ACALCULIES Un examen rapide (mais réfléchi) du calcul

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Neurologies - Mai 2003 - Vol. 6
PRATIQUE
ACALCULIES
Un examen rapide (mais réfléchi) du calcul
Les troubles du calcul sont rarement l’objet d’une plainte en neurologie. Lorsque celle-ci est
exprimée par le patient, l’examen du calcul est souvent restreint dans le temps et devra donc être
particulièrement ciblé.
Cathy Lemer*
transcodage des nombres. Cette fonc-
tion, qui permet le passage d’un code
numérique à un autre, est utile quand
nous prenons note d’un numéro de
téléphone dicté (passage du code ver-
bal oral au code arabe), quand nous lisons
un nombre (passage du code arabe au
code verbal), ou quand nous rédigeons
un chèque (passage du code oral au code
verbal écrit et au code arabe).
On peut observer un trouble de la lec-
ture ou de l’écriture des nombres de
manière concomitante ou isolée d’un
trouble du langage. Une simple épreuve
de lecture et de dictée de quelques
chiffres et nombres permettront d’ob-
jectiver les capacités de transcodage.
Le modèle de Seron et Deloche pro-
pose un cadre d’interprétation direct
aux erreurs qu’on pourrait rencontrer
dans ce type de tâche. Ce modèle pos-
tule une activité de transcodage sub-
divisée en deux processus.
•• UUnn eexxeemmppllee ccoonnccrreett
Prenons le cas de la figure 1 qui sché-
matise l’aspect cognitif de la lecture à
haute voix du nombre “263”. Au nombre
écrit en chiffres arabes est appliqué un
“canevas” de lecture fixe qui indique
à quelle catégorie d’étiquettes lexi-
cales chaque chiffre fait référence dans
le cadre de notre système numérique
à valeur positionnelle. Dans notre
exemple, le “3” est reconnu comme fai-
sant référence à des unités, le “6” à des
dizaines et le “2” à des unités liées à
Les activités numériques ne consti-
tuent qu’exceptionnellement
une part importante d’un examen
neurologique. En effet, les troubles du
calcul font rarement l’objet d’une plainte
d’un patient, soit parce qu’il est masqué
par un trouble plus handicapant, soit parce
que ce trouble est vécu comme peu
important par le patient. Pourtant, dans
quelques cas, cette plainte apparaît et
peut laisser le praticien perplexe. Outre
le caractère peu courant de la plainte,
cette méconnaissance est légitimée par
l’intérêt récent pour
les activités numé-
riques en neuro-
psychologie. Dans
les cas où la plainte
ou l’importance des
nombres dans la vie
professionnelle du
patient amèneraient
le praticien à s’inté-
resser à ce domaine
précis, l’examen du
calcul sera sans
doute restreint en
temps et par là-même
devra être ciblé.
L’une des questions principales concer-
nera sans doute la distinction entre un
trouble du calcul primaire (acalculie
“vraie”) ou un trouble secondaire à
une autre atteinte (acalculie secon-
daire à un trouble aphasique, trouble
de la mémoire de travail, de l’atten-
tion…), mais le neurologue désirera
peut-être aller plus loin dans la des-
cription et la compréhension de l’acal-
culie primaire.
C’est dans cette optique que seront expo-
sés ci-après quelques aspects théoriques
et pratiques de l’examen du calcul.
LES MODÈLES COGNITIFS
Dans le cadre de la neuropsychologie
cognitive, trois principaux modèles
ont été proposés
dans le dernier quart
de siècle passé, il
s’agit du modèle de
transcodage asé-
mantique de Seron
et Deloche (1), du
modèle du triple
code de Dehaene et
Cohen (2, 3) et de
l’architecture modu-
laire pour le traite-
ment du nombre et
du calcul de Mc-
Closkey et collabo-
rateurs (4).
Nous décrirons les deux premiers
modèles qui permettent d’élaborer et
d’interpréter un court examen du cal-
cul.
■ Le modèle de transcodage
asémantique de Deloche
et Seron
L’une de nos activités numériques les
plus courantes est sans nul doute le
* Inserm U562 Neuro-imagerie Cognitive, Orsay et
Hôpital de la Salpêtrière, Paris
L’une des questions
principales concerne
la distinction entre
un trouble du calcul
primaire et un trouble
secondaire à
une autre atteinte.

235 Neurologies - Mai 2003 - Vol. 6
PRATIQUE
“cent”. Le lexique des nombres, quant
à lui, serait partagé en trois classes
distinctes : les unités, les particuliers
et enfin les dizaines.
Chaque nombre occuperait une place
particulière dans une de ces classes. Ainsi,
la troisième place de chacune de ces trois
classes serait affectée respectivement
au chiffre “3” pour la classe des unités,
au nombre “13” pour les particuliers et
enfin au nombre “30” dans la classe des
dizaines. Ces trois quantités - 3, 13 et
30 - occuperaient la même place mais
dans des classes différentes. A l’op-
posé, 12, 14 et 15, occuperaient des
places distinctes (la deuxième, la qua-
trième et la cinquième) dans une classe
commune, celle des particuliers.
Dans notre exemple de lecture du nombre
“263”, les étiquettes lexicales corres-
pondraient à la seconde étiquette dans
la pile des unités, à la sixième étiquette
de la pile des dizaines et à la troisième
à nouveau dans la pile des unités.
•• LLeess ttyyppeess dd’’eerrrreeuurr rreennccoonnttrrééss cchheezz
lleess ppaattiieennttss
Les erreurs commises par les patients
peuvent correspondre au choix d’une
mauvaise étiquette dans la bonne pile
ou à une erreur de pile. On parlera res-
pectivement d’erreurs de type lexical
et d’erreurs syntaxiques.
Les erreurs lexicales correspondent à
l’interversion d’une primitive lexicale
autre avec la primitive attendue (par
exemple “deux cent quatre” transcrit
“209”, ou “3005” transcrit “huit mille
cinq”).
Lorsqu’une erreur syntaxique est com-
mise, le choix des primitives lexicales
est correct mais c’est la structure atten-
due qui n’est pas respectée (par exemple
“deux cent quarante quatre” transcodé
“200404”, ou “204” lu “deux mille
quatre”).
On sera donc prudent, dans l’analyse
d’une tâche de transcodage, à non seu-
lement noter la réussite ou l’échec du
patient, mais également à noter le type
d’erreur qu’il commet.
■ Le modèle du triple code de
Dehaene et Cohen
Le modèle du triple code a été proposé
en 1992 par Stanislas Dehaene (2).
Trois ans plus tard, Dehaene et son
collaborateur, Laurent Cohen, adjoi-
gnent des corrélats anatomiques à leur
modèle fonctionnel (3).
Comme son nom l’indique, le modèle
du triple code se caractérise par le pos-
tulat de trois codes différents : un
code analogique, un code sous forme
de symboles arabes et un code ver-
bal (Fig. 2). Cette théorie postule que
chaque type de représentation est
impliqué dans un traitement numé-
rique particulier ; chaque opération
numérique (comparaison, soustraction,
multiplication…) est préférentielle-
ment liée à une des trois représenta-
tions. Les trois composantes possèdent
néanmoins des mécanismes de tra-
duction qui leur permettent de com-
muniquer directement entre eux. Si
un problème est présenté dans une
modalité qui ne correspond pas à la
tâche demandée, il est traduit dans la
modalité spécifique à la tâche avant
que le traitement subséquent ne
prenne place.
Le but d’un examen rapide des fonc-
tions numériques sera de tester a
minima chacune de ces trois repré- 
Figure 1 - Aspect cognitif de la lecture à haute voix du nombre “263”.
neuf 9
e
8
e
7
e
6
e
5
e
4
e
3
e
2
e
1
er
huit
sept
six
cinq
quatre
trois
deux
un
seize
quinze
quatorze
treize
douze
onze
particuliers
263
unités
quatre-vingt-dix
quatre- vingt
soixante- dix
soixante
cinquante
quarante
trente
vingt
dix
dizaines
deux “cent” - soixante - trois
2
e
U “cent” - 6
e
D - 3
e
U
Unités “cent” - dizaines - unités
Lexique sous forme de piles

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Neurologies - Mai 2003 - Vol. 6
PRATIQUE
sentations pour déterminer laquelle/les-
quelles pose(nt) problème au patient.
La représentation analogique est une
représentation sémantique non-ver-
bale de la taille des nombres qu’on
peut comparer à une ligne numérique
d’autant plus compressée et donc moins
précise qu’on avance dans les grands
nombres. Cette représentation est uti-
lisée dans la comparaison des nombres
et le calcul approximatif.
•• EEnn pprraattiiqquuee
Pour tester aisément cette représentation,
on peut demander au patient de com-
parer des paires de nombres présen-
tés visuellement et énoncés oralement
avec le patient.
Par exemple, montrer “52” et “49”, lire
les deux nombres avec le patient et lui
demander de pointer silencieusement
lequel des deux nombres est le plus grand.
Cette tâche, pour un sujet sain, est très
simple et est exécutée avec rapidité.
On notera, dans l’examen, le nombre
d’erreurs commises par le patient et éven-
tuellement sa perplexité et ses straté-
gies devant cette tâche (comptage…).
Le système des nombres arabes mani-
pule les chiffres arabes dans une grille
spatiale et est principalement utilisé dans
les calculs à plusieurs chiffres. On peut
aisément tester cette composante en
demandant au patient de résoudre
quelques problèmes présentés par écrit
ou en lui demandant de poser par écrit
quelques opérations qui lui sont pré-
sentées à l’oral.
Enfin, le système verbal des nombres
utilise les modules généraux du langage
et a accès aux tables d’additions et sur-
tout de multiplications stockées en
mémoire à long-terme pour résoudre
les calculs exacts. Ce dernier système
est également utilisé dans les tâches de
comptage. Pour tester ce système, on
demandera au patient de compter à
haute voix à l’endroit et à l’envers mais
aussi de réciter une table de multipli-
cation. Ce dernier point nous amène à
envisager d’un peu plus près le problème
des opérations numériques simples.
LE CAS PARTICULIER
DES OPÉRATIONS SIMPLES
Avant les années 90, le cas des opé-
rations simples dans la neuropsy-
chologie des nombres était relativement
controversé. Plusieurs études ont sug-
géré l’existence de déficits affectant
sélectivement l’une ou l’autre des opé-
rations de base, le patient résolvant avec
difficulté une des quatre opérations
(addition, soustraction, multiplica-
tion ou division) alors que les trois autres
opérations étaient plus largement pré-
servées (5). Une des hypothèses avan-
cées pour expliquer le phénomène
postulait que les opérations étaient stoc-
kées en mémoire à long-terme dans des
registres séparés selon l’opération.
Cette explication était peu écono-
mique et posait une difficulté au moins
Figure 2 - Le modèle du “triple code” de Dehaene et Cohen.
Comparaison
numérique Calcul
approximatif
Calculs
mentaux
complexes
Jugements
de parité Comptage Tables de multiplications
REPRÉSENTATION
ANALOGIQUE
REPRÉSENTATION
VISUELLE ARABE
REPRÉSENTATION
AUDITIVE VERBALE

grâce à la manipulation des quantités.
Il existe un troisième cas d’opérations
simples, celles qui répondent à une
règle arithmétique. Ainsi, quand nous
résolvons “3 + 0” ou “4 x 1”, nous fai-
sons appel à une règle qui nous donne
le résultat de l’opération assez immé-
diatement. Les règles arithmétiques
telles que “0 x n”, “n x 1” ou “n + 0” devront
également être évaluées.
LES PROPOSITIONS
ANATOMIQUES DU MODÈLE
DU TRIPLE CODE
Comme nous l’avons évoqué plus haut,
le modèle cognitif du triple code est
accompagné d’hypothèses neuro-
anatomiques, hypothèses corroborées
par de nombreuses évidences, tant
neuropsychologiques qu’en lien avec
l’imagerie fonctionnelle, dans le cou-
rant des dernières années (8, 9).
■ Traitement et représentation
de formes verbales
des nombres
Pour l’essentiel, on peut noter que le
traitement et la représentation de
formes verbales des nombres impliquent
les aires classiquement attribuées au
traitement du langage, à savoir les
aires périsylviennes de l’hémisphère
dominant (aires représentées en violet
sur la figure 3).
tiplications et dès lors prises en charge
par le code verbal. En revanche, les addi-
tions pour lesquelles on doit manipuler
des quantités pour pouvoir les résoudre
feraient appel au code analogique.
La division serait mixte elle aussi, s’ap-
puyant sur les tables de multiplication
pour récupérer la réponse mais sur
une manipulation de quantités pour éva-
luer une taille approximative de la
réponse.
Ainsi, lorsqu’on doit répondre au pro-
blème “18 : 3”, nous savons (grâce à
notre code analogique) que c’est au
milieu de la “table de 3” que nous devons
aller chercher le résultat “18”, le code
verbal nous aidera quant à lui à retrou-
ver l’opération correcte : “5 x 3 = 15” -
“6 x 3 = 18 !”.
■ En pratique
Dans l’examen des opérations men-
tales simples, on proposera au patient
quelques calculs pour chaque opération
différente, en gardant bien à l’esprit
que les soustractions et les multipli-
cations nous renseigneront le mieux sur
les codes préservés ou atteints.
■ Les règles arithmétiques
simples
Nous n’avons abordé dans ce paragraphe
que les opérations simples qui sont
récupérées en mémoire ou résolues
pour certaines opérations ; ainsi, au vu
d’une simple introspection, mais éga-
lement d’études scientifiques sur les
temps de réaction, il est difficile de sou-
tenir que la division est strictement sépa-
rée du fait multiplicatif correspon-
dant. Selon le modèle du triple code,
ces dissociations s’expliquent par le
type de représentation sous-jacente
(6, 7).
■ Les quatre opérations font
appel à des codes distincts
La multiplication, habileté hautement
verbale étant donné son mode d’ap-
prentissage, serait prise en charge par
le code verbal. Par contre, la sous-
traction pour laquelle nous n’apprenons
pas de “tables” par cœur serait prin-
cipalement prise en charge par le code
analogique, étant donné qu’elle néces-
site une manipulation des quantités.
Par conséquent, ces deux opérations,
gérées par des codes différents et,
comme nous allons le voir à la section
suivante, s’appuyant sur des substrats
neuronaux différents, peuvent être
sélectivement altérées.
L’addition serait en quelque sorte un
mixte entre les deux processus évoqués
ci-dessus: les toutes petites additions, celles
qui sont apprises par cœur à force de répé-
tition, seraient gérées comme les mul-
237 Neurologies - Mai 2003 - Vol. 6
PRATIQUE
Figure 3 - Implémentation anatomique du triple code (traitement visuel arabe en vert, traitement analogique en bleu et
traitement langagier en violet).

238
Neurologies - Mai 2003 - Vol. 6
PRATIQUE
Si les aires du langage de manière
générale ont d’abord été proposées, il
semblerait, au vu des dernières
recherches, que le gyrus angulaire
gauche semble l’élément crucial pour
la prise en charge du code verbal des
nombres. Seul l’hémisphère gauche
serait donc capable
de reconnaître, de
traiter et de pro-
duire des numéraux
verbaux. En outre,
les faits arithmé-
tiques seraient enco-
dés sous la forme
d’associations ver-
bales et leur récu-
pération implique-
raient donc un
circuit cortico-sous-
cortical couvrant
les aires du langage,
le thalamus et les
noyaux gris centraux.
■ Traitement des nombres
arabes
Il implique quant à lui les aires occi-
pito-temporales inféro-médianes dans
l’hémisphère gauche et dans l’hémi-
sphère droit (en vert sur la figure 3).
■ Représentation analogique
des quantités et manipulations
associées
Le traitement de la représentation ana-
logique des quantités et les manipulations
associées impliquent des aires parié-
tales gauches et droites. Plus précisé-
ment, le sillon intrapariétal est associé
dans ce modèle à la représentation
analogique (en bleu sur la figure 3).
■ Arithmétique et résolution
des problèmes
Enfin, l’arithmétique plus complexe
et la résolution des problèmes feraient
intervenir, selon les modalités de pré-
sentation, différents composants de la
mémoire de travail et des mécanismes
de planification de contrôle localisés dans
les aires préfrontales.
■ Interrelations entre ces
différentes fonctions
Les différentes représentations com-
muniquent entre elles grâce à des méca-
nismes de “traduction” appropriés. Dans
l’hémisphère gauche (HG), les trois
types de représentations communi-
quent, alors que, dans
l’hémisphère droit
(HD), seules les repré-
sentations arabes et
analogiques coexis-
tent et peuvent donc
être associées. Les
communications
entre les représen-
tations de même type
présentes dans les
deux hémisphères
(représentation
visuelle arabe dans
l’HG et l’HD et repré-
sentation analogique
dans l’HG et l’HD) se feraient via le
corps calleux.
■ Cooccurrence des troubles
Outre l’avantage de ce modèle à prévoir
des corrélations anatomo-cliniques, il
permet également de raisonner en
termes de cooccurrence de troubles.
Ainsi, dans le cas d’une aphasie, liée à
une lésion des aires du langage de l’HG,
on rencontrera très probablement des
troubles isolés de la multiplication, les
autres fonctions numériques étant peu,
voire pas du tout touchées (7).
LE SYNDROME
DE GERSTMANN
La cooccurrence de l’acalculie avec
d’autres troubles nous amène à envi-
sager brièvement le syndrome de Gerst-
mann. Ce syndrome, décrit dès 1924,
correspond à une tétrade de symp-
tômes incluant : une acalculie, une
agraphie, une agnosie digitale et une
indistinction gauche/droite.
Si ce syndrome a été fortement décrié,
principalement durant les années 60
et 70, il revient aujourd’hui au devant
de la scène. La critique est principale-
ment liée au caractère syndromique de
la tétrade. En effet, les quatre symptômes
apparaissent rarement conjointement
et, pris isolément, sont aussi souvent
associés à des symptômes hors de la
tétrade (comme l’apraxie constructive
par exemple) qu’avec les symptômes
constituant la tétrade. Les essais d’ex-
plication des quatre symptômes par
un facteur psychologique commun
(gestion de l’espace par exemple) ont
assez largement échoué.
Aujourd’hui, ce syndrome est pris en
compte car, malgré son inconsistance
et notre incapacité à trouver un facteur
commun à ces différentes tâches, il
révèle une capacité localisatrice impor-
tante. En effet, bien que des syndromes
de Gerstmann aient été décrits suite à
de nombreuses localisations différentes
dans l’hémisphère gauche (lésions
pariétales, occipitales, temporales,
frontales postérieures, thalamiques),
la localisation pariétale semble pré-
dominer tant en regard des données chez
l’adulte que pour les études de syn-
drome de Gerstmann développemen-
tal.
Dans l’option d’une description com-
plète d’un patient acalculique, il sera
intéressant au vu de ces données, d’in-
clure la recherche du syndrome de
Gerstmann dans l’examen du calcul.
L’ EXAMEN DU CALCUL :
RETOUR AUX TÂCHES
Si nous reprenons les différents points
d’investigation évoqués plus haut, nous
pouvons partager un examen du calcul
en 4 portions distinctes.
11--Tout d’abord, et assez logiquement,
la demande sera faite au patient de lire
et d’écrire sous dictée quelques chiffres
et nombres. La performance du patient
s’étudiera de manière quantitative
comme de manière qualitative en envi-
sageant les différentes erreurs éven-
tuellement produites.
Dans l’examen des
opérations mentales
simples,
les soustractions et
les multiplications
renseigneront sur
les codes préservés
ou atteints.