Sous r´eserve que la diff´erence divis´ee f[α, β] soit non nulle, cela conduit `a une solution ap-
proch´ee : α−f(α)
f[α, β].
On recommence le proc´ed´e avec un support αn,βnam´elior´e `a chaque it´eration.
6.2.1 M´ethode de Newton (tangente)
On utilise `a chaque it´eration le support xn,xn. La formule pour xn+1 :
xn+1 =xn−f(xn)
f′(xn).
Etude de l’erreur : si ℓest solution, et en=ℓ−xn, alors :
en+1 =−1
2
f′′ (un)
f′(xn)e2
n, a < un< b .
Th´eor`eme 6.2.1 Si f: [a, b]→[a, b]est une fonction de classe C2, avec : f(a)f(b)<0,f′et f′′
de signe constant sur [a, b], et
f(a)
f′(a)
< b −a ,
f(b)
f′(b)
< b −a ,
alors il y a une unique solution dans l’intervalle, et la m´ethode de Newton converge vers cette
solution avec une vitesse au moins quadratique.
Entr´ee: terme initial x0et fonction f;
Sortie:net xn;
n←0 ; x←x0;
Initialisation du bool´een arrˆet;
tantque arrˆet vaut F alse faire
x←x−f(x)
f′(x);n←n+ 1;
mise `a jour de arrˆet;
ftantque
retourner n, x;
Exercice 6.2.2 On souhaite illustrer la convergence quadratique. Nous utiliserons pour cela un
logiciel permettant une pr´ecision arbitraire tel que xcas.
1) Pour n’effectuer ce calcul qu’une seule fois, affectez `a la variable sq2 une valeur approch´ee
de sqrt2avec 1000 chiffres.
2) Programmez la m´ethode de Newton pour la fonction x2−2, et v´erifiez qu’elle fonctionne.
3) a) Adaptez maintenant votre programme pour qu’il calcule la suite unavec 1000 chiffres.
b) Affichez `a chaque it´eration la diff´erence un−sq2avec 15 chiffres significatifs.
c) Commentez la convergence quadratique. En combien d’it´erations obtenez vous 1000 chiffres
exacts pour sqrt2?
6.2.2 M´ethode de Lagrange (s´ecante)
On utilise `a chaque it´eration le support xn,xn−1. La formule pour xn+1 :
xn+1 =xn−f(xn)
f[xn, xn−1].
Etude de l’erreur : si ℓest solution, et en=ℓ−xn, alors :
en+1 =−1
2
f′′(un)
f′(vn)enen−1, a < un, vn< b .
3