ANALYSE avec ultrapetits - Analysis with ultrasmall numbers

ANALYSE
avec
ultrapetits
Introduction pour l’enseignant
Richard O’Donovan
27 juin 2016

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Table des matières
I Principes de base 4
II La dérivée 8
III Continuité 12
IV L’intégrale 15
V Limite 18
VI Équivalence des définitions de la limite 19
VII Corrigés des exercices 20
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Première partie
Principes de base
L’observabilité est une primitive de cette approche. La métaphore d’échelle d’observation peut
être utile. Il y a les objets que l’on voit à l’œil nu. Puis il y a aussi des objets si petits ou des objets
si lointains que l’on a besoin d’une aide optique (microscope ou télescope) : une autre échelle
d’observation. Mais il y a encore des objets encore plus petits ou des objets encore plus lointains
qui nécessitent une aide électronique : les microscopes électroniques ou les radio-télescopes :
là aussi, une nouvelle échelle d’observation.
Les propriétés suivantes sont les conséquences d’axiomes ajoutés aux axiomes classiques de
la théorie des ensembles. Lorsqu’on enseigne l’analyse il est coutumier de présenter non pas
les axiomes, mais leurs conséquence en termes de propriétés des nombres réels. Les principes
suivants seront donc considérés axiomatiquement.
Principe de clôture (1)
Les nombres définis sans référence à l’observabilité sont toujours observables (ou standards).
Ceci permet de qualifier les nombres que l’on connaît déjà.
Les nombres « familiers » tels que 1; 3; 1010;√2ou πsont donc toujours observables (ou
standards).
Définition 1
Le contexte d’une propriété, fonction ou ensemble est la liste des paramètres utilisés dans sa
définition. 1Le contexte peut être vide.
Un contexte est étendu si des paramètres sont ajoutés à la liste.
Le mot « observable » se réfère toujours, par convention, à un contexte. Déterminer le contexte
suppose de pouvoir dire de quoi l’on parle et ce que l’on en dit.
Existence et comparabilité des niveaux d’observation
—xest aussi observable que x.
— Etant donnée x1et x2, si x1n’est pas observable quand x2est observable, alors x2
est observable quand x1est observable.
— Si x1est aussi observable que x2et x2est aussi observable que x3, alors x1est aussi
observable que x3.
La première partie de cet axiome dit que tout nombre est observable dans un contexte. La
deuxième partie dit que quels que soient deux nombres (ou plus), il existe un contexte d’où ils
sont tous observables. La troisième partie fixe la transitivité de l’observabilité.
Si un nombre est calculé en utilisant certains paramètres (observables puisque dans le
contexte), le résultat (unique) sera observable. Les nombres non observable ne se montrent pas
s’ils ne sont pas explicitement convoqués.
1. On notera qu’on considère qu’au gymnase, les fonctions sont données par des règles. Les paramètres dans une
définition déterminent ce dont on parle.
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Exemple
Soit f:x7→ x2+ 3, Les constantes de fsont 2 et 3 qui sont toujours observables. Il n’y a pas
de paramètre. 4 est toujours observable. Le nombre f(4) est donc aussi toujours observable. En
générale, pour cette fonction sans paramètre, f(x)sera aussi observable que x.
Définition 2
Un nombre réel est ultrapetit s’il est non nul et plus petit en valeur absolue que n’importe quel
nombre observable positif.
Cette définition fait une référence implicite à un contexte.
Principe d’existence des ultrapetits
Quel que soit le contexte, il existe des réels ultrapetits.
En particulier, si εest ultrapetit relativement à un contexte contenant a, alors εn’est pas
observable dans ce contexte, ni a+ε. Mais, par clôture, aest observable dans le contexte étendu
contenant aussi ε.
Définition 3
Un réel est ultragrand s’il est plus grand en valeur absolue que n’importe quel nombre observable
positif.
4
!Notez que 0n’est pas ultrapetit. Cela se justifie en observant que l’inverse d’un
ultragrand est ultrapetit et qu’ainsi la réciproque est vraie.
4
!Notez aussi l’asymétrie : si hest ultrapetit dans le contexte de aalors il n’est pas
observable dans ce contexte. Mais, par comparabilité, aest observable dans le contexte de het
n’est donc pas ultragrand relativement à h.
ε1
ε
M1
M
Définition 4
Soit un contexte donné. Soient des réels aet b. On dit que aest ultraproche de b, noté
a'b,
si b−aest ultrapetit ou si a=b.
En particulier, x'0si xest ultrapetit ou nul.
Notation contextuelle
Les seules propriétés acceptables sont celles qui ne se réfèrent pas à l’observabilité ou celles
qui utilisent le symbole “'".
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