontAlesia′′ ∧ t.N omF ilm = t′ .N omF ilm)}
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Un autre exemple.
Quels sont les titres et les ateurs des lms projetés au Gaumont Alésia ?
{t : N omF ilm, Acteur |
∃t′′ : N omF ilm, Acteur, Realisateur, P roducteur
∃t′ : N omF ilm, N omCinema, Horaire
(F ilm(t′′ ) ∧ (P rojection(t′ )
∧ t′ .N omCinema =′′ GaumontAlesia′′ ∧ t′′ .N omF ilm = t′ .N omF ilm ∧
t.N omF ilm = t′ .N omF ilm ∧ t.Acteur = t′′ .Acteur)}
NB : En algèbre on aurait érit :
πN omF ilm,Acteur σN omCinema=‘′′ GaumontAlesia′′ (F ilm 1 P rojection)
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Question.
Même base
B,
mais domaines des attributs
6=.
A-t-on forement une réponse unique à une requête dans le alul ? NON.
Exemple :
shéma est
Shéma de la base ={R(A)}, .-à-d. on a une seule table,
dont le
{A}.
A
Trois Cas
1
1)
Dom(A) = {1, 2, 3}
2
2)
Dom(A) = {1, 2, 3, 4}
3
3)
Dom(A) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Requête :
R,
{t : A | ¬R(t)}
Réponses respetives dans les trois as :
∅, {4}, {n | n
est un entier positif et
n > 3}.
Dans le troisième as, la réponse n'est même pas une relation nie ! Pas de
orrespondane ave l'algèbre relationnelle.
Cette requête est dépendante du domaine. Not Good !
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• ∃
restrition syntaxique sur la forme d'une requête
que
R
R
du alul qui assure
est indépendante du domaine et équivalente à une expression
algébrique : notion de requête
saine :
saine.
•
Dénition de
•
Mais : exemples de réériture d'une requête dépendante du domaine (D.D.)
tehniquement ompliquée, pas donnée ii.
de façon qu'elle soit indépendante du domaine (I.D.).
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Exemples
{
F ilm(N omF ilm, Realizateur, Acteur, P roducteur),
P rojection(N omF ilm, N omCinema, Horaire), Aime(Spectateur, N omF ilm)
}
Shéma de la base :
Quels lms ne sont aimés par personne ?
{t : N omF ilm | ∀x : Spectateur, N omF ilm (x.N omF ilm =
t.N omF ilm → ¬Aime(x))}
D.D. :
Aime = {hs1, f 1i, hs2, f 2i}
Dom(N omF ilm) = {f 1, f 2, f 3, ...}.
Evaluer, par exemple, sur
ave
{t : N omF ilm | ∃t′ : N omF ilm, Realizateur, Acteur, P roducteur
[F ilm(t′ ) ∧
∀x : Spectateur, N omF ilm (x.N omF ilm = t′ .N omF ilm → ¬Aime(x))
∧ t′ .N omF ilm = t.N omF ilm]}
I.D. :
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Exemples, suite
Quels lms ne sont pas projettés au Gaumont-Alésia ?
{t : N omF ilm | ¬∃t′′ : N omF ilm, N omCinema, Horaire
(P rojection(t′′ ) ∧ t′′ .N omCinema = “Gau.Al.′′ ∧ t′′ .N omF ilm = t.N omF ilm)}
D.D. :
P rojection = {hf 1, c1, h1i, hf 2, G.A., h22i}
Dom(N omF ilm) = {f 1, f 2, f 3, ...}.
Evaluer, par exemple, sur
ave
{t : N omF ilm | ∃t′ : N omF ilm, Realizateur, Acteur, P roducteur
[F ilm(t′ ) ∧
¬∃t′′ : N omF ilm, N omCinema, Horaire (P rojection(t′′ ) ∧ t′′ .N omCinema =
“Gau.Al.′′ ∧ t′′ .N omF ilm = t′ .N omF ilm) ∧ t′ .N omF ilm = t.N omF ilm]}
I.D. :
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Exemples, suite
Enore :
Quels lms ne sont pas projettés au Gaumont-Alésia ?
Les deux formules suivantes sont I.D. et sont
équivalentes :
{t : N omF ilm | ∃t′ : N omF ilm, Realizateur, Acteur, P roducteur
[F ilm(t′ ) ∧
¬∃t′′ : N omF ilm, N omCinema, Horaire [P rojection(t′′ ) ∧ t′′ .N omCinema =
“Gau.Al.′′ ∧ t′′ .N omF ilm = t′ .N omF ilm] ∧ t′ .N omF ilm = t.N omF ilm)]}
(déjà vue).
{t : N omF ilm | ∃t′ : N omF ilm, Realizateur, Acteur, P roducteur
[F ilm(t′ ) ∧
∀t′′ : N omF ilm, N omCinema, Horaire ¬[P rojection(t′′ ) ∧ t′′ .N omCinema =
“Gau.Al.′′ ∧ t′′ .N omF ilm = t′ .N omF ilm] ∧ t′ .N omF ilm = t.N omF ilm)]}
Pourquoi ?
¬∃xF (x) ≡ ∀x¬F (x).
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Et enore une autre ériture équivalente si on remarque que
¬(A ∧ B ∧ C) ≡ ((A ∧ B) → ¬C).
52
•
algèbre relationnelle et alul relationnel à variables
n-uplets
(requêtes I.D.) :
expression des mêmes requêtes.
•
Un langage ommerial est dit
relationnellement omplet ssi il
peut exprimer
toutes les requêtes que l'algèbre peut exprimer.
•
SQL est relationnellement omplet.
•
SQL utilise des opérateurs de l'algèbre, mais aussi des variables
53
n-uplets.