5 Méthode du gradient conjugué

Universit´ e Pierre et Marie Curie
Ann´ ee universitaire 2011-2012
LM 335 : Calcul num´ erique matriciel
Travaux pratiques (Scilab)
5 M´ ethode du gradient conjugu´ e
Exercice 5.1 On se propose de r´ esoudre le syst` eme Ax =b, o` uAest une matrice r´ eelle sym´ etrique
d´ efinie positive de taille n×net bun vecteur de Rn, par la m´ ethode du gradient conjugu´ e. La m´ ethode
de gradient utilis´ ee pour r´ esoudre le syst` eme Ax =bpeux aussi ˆ etre vue comme une m´ ethode pour
minimiser la fonction fd´ efinie par
x∈Rn, f(x) = 1
2hAx, xi−hb, xi.
La m´ ethode du gradient conjugu´ e est d´ efinie comme suit : Soit x0∈Rndonn´ e. On construit les suites
de vecteurs de Rn(xk)k,(rk)ket (pk)kpar p0=r0=b−Ax0, puis, pour k≥0,
xk+1 =xk+αkpk,
rk+1 =rk−αkApk,
pk+1 =rk+1 +βkpk,
(1)
o` uαk=krkk2
<Apk,pk>et βk=krk+1k2 krkk2. Les it´
erations (1) sont r´ ep´ et´ ees jusqu’a ce qu’un crit` ere d’arrˆ et soit
satisfait.
1. Programmer la m´ ethode de gradient conjugu´ e dans une fonction
[x, iter] = GradientConj(A, b, tol, iterMax, x0)
o` ux0est le vecteur initial, xest la solution propos´ ee par la m´ ethode du gradient conjug´ e au
bout d’un nombre d’it´ erations iter. Les it´ erations de la m´ ethode du gradient conjugu´ e s’arrˆ etent
si ||b−Ax||2≤tol ou si le le nombre maximal d’it´ erations iterMax est atteint.
2. On souhaite maintenant voir l’impact du condionnement de la matrice A sur la performance
de la m´ ethode du gradient conjugu´ e. On s’int´ eressera plus particuli` erement ` a la r´ esolution du
syst` eme Ax = (0,...,0). La solution de ce syst` eme est xexact = (0,...,0). On construit la
matrice Ade la fac¸on suivante :
A=U∗diag(α0= 1, . . . , α
i−1
n−1, . . . , α)U ,
o` uUest une matrice orthogonale, i.e., U∗=U−1et α≥1. On a donc
cond2(A) = cond2(diag(1 = α0, . . . , α(i−1)/(n−1), . . . , α)) = α .
R´ esoudre le syst` eme Ax = (0,...,0) pour plusieurs conditionnements i.e. plusieurs valeurs
de αpuis tracer le nombre d’it´ erations iter n´ ecessaires pour atteindre la tol´ erance tol (On
prendra iterMax assez grand pour assurer que l’arrˆ et de l’algorithme du gradient conjugu´ e soit
uniquement dˆ u au fait que la tol´ erance tol soit atteinte).
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