Lois et théorèmes des circuits

GEL-21945
Circuits
LOIS ET THÉORÈMES DE CIRCUITS
Objectifs
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
comprendre et être capable d’utiliser les lois de Kirchhoff;
reconnaître les éléments en série ou en parallèle dans un circuit
complexe;
obtenir les dipôles équivalents d’éléments en série ou en parallèle;
calculer correctement des diviseurs de tension ou des diviseurs de
courant simple ou en cascade;
savoir mettre à zéro (annuler) une source de tension ou de courant;
savoir transformer un circuit électrique complexe en son équivalent
Thévenin et son équivalent Norton
être capable de passer d’un équivalent Thévenin à un équivalent
Norton et vice-versa;
utiliser un équivalent Thévenin ou Norton entre deux bornes d’un
circuit pour déduire la tension ou le courant par ces bornes;
comprendre clairement ce que signifie un système linéaire avec ses
avantages;
exploiter les caractéristiques d’un système linéaire dont le principe
de superposition des sources.
2/73
Plan du cours
  Lois de Kirchhoff
  Dipôles équivalents
  Transformations de sources
  Théorèmes de Thévenin et de Norton
  Transfert maximal de puissance
  Principe de superposition
3/73
Éléments, nœuds et parcours fermés
- Une jonction où au moins deux éléments électriques ont une connexion
commune est appelée nœud
- Dans chaque élément, on peut définir une variable tension v et une
variable courant i
Éléments
a
b
c
+
v
f
e
d
Parcours fermés
a-b-c-d-e-f-a
a-b-e-f-a
b-c-d-e-b
Noeuds
4/73
Lois de Kirchhoff
5/73
Lois de Kirchhoff
Loi des courants
La somme algébrique des courants à un nœud d’un circuit
électrique est égale à zéro en tout temps.
i2
i1
i5
i3
i4
i1 – i2 + i3 + i4 – i5 = 0
Loi des tensions
La somme algébrique des tensions dans un parcours fermé
d’un circuit électrique est égale à zéro en tout temps.
v2
+
b
c
v1
+
+
-
-
a
+ v4 -
d
v3
- v1 + v2 + v3 – v4 = 0
6/73
Gustav Kirchhoff-Savard 1824-1887
7/73
Lois de Kirchhoff-lois de Maxwell
Loi des courants
provient de la 3e loi de Maxwell (dite de Gauss)
sur les charges électriques en version statique (dE/dt=0)
 
∫ D ⋅ dS = [Q]V
donc



d
dD 
dE
d
D
⋅
d
S
=
⋅
d
S
=
ε
=
0
=
[Q]v = ∑ Ik
∫
∫
∫



dt
dt
dt
dt
k
Loi des tensions
provient de la 1ère loi de Maxwell (dite de Faraday ou d’induction)
en version statique (dH/dt=0)


 

d
dH 
∫ E ⋅ d  = − dt ∫∫S B ⋅ dS = − µ ∫∫S dt ⋅ dS = 0
avec
b
 
∫ E ⋅ d  = Vab
a
8/73
James Clerk Maxwell-Grenier
1831-1879
9/73
Exemple
Déterminer i3, i4, i6, v2, v4 et v6
3V
+
-
+
2A
3V
-
v2
-
1A
6V
-
i4
+
-
+
+
i3
v4
i3 = -3 A, i4 = 3 A, i6 = 4 A,
1A
v6
i6
-
+
v2 = -3 V, v4 = -6 V, v6 = 6 V
10/73
Exemple avec éléments
11/73
Dipôles équivalents
12/73
Relation v-i d’un dipôle
Que contient ce dipôle?
13/73
Équivalents séries
14/73
1. Équivalent série de résistances
R1
i
+
+ v
1
i
-
+
v2
V
-
+
-
v3
+
R2
V
-
Req
-
R3
Req = R1 + R2 + R3
15/73
2. Équivalent série de condensateurs
i
+
v
-
i
v1
v2
vN
+
-
C1
-
C2
+
+
-
+
v
CN
Ceq
N
1
1
=∑
Ceq k =1 Ck
16/73
3. Équivalent série d’inductances
i
+
v
-
i
v1
L1
v2
L2
vN
LN
+
v
Leq
N
Leq = ∑ Lk
k =1
17/73
Diviseurs de tension
18/73
1. Diviseur de tension par résistances
R1
i
+
+ v
1
-
v2
v
-
+
-
v3
+
R2
Rk
vk =
v
R1 + R2 + R3
-
R3
Req = ∑ Rk
k
Rk
vk =
Req
19/73
2. Diviseur de tension par condensateurs
i
+
v
-
vk =
v1
v2
vN
+
-
C1
-
C2
+
+
CN
-
Ceq
Ck
v
1
1
=∑
Ceq
k Ck
20/73
3. Diviseur de tension par inductances
i
+
v
-
v1
L1
v2
L2
vN
LN
Lk
vk =
v
Leq
Leq = ∑ Lk
k
21/73
Équivalents parallèles
22/73
1. Équivalent parallèle de résistances
i
i
+
+
i1
i2
+
+
v
v1
R1 v2
-
v
R2
Req
-
-
-
1
1
1
= +
Req R1 R2
23/73
2. Équivalent parallèle de condensateurs
i
i
+
+
i1
v
v1
+
-
i2
C1 v2
+
-
C2
-
v
Ceq
-
Ceq = C1 + C2
24/73
3. Équivalent parallèle inductances
i
i
+
v
+
i2
i1
L1
L2
v
Leq
-
-
1
1 1
= +
Leq L1 L2
25/73
Diviseurs de courant
26/73
1. Diviseur de courant par résistances
i
+
i1
i2
+
+
v
v1
R1 v2
R2
-
-
i1 =
ik =
Req
Rk
R2
i
R1 + R2
i
27/73
2. Diviseur de courant par condensateurs
i
+
i1
v
v1
+
-
i2
C1 v2
+
-
C2
-
Ck
ik =
i
Ceq
28/73
3. Diviseur de courant par inductances
i
+
i2
i1
v
L1
L2
-
ik =
Leq
Lk
i
29/73
Récapitulatif
Élément
Résistance
Équivalent
série
N
Req = ∑ Rk
Diviseur de
tension
vk =
k =1
Inductance
N
Leq = ∑ Lk
Condensateur
1
1
=∑
Ceq k =1 Ck
N
∑R
vk =
v
k
k =1
k =1
N
Rk
Équivalent
parallèle
Lk
N
∑ Lk
v
N
1
1
=∑
Req k =1 Rk
ik =
N
1
1
=∑
Leq k =1 Lk
ik =
k =1
vk =
1
N
1
Ck ∑
k =1 C k
v
Diviseur de
courant
N
Ceq = ∑ Ck
k =1
1
i
N
1
k =1 Rk
Rk ∑
1
i
N
1
k =1 Lk
Lk ∑
ik =
Ck
i
N
∑C
k =1
k
30/73
Équivalents de sources
31/73
Équivalent série de sources de tension
32/73
Exemple 2 sources V en série
33/73
Équivalent parallèle de sources de courant
34/73
Transformations de sources
35/73
Équivalence de sources réelles
Sous certaines conditions, la source de tension non idéale
et la source de courant non idéale sont équivalentes.
Conditions: R p = Rs
et
vs = Rs is
36/73
Équivalence de sources réelles
Rs
V
I
+
Vs
+
Vs
V
−
Vs /
R
−
+
Rp
s
V
I
Is
I
R p Is
V
−
Is
I
37/73
Méthode de transformation
38/73
Théorème de Thévenin
39/73
Équivalent Thévenin
Tout dipôle qui comporte uniquement des résistances électriques et des
sources indépendantes et commandées est équivalent à une unique
source de tension idéale VT (tension de Thévenin) en série avec une
resistance RT (résistance de Thévenin).
Circuit inconnu
a
b
+
a
+
-
VT
-
RT
a
b
Circuit équivalent
Thévenin
b
40/73
Utilité de l’équivalent Thévenin
1. Décomposition d’un circuit complexe en parties simples:
Circuit
A
+
VT
-
RT
Circuit
B
Circuit
A
+
Circuit
B
VT
-
+
-
v
RT
2. Transfert maximal de puissance:
Optimisation du transfert de puissance vers une charge résistive
après avoir identifié RT.
+
VT
-
RT
Rch
41/73
Comment identifier un circuit équivalent Thévenin ?
Cas 1: Sources indépendantes seulement…
+
VT
-
RT
a
VT ? R T ?
b
VT = tension aux bornes du dipôle en circuit ouvert
RT = résistance équivalente du dipôle lorsque toutes les
sources indépendantes du dipôle sont annulées.
42/73
Comment identifier un circuit équivalent Thévenin ?
Cas 1: Sources indépendantes seulement
Comment annule-t-on les sources de tension et de courant ?
+
Vs = 0 V
is = 0
-
Court circuit
Circuit ouvert
Attention
On ne peut mettre à zéro une source commandée:
cela reviendrait aussi à mettre à zéro la variable de commande.
43/73
Exemple 1 (source indépendante seulement)
Diviseur de tension
R1
V
R2
Circuit équivalent
RT
a
Rch
a
Rch
VT
b
R2
VT =
V
R1 + R2
R1 R2
RT =
R1 + R2
44/73
Exemple 2
Trouver le courant i dans R en utilisant le théorème de Thévenin
R1
R2
i
+
Vs
-
R3
1. Tension Thévenin ?
R
VT =
R3
Vs
R1 + R3
2. Résistance Thévenin ?
R1 R3
RT =
+ R2
R1 + R3
3. Courant dans la charge R ?
VT
i=
R + RT
45/73
Exemple 3
Déterminer le courant i en réduisant le circuit de droite
à sa forme la plus simple.
i
5Ω
30 Ω
+
+
5V
20 Ω
-
3V
-
i = 224 mA
46/73
Exemple 4
Trouver l’équivalent Thévenin
is = 2 A, R1 = 6 Ω, R2 = 3 Ω, R3 = 2 Ω, vs = 6 V
is
vs
R3
+
R1
a
R2
R
b
RT = 4 Ω
VT = 6 V
47/73
Comment identifier un circuit équivalent Thévenin ?
Cas 2: Sources indépendantes et commandées ou sources indépendantes seules
+
VT
-
RT
a
VT ? R T ?
b
1 - Circuit ouvert
Circuit ouvert ó R infinie entre a et b
On calcule la tension Vab-co
2 - Court-circuit
Court-circuit ó R nulle entre a et b
On calcule le courant Iab-cc
VT = Vab-co
Vab−co
RT =
I ab−cc
48/73
Exemple 1 (présence de source commandée)
Trouver l’équivalent Thévenin
2i
6Ω
-
+
-
20 V
10 Ω
+
6Ω
a
i
b
VT = 12 V
RT = 13.6 Ω
49/73
Transfert maximal de
puissance
50/73
Transfert maximal de puissance
RT
i
+
VT
R
-
Puissance dans la charge R
⎛ VT ⎞
⎟⎟
P = R ⎜⎜
⎝ RT + R ⎠
2
51/73
Transfert maximal de puissance (suite)
R = RT
Puissance maximale
dP/dR=0
Pmax
VT2
=
4 RT
P
Pmax
VT2
=
4 RT
RT
RT
RT
R
52/73
Rendement de Thévenin pour un
transfert maximal de puissance
Le rendement de transfert de puissance est
psortie
η=
pentrée
Lors d’un transfert maximum de puissance, la puissance d’entrée est
pentrée =
v T2
2 RT
Lors d’un transfert maximum de puissance, la puissance de sortie est
psortie = pmax =
v T2
4 RT
Rendement maximal de Thévenin = 50%
53/73
Exemple 1:
Un circuit électrique est connectée à une résistance variable,
la puissance fournie à la résistance a été mesurée telle que donnée sur
la figure. Déterminer le circuit équivalent de Thévenin.
P (W)
12.5
1
2
3
4
5
6
R (Ω)
54/73
Exemple 2:
Déterminer la charge Rch qui permettra un transfert maximal de
puissance pour le circuit suivant. Déterminer la puissance maximale
transférée. Déterminer le rendement de transfert de puissance de la
source Vs vers la charge Rch.
30 Ω
a
+
Vs = 180 V
-
Rch
150 Ω
b
Pmax = 225 W
Rch = RT = 25 Ω
Rendement = 35.7 %
55/73
Exemple 2:
Déterminer la charge Rch qui permettra un transfert maximal de
puissance pour le circuit suivant. Déterminer la puissance maximale
transférée. Déterminer le rendement de transfert de puissance de la
source Vs vers la charge Rch.
3A
+
Vs = 8 V
-
2Ω
18W
a
1A
2A
2Ω
Rch
2W
4W
b
Rch = RT = 1 Ω
VT = 2/(2+2)*8=4V
Pmax= VT2/4RT= 4W
Pin= 8*(8/(2+2||1))
= 8*3=24W
Rendement = 16.7%
56/73
Circuit Équivalent de Norton
57/73
Équivalent Norton
Tout dipôle qui comporte uniquement des résistances électriques et
des sources indépendantes et commandées est équivalent à une
unique source de courant idéale iN (courant de Norton) en parallèle
avec une resistance RN (résistance de Norton).
a
+
b
a
iN
RN
b
Circuit équivalent
Norton
58/73
Comment identifier un circuit équivalent Norton ?
Cas 1: Sources indépendantes seulement
a
iN
RN
IN ?
RN ?
b
iN = courant en court-circuit du dipôle
RN = résistance équivalente du dipôle lorsque toutes les
sources indépendantes du dipôle sont annulées.
59/73
Exemple 1
R1 = 8 kΩ
a
+
Vs = 15 V
R2 = 6 kΩ
R3 = 4 kΩ
b
RN = 4 kΩ
iN = 1.25 mA
60/73
Exemple 2
Déterminer la puissance maximale transférable à une charge Rch en
utilisant un circuit équivalent Norton du circuit suivant.
3Ω
5.6 A
30 Ω
a
150 Ω
Rch
b
Pmax = 175 W
61/73
Comment identifier un circuit équivalent Norton ?
Cas 2: Sources indépendantes et commandées ou sources indépendantes seules
a
iN
iN ?
RN
RN ?
b
1 - Court-circuit
Court-circuit ó R nulle entre a et b
On détermine le courant iab-cc
2 - Circuit ouvert
Circuit ouvert ó R infinie entre a et b
On détermine la tension vab-co
iN = iab-cc
RN =
Vab−co
iab−cc
62/73
Exemple 1
Trouver l’équivalent Norton vu des bornes a et b puis
estimer la puissance maximale transférable à une charge Rch
10 ix
ix
a
+
16 V
-
0.9 A
Rch
3Ω
2Ω
b
Pmax = 0.75 W
63/73
Exemple 2
Trouver l’équivalent Norton vu des bornes a et b.
2i
4Ω
1Ω
+ 6Ω
2.5 A
i
a
3Ω
b
IN = 1 A
RN = 3 Ω
64/73
Équivalents Thévenin et Norton
Thévenin
+
VT
-
RT
Norton
a
b
VT = Vco
a
RN
iN
b
IN = Icc
Remarques
RT = RN
(Résistances Thévenin et Norton)
VT = RN iN
(Sources Thévenin et Norton)
65/73
Principe de superposition
Systèmes linéaires
Système
Entrée
x
F
Sortie
y
y = F(x)
Définition d’un système linéaire
Superposition:
alors
x1
y1
x2
y2
x1 + x2
Homogénéité:
x
alors
K.x
y1 + y2
y
K.y
67/73
Exemple d’un système linéaire
Déterminer si la loi d’Ohm est linéaire:
v=Ri
Système
Entrée
i
Superposition ?
x
R
Sortie
v
Homogénéité ?
68/73
Exemple d’un système non linéaire
La dissipation d’une puissance dans une résistance est-elle linéaire?
p = R i2
Système
Entrée
i
Superposition ?
[ ]2 x R
Sortie
p
Homogénéité ?
69/73
Linéarité des circuits électriques
Résistance
v=Ri
Condensateur
dv
i=C
dt
Inductance
di
v=L
dt
Transformateur idéal
Source commandée
v1 = a v2
i2
et i1 = −
a
v2 = µ v1
i2 = g m v1
v2 = rm i1
i2 = α i1
70/73
Systèmes linéaires
•  Circuit avec deux sources: Vs1 et Vs2
(ça pourrait être une source tension et une source courant cependant)
(il pourrait aussi y avoir plusieurs sources de tout acabit)
•  Sortie: I1, le courant traversant R1
(ça pourrait être une autre résistance, ou même une tension)
•  I1 = aVs1 + bVs2
•  a et b déterminées par superposition des sources
–  on annule la source Vs2 (Vs2=0), I1=aVs1
–  on annule la source Vs1 (Vs1=0), I1=bVs2
71/73
Principe de superposition
Lorsqu’un circuit électrique linéaire est excité par plusieurs sources,
l’analyse du circuit peut être effectuée en considérant une seule source
indépendante à la fois, les autres sources indépendantes étant annulées.
La réponse totale sera égale à la somme de toutes les réponses individuelles.
Exemple 1: Sources indépendantes seulement
Trouver le courant i en utilisant le principe de superposition.
R1
+
Vs
-
R2
Is
Vs + R1 I s
i=
R1 + R2
i
72/73
Exemple 2
Sources indépendantes et commandées
Trouver le courant i en utilisant le principe de superposition.
i
R1
R2
+
Vs
-
+
Is
-
3i
Vs − R2 I s
i=
R1 + R2 + 3
73/73
Pour en savoir plus
  Circuits électriques, Hoang Le-Huy, Les presses de
l’Université Laval, 2004.
  Introduction to electric circuits, Dorf R.C., Svoboda J.A.,
Wiley, 2004.
  The analysis and design of linear circuits, Thomas R.E.,
Rosa A.J., Wiley, 2004.
74/73