Chapitre 6 : Variables Aléatoires Continues Plan

Chapitre 6 : Variables Aléatoires Continues
L2 Eco-Gestion, option AEM
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Plan
1Notion de densité de probabilité
2Lois continues usuelles
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Notes
Notes

Plan
1Notion de densité de probabilité
2Lois continues usuelles
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Notion de densité de probabilité
Définitions
Définition
Une v.a. Xest dite continue si X(Ω), l’ensemble des valeurs qu’elle
peut prendre, est un intervalle (borné ou non)
Une v.a. Xest dite absolument continue si sa fonction de répartition
définie par F(x) = P(X≤x)est continue et dérivable.
Remarque
Si X(Ω) = R, on a P(X=a) = 0 pour tout a∈R...
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Notes
Notes

Notion de densité de probabilité
Définitions
Définitions
On définit la densité moyenne de probabilité d’une v.a. continue Xsur
un intervalle [a,b]:
f(a,b) = P(a≤X≤b)
b−a=F(b)−F(a) b−a
Si Xest absolument continue, on peut définir la densité de probabilité
en un point :
f(x) = lim
h→0
F(x+h)−F(x)
h
On a alors f(x) = F0(x)(dérivée de la fonction de répartition).
fest appelée densité de probabilité de la v.a. X.
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Notion de densité de probabilité
Définitions
Conséquences
Pour une v.a. X absolument continue, on a :
F(x) = Rx
−∞f(y)dy
P(a≤X≤b) = Rb
af(y)dy
Remarques
Interprétation,. . .
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Notes
Notes

Notion de densité de probabilité
Définitions
Propriété
fest une densité de probabilité d’une v.a. Xsi et seulement si :
fest positive
R+∞
−∞f(x)dx =1
Exemple
...
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Notion de densité de probabilité
Espérance et variance
Définition
Soit Xune v.a. continue de densité de probabilité f.
E(X) = R+∞
−∞xf (x)dx
Var(X) = E[(X−E(X))2] = E(X2)−E(X)2
Compléments ("identiques" aux v.a. discrètes)
Soit Xune v.a. continue de densité de probabilité f.
Soit gune fonction (telle la quantité ci-dessous soit définie) alors
E(g(X) = R+∞
−∞g(x)f(x)dx.
Soit t∈R(telle que la quantité ci-dessous soit définie) alors, la fonction
génératrice de Xest définie par
MX(t) = E(exp(tX )) = Z+∞
−∞exp(tx)f(x)dx.
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Notes
Notes

Notion de densité de probabilité
Somme et indépendance
Indépendance
Soient Xet Ydeux v.a. continues. Ces deux v.a. sont indépendantes si les
événements {a≤X≤b}et {c≤Y≤d}sont indépendants pour tous a,b,c,d.
Somme de deux v.a.
Soient Xet Ydeux v.a. (quelconques) telles que les quantités ci-dessous soient
définies alors
E(X+Y) = E(X) + E(Y).
Si en outre, elles sont indépendantes Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y).
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2Lois continues usuelles
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Notes
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