Activité I. ALGORITHME DES DIFFERENCES

PGCD
3ème
Activité
I. ALGORITHME DES DIFFERENCES
a. Une propriété utile
þ Exemple :
•
Ecrire les diviseurs de 42 :
•
Ecrire les diviseurs de 98 :
•
Ecrire les diviseurs communs de 42 et 98 :
•
En déduire PGCD (42 ; 98) =
•
Ecrire les diviseurs de 98 - 42 c’est à dire de 56 :
•
Ecrire les diviseurs communs de 42 et 98 - 42 :
•
En déduire PGCD (42 ; 98 – 42) =
•
Conclusion :
Propriété :
 a et b (avec b < a ) ont les mêmes diviseurs communs que ...
 PGCD (a ; b) = ...
b. Applications
þ Exercice 1 : En utilisant la propriété précédente et le tableau suivant trouver le PGCD (192 ; 120)
a
b
a-b
192
120
72
120
72
Donc PGCD (192 ; 120) =
þ Exercice 2 : En utilisant la propriété précédente et le tableau suivant trouver le PGCD (1512 ; 1288)
a
b
a-b
Donc PGCD (1512 ; 1288) =
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PGCD
3ème
Activité
II. ALGORITHME D’EUCLIDE
On remarque que le nombre 224 apparaît 5 fois de suite dans la colonne b ; voici un autre algorithme qui
permet d’accélérer la méthode. Pour cela on utilise la division euclidienne.
þ Exercice 1 : En utilisant la division euclidienne et le tableau suivant trouver le PGCD (1512 ; 1288)
a
b
reste
Division euclidienne
1512
1288
224
1512 = 1288 x 1 + 224
1288
224
168
1288 = 224 x 5 + 168
224
168
Donc PGCD (1512 ; 1288) =
þ Exercice 2 : En utilisant la division euclidienne et le tableau suivant trouver le PGCD (86 ; 16)
a
b
reste
Division euclidienne
Donc PGCD (86 ; 16) =
þ Exercice 3 : En utilisant la division euclidienne et le tableau suivant trouver le PGCD (2695 ; 1260)
a
b
reste
Division euclidienne
Donc PGCD (2695 ; 1260) =
L’algorithme d’EUCLIDE
Propriété : Si r est le reste de la division euclidienne de a par b (avec b < a) ,
alors PGCD (a ; b) = ....
Le PGCD est ...
III. APPLICATIONS
1. Avec l’algorithme d’Euclide, calculer PGCD (294 ; 70), PGCD (631 ; 203) et PGCD (741 ; 198)
2. Rendre irréductible les fractions suivantes en UNE SEULE étape :
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70
203
198
;
;
294
631
741