Chapitre 6 : Variables Aléatoires Continues Plan

Notes
Chapitre 6 : Variables Aléatoires Continues
L2 Eco-Gestion, option AEM
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Notes
1
Notion de densité de probabilité
2
Lois continues usuelles
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Notion de densité de probabilité
2
Lois continues usuelles
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Notion de densité de probabilité
Notes
Définitions
Définition
Une v.a. X est dite continue si X (Ω), l’ensemble des valeurs qu’elle
peut prendre, est un intervalle (borné ou non)
Une v.a. X est dite absolument continue si sa fonction de répartition
définie par F (x) = P(X ≤ x) est continue et dérivable.
Remarque
Si X (Ω) = R, on a P(X = a) = 0 pour tout a ∈ R...
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Notion de densité de probabilité
Notes
Définitions
Définitions
On définit la densité moyenne de probabilité d’une v.a. continue X sur
un intervalle [a, b] :
f (a, b) =
P(a ≤ X ≤ b) F (b) − F (a)
=
b−a
b−a
Si X est absolument continue, on peut définir la densité de probabilité
en un point :
F (x + h) − F (x)
f (x) = lim
h
h→0
On a alors f (x) = F 0 (x) (dérivée de la fonction de répartition).
f est appelée densité de probabilité de la v.a. X .
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Notion de densité de probabilité
Notes
Définitions
Conséquences
Pour une v.a. X absolument continue, on a :
F (x) =
Rx
−∞ f
(y )dy
P(a ≤ X ≤ b) =
Rb
a
f (y )dy
Remarques
Interprétation,. . .
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Notion de densité de probabilité
Notes
Définitions
Propriété
f est une densité de probabilité d’une v.a. X si et seulement si :
f est positive
R +∞
−∞
f (x)dx = 1
Exemple
...
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Notion de densité de probabilité
Notes
Espérance et variance
Définition
Soit X une v.a. continue de densité de probabilité f .
E(X ) =
R +∞
−∞
xf (x)dx
Var(X ) = E[(X − E(X ))2 ] = E(X 2 ) − E(X )2
Compléments ("identiques" aux v.a. discrètes)
Soit X une v.a. continue de densité de probabilité f .
Soit g uneRfonction (telle la quantité ci-dessous soit définie) alors
+∞
E(g (X ) = −∞
g (x)f (x)dx.
Soit t ∈ R (telle que la quantité ci-dessous soit définie) alors, la fonction
génératrice de X est définie par
MX (t) = E(exp(tX )) =
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Z
+∞
exp(tx)f (x)dx.
−∞
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Somme et indépendance
Indépendance
Soient X et Y deux v.a. continues. Ces deux v.a. sont indépendantes si les
événements {a ≤ X ≤ b} et {c ≤ Y ≤ d } sont indépendants pour tous a, b, c, d .
Somme de deux v.a.
Soient X et Y deux v.a. (quelconques) telles que les quantités ci-dessous soient
définies alors
E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ).
Si en outre, elles sont indépendantes Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ).
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Loi continues usuelles
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Loi uniforme
Définition
La v.a. X suit une loi uniforme sur [a, b] si sa densité de probabilité est
donnée par :
f (x) =
1
b−a
si x ∈ [a, b] ;
f (x) = 0 sinon.
Remarques
Calculer la fonction de répartition et la tracer.
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Loi continues usuelles
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Loi normale
La loi normale est aussi appelée loi de Laplace-Gauss, ou loi
gaussienne.
Loi essentielle pour la statistique inférentielle.
Définition
X suit une loi normale de paramètres µ et σ si sa densité de probabilité est
donnée par :
1 x−µ 2
1
(∀x ∈ R)
f (x) = √ e − 2 ( σ )
σ 2π
On note X ∼ N (µ, σ ).
Paramètres descriptifs
E(X ) = µ
Var(X ) = σ 2
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Loi continues usuelles
Notes
Loi normale
Loi normale centrée réduite
X ∼ N (µ, σ ), si et seulement si, en posant Y =
normale centrée réduite N (0; 1).
X −µ
σ ,
Y suit la loi
Remarque
En pratique on est souvent amené à faire ce changement de variable pour
utiliser les valeurs de la loi centrée réduite.
Ces valeurs peuvent être données par une table de valeurs de la fonctions
de répartition.
Propriété
Si F est la fonction de répartition d’une loi normale centrée réduite, alors :
F (−x) = 1 − F (x).
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Loi continues usuelles
Notes
Loi normale
Exo 1
Soit Z ∼ N (0, 1) et soit t ∈ R, montrer que la fonction génératrice de Z vaut
2
t
MZ (t) = E(exp(tZ )) = exp
.
2
La v.a. X = σ (Z + µ), vérifier que X ∼ N (µ, σ ) et en déduire que
σ 2t 2
MX (t) = E(exp(tX )) = exp tµ +
.
2
Exo 2
Soient X1 , . . . , Xn n v.a. indépendantes de même loi normale de paramètre µ et σ .
On s’intéresse aux v.a. Yn = (X1 + · · · + Xn )/n et Zn = Ynσ−µ . Une propriété
importante (admise) pour la statistique est que Yn et Zn sont toutes deux des
lois normales. Calculer les paramètres des lois de Yn et Zn .
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Loi normale
Notes
Probabilité et quantile
Parce que la loi normale est la plus utilisée en statistique, les probabilités et
quantiles de la loi normale sont de grande importance.
par exemple, si X ∼ N (0, 1),n les problèmes
P(X ≤ x) =
Z
x
f (x)dx =??
et
P(X ≤ q) = 0.9 ⇔ q =??
−∞
n’admettent pas de formule explicite.
on doit s’orienter vers une table statistique ou (mieux) un logiciel statistique
pour approcher ces valeurs.
Exemple
Illustrer et calculer avec R, la densité d’une normale, sa fonction de répartition,
une probabilité, un quantile,. . .
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Théorème central limite (1)
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Théorème
Soient X1 , . . . , Xn , n variables aléatoires indépendantes et de même loi, de
mooyenne m et de variance σ 2 . Soit
n
Yn =
∑ Xi
et
Zn =
i=1
Yn − n × m
√
.
σ n
Alors, lorsque n est "grand",
√
approx
Yn ∼ N (n × m, σ n)
et
approx
Zn ∼ N (0, 1)
Autrement dit si Z ∼ N (0, 1),
1
P (a ≤ Zn ≤ b) ' P (a ≤ Z ≤ b) = √
2π
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Z b
e −t
2 /2
dt.
a
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Théorème central limite (2)
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Théorème de De Moivre Laplace
Soient X1 , . . . , Xn , n variables aléatoires indépendantes, de loi de Bernoulli
B(p). Alors Yn = ∑ni=1 Xi ∼ B(n, p). Et puisque E(Xi ) = p et
Var(Xi ) = p(1 − p), on a que lorsque n est "grand",
approx
Yn ∼ N (np,
p
np(1 − p))
et
Yn − np
Zn = p
np(1 − p)
approx
∼ N (0, 1)
Exemple
Un élève d’une classe de 30 élèves de L2 a la probabilité 40% de poursuivre
en L3. Quelle est, pour cette classe, la probabilité qu’il y ait au moins 12
élèves poursuivant en L2 ? moins de 24 ?
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Loi continues usuelles
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Loi exponentielle
Définition
X suit une loi exponentielle de paramètre λ ∈ R+ si sa densité de
probabilité est donnée par :
f (x) = λ e −λ x si x ≥ 0 ;
f (x) = 0 si x < 0.
Propriété
F (x) = 1 − e −λ x , pour x > 0 ;
E(X ) =
1
λ
Var(X ) =
MX (t) =
;
1
;
λ2
λ
λ −t pour
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tout t < λ .
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Loi continues usuelles
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Loi exponentielle
Utilisation
Permet de modéliser une durée de vie, un temps d’attente, . . .
X s’exprime en unité de temps. λ est une fréquence (inverse d’un temps).
Propriété (loi “sans mémoire”)
Si X ∼ Exp(λ ) et a > 0 : pour tout x > 0
P(X > a + x | X > a) = P(X > x).
Preuve
Utiliser la définition d’une proba. conditionelle et la fonction de répartition
de X .
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