Chapitre 2 Arithmétique et congruences

Chapitre 2
Arithm´etique et congruences
L’arithm´etique est la branche des math´ematiques qui ´etudie les diff´erentes questions
relatives `a l’ensemble des nombres entiers (l’ensemble Z={...;−2; −1; 0; 1; 2; ...}), no-
tamment la probl´ematique de la divisibilit´e. Elle est un des domaines scientifiques les
plus anciens. Ses probl`emes internes ont motiv´e durant des si`ecles des d´eveloppements
fondamentaux dans diverses parties des math´ematiques. Plus r´ecemment, des probl`emes
concrets li´es `a l’informatique, l’´electronique ainsi qu’`a la repr´esentation, la compression,
l’int´egrit´e et la confidentialit´e des donn´ees, ont ´et´e r´esolus dans le cadre de l’arithm´etique.
2.1 Division euclidienne
Le th´eor`eme suivant, sur lequel repose une partie de l’arithm´etique, reprend la notion
de division euclidienne (c’est-`a-dire avec quotient et reste) telle qu’on l’apprend `a l’´ecole
primaire.
Th´eor`eme 2.1 (Division euclidienne)
Soient a, b ∈Navec b > 0. Il existe q, r ∈Ntels que l’on ait :
1. a=b·q+r,
2. 0 6r < b.
De plus, qet rsont uniques pour cette propri´et´e.
D´efinition 2.1
L’op´eration qui `a aet bassocie qet rv´erifiant a=bq +ret 0 6r < b s’appelle la
division euclidienne (ou division enti`ere) de apar b. Dans cette op´eration, on dit que
aest le dividende,ble diviseur,qle quotient et rle reste.
Si on prend a,b,cet dappartenant `a Z, on doit modifier un peu le th´eor`eme 2.1.
Th´eor`eme 2.2
Soient a, b ∈Zavec b6= 0. Il existe q, r ∈Ztels que l’on ait :
1. a=b·q+r,
2. 0 6r < |b|.
De plus, qet rsont uniques pour cette propri´et´e.
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App. des math´ematiques, SAM 1`ere ann´ee 2.2. Multiple et diviseur
Exemples
a) A l’´ecole primaire, on pratique la division euclidienne selon le sch´ema suivant :
1 6 3 7
−1 4 2 3
2 3
−2 1
2
On dit alors que 163 ÷7 = 23 Reste : 2. Ceci s’´ecrit plus proprement sous la
forme donn´ee par le th´eor`eme : 163 = 7 ·23 + 2.
b) 17 = 5 ·3 + 2. Ici : a= 17 (le dividende), b= 5 (le diviseur), q= 3 (le
quotient) et r= 2 (le reste).
c) −17 = (−5) ·4 + 3. Ici : a=−17,b=−5,q= 4 et r= 3.
d) 17 = (−5) ·(−3) + 2. Ici : a= 17,b=−5,q=−3et r= 2.
e) −17 = 5 ·(−4) + 3. Ici : a=−17,b= 5,q=−4et r= 3.
2.2 Multiple et diviseur
D´efinition 2.2 (Rappel)
Soient aet bdeux nombres entiers non nuls (a, b ∈Z), alors :
1. aest un multiple de bs’il existe un nombre entier qtel que a=b·q.
2. best un diviseur de as’il existe un nombre entier qtel que a=b·q.
On note b|a.
Exemples
a) 32 est un multiple de 8, car 32 = 4 ·8.
b) 7 est un diviseur de 21, car 21 = 7 ·3.
Remarques
a) Il est ´equivalent de dire que aest un multiple de bou best un diviseur de a.
b) Si b6= 0, dire que bdivise asignifie que, dans la division euclidienne de apar b, le
reste est nul.
c) On notera que tout entier n∈Zdivise 0, que 0 ne divise que lui-mˆeme et que les
nombre 1 et −1 divisent tous les entiers.
d) Le signe des nombres n’a pas d’importance pour la relation de divisibilit´e. On a effet
les ´equivalences :
b|a⇐⇒ −b|a⇐⇒ b| − a⇐⇒ −b| − a
e) Si aet bsont >0, on note que b|aimplique b6a.
Proposition 2.3
Soit n∈Z. On a les propri´et´es suivantes :
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App. des math´ematiques, SAM 1`ere ann´ee 2.3. PPMC, PGDC et nombres premiers
1. Si ndivise aet b, alors ndivise a+bet a−b.
2. Si ndivise aet si λest un entier quelconque, alors ndivise λa.
Ceci revient `a dire que, si ndivise aet b, alors ndivise toute combinaison lin´eaire ua +vb
de aet b, avec u, v ∈Z.
D´emonstration. On d´emontre ici la premi`ere partie de la proposition. Les deux autres
parties de la proposition se d´emontrent de mani`ere analogue.
Si ndivise aet b, il existe qaet qbtels que :
a=n·qaet b=n·qb
Or, on peut ´ecrire la somme de aet bcomme :
a+b=n·qa+n·qb=n·(qa+qb)
comme qa+qb∈Z,ndivise a+b.
2.3 PPMC, PGDC et nombres premiers
D´efinition 2.3 (Rappel)
1. Un multiple commun de plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui est
multiple de chacun d’eux. Le plus petit multiple commun (positif) de plusieurs
nombres est appel´e le ppmc de ces nombres. Pour deux nombres aet b, on le note
P P MC(a, b).
2. Un diviseur commun de plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui est
diviseur de chacun d’eux. Le plus grand diviseur commun (positif) de plusieurs
nombres est appel´e le pgdc de ces nombres. Pour deux nombres aet b, on le note
P GDC(a, b).
Exemples
a) 36 est le ppmc de 3, 9 et 12.
b) 8 est le pgdc de 16, 24 et 40.
D´efinition 2.4
Un nombre entier naturel pest premier s’il admet exactement deux diviseurs, 1 et lui-
mˆeme.
Remarques
1. Convention : on d´eclare que le nombre 1 n’est pas un nombre premier.
2. Voici les 18 premiers ´el´ements de l’ensemble des nombres premiers :
P={2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 47; 53; 59; 61; ...}
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App. des math´ematiques, SAM 1`ere ann´ee 2.3. PPMC, PGDC et nombres premiers
Propri´et´es
1. Tout entier naturel nsup´erieur ou ´egal `a 2 admet au moins un diviseur premier. De
plus, le plus petit diviseur de ndiff´erent de 1 est un nombre premier.
2. Il existe une infinit´e de nombres premiers.
D´emonstration. Nous allons d´emontrer les 2 propri´et´es ci-dessus. On doit la deuxi`eme
partie de la d´emonstration `a Euclide.
1. Soit nun nombre naturel. Par l’absurde, supposons que le plus petit diviseur de n
diff´erent de 1, not´e d, n’est pas premier. Ainsi, nne pourrait pas ˆetre premier non
plus (car si nest premier, alors son plus petit diviseur diff´erent de 1 est lui-mˆeme) et
le fait que ddivise nse traduirait par
n=d·q
avec 1 < d 6q < n. En effet, d´etant le plus petit diviseur de ndiff´erent de 1, on a
bien d6q. De plus, puisque dn’est pas premier, on a
d=a·b
avec 1 < a, b < d. Ainsi, on aurait
n=a·b·q
avec 1 < a, b < d 6q. Ce qui montre que aet bseraient des diviseurs de ndiff´erents de
1 plus petits que d. C’est une contradiction avec le fait que dest le plus petit diviseur
de ndiff´erent de 1.
Ainsi, soit nest un nombre premier et son plus petit diviseur diff´erent de 1 est lui-
mˆeme, soit nn’est pas premier et admet au moins un diviseur premier (au moins le
plus petit des diviseurs) diff´erent de 1 et de lui-mˆeme.
2. Supposons que l’ensemble des nombres premiers soit fini. Il contient nnombres pre-
miers p1, p2,...,pn.
Posons N=p1·p2·...·pn+ 1. Nn’est pas premier par hypoth`ese. Nadmet donc au
moins un diviseur premier piqui doit ˆetre p1,p2, . . . ou pn:N=q·pi. Ainsi,
1 = N−p1·p2·...·pn=q·pi−p1·p2·...·pn
1 = pi(q−p1·p2·...·pi−1·pi+1 ·...·pn)
De 1 = pi(q−p1·p2·...·pi−1·pi+1 ·...·pn), on tire que pidivise 1, ce qui est impossible.
Th´eor`eme 2.4 (Th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique)
Tout nombre entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2 peut s’´ecrire comme un produit de
nombres premiers. Cette d´ecomposition est unique `a l’ordre des facteurs pr`es.
On appelle cette d´ecomposition la d´ecomposition en facteurs premiers du nombre.
Exemples
- La d´ecomposition de 720 en facteurs premiers est : 720 = 24·32·5.
- La d´ecomposition de 4200 en facteurs premiers est : 4200 = 23·3·52·7.
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App. des math´ematiques, SAM 1`ere ann´ee 2.3. PPMC, PGDC et nombres premiers
D´efinition 2.5
Soient a, b ∈Z. On dit que aet bsont premiers entre eux si l’unique diviseur commun
de aet b(dans N) est 1.
Exemple
12 et 25 sont premiers entre eux.
Proposition 2.5
Soient a, b ∈Zavec b6= 0 et effectuons la division euclidienne de apar b:
a=b·q+r, avec 0 6r < |b|.
1) Les diviseurs communs de aet bsont les mˆemes que ceux de bet r.
2) On a P GDC(a, b) = P GDC(b, r).
D´emonstration. La deuxi`eme assertion r´esulte ´evidemment de la premi`ere. Pour celle-ci,
on note que si ddivise aet b, il divise bet r=a−bq. De mˆeme, si ddivise bet r, il
divise bet a=bq +r.
2.3.1 Algorithme d’Euclide (recherche du PGDC)
Cet algorithme permet de d´eterminer le PGDC de deux nombres aet ben effectuant
plusieurs divisions euclidiennes o`u `a chaque ´etape le diviseur est remplac´e par le reste
et le dividende par le diviseur. On arrˆete les divisions quand le reste est nul, le dernier
diviseur est le PGDC.
Algorithme d’Euclide
Donn´ees : Deux entiers aet bnon nuls (a, b ∈Z), avec |a|>|b|.
R´esultat : Le plus grand diviseur commun de aet b:d=P GDC(a, b).
(1) Initialisation : On effectue la division de apar b:a=bq0+ravec 0 6r < |b|.
On pose r0:= bet r1:= r.
On pose ´egalement i:= 1.
(2) Tant que ri6= 0 faire :
(2.1) Effectuer la division euclidienne ri−1=riqi+ri+1 avec 0 6ri+1 < ri.
(2.2) Poser i:= i+ 1.
(3) Retourner d=|ri−1|comme r´esultat.
Cet algorithme est correct car d=P GDC(a, b) = P GDC(r0, r1) = P GDC(r1, r2) =
P GDC(r2, r3) = .... De plus, comme 0 6ri+1 < ri< . . . < r2< r1< r0, on voit que l’on
obtient n´ecessairement un reste nul au bout d’au plus r0op´erations. Si on d´esigne par rnle
dernier reste non nul, on a donc rn−1=rnqn. Ainsi rn|rn−1et d=P GDC(rn−1, rn) = rn.
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