POLYNOMES (2)

POLYNOMES (2)
1.
Polynômes d’interpolation de Lagrange
Soient a, b, c trois nombres réels distincts.
a) Chercher un polynôme P1 de degré inférieur ou égal à 2, tel que
P1 (a) = 1, P1 (b) = 0, P1 (c) = 0 .
Est-il unique?
b) Chercher des polynômes P2 et P3 de degré inférieur ou égal à 2, tels que
P2 (a) = 0, P2 (b) = 1, P2 (c) = 0
et P3 (a) = 0, P3 (b) = 0, P3 (c) = 1 .
c) Soient α, β, γ, trois nombres réels quelconques. Chercher un polynôme Q de degré inférieur
ou égal à 2, tel que
Q(a) = α, Q(b) = β, Q(c) = γ .
[Indication : chercher Q comme combinaison des polynômes P1 ,P2 ,P3 ].
Le polynôme Q est-il unique?
d) Voici une tentative de généralisation de a).
Soient a, b, c, d quatre nombres réels distincts. Il existe un polynôme P de degré inférieur ou
égal à $ tel que
P1 (a) = 1, P1 (b) = 0, P1 (c) = 0, P1 (d) = 0 .
Remplacer le signe $ par un entier convenable, puis démontrer la proposition.
e) Proposer un énoncé du théorème analogue à c), ou trois est remplacé par quatre.
f) Généralisation pour n nombres distincts a1 ,a2 , . . . ,an .
2.
Calculer sur les racines d’un polynôme sans les connaı̂tre
Soient a, b, c, d quatre nombres complexes avec a 6= 0. On note z1 , z2 , z3 les trois racines (distinctes ou confondues) de l’équation az 3 + bz 2 + cz + d = 0.
a) En utilisant la factorisation du polynôme P (z) = az 3 + bz 2 + cz + d en facteurs du premier
degré, calculer en fonction de a, b, c, d les expressions
z1 + z 2 + z 3 , z 1 z 2 + z 2 z3 + z3 z 1 , z 1 z 2 z3 .
b) Exprimer en fonction de a, b, c, d les expressions
z12 + z22 + z32 , z13 + z23 + z33 .
c) A quelle(s) condition(s) portant sur a, b, c, d peut-on être sûr que 0 n’est pas racine de
l’équation? Dans ce cas calculer (toujours en fonction de a, b, c, d) l’expression
1
1
1
+
+
.
z1 z2 z3
1
3.
Racine commune à deux polynômes
a) On considère les deux polynômes suivants :
P (X) = 2X 4 + X 3 − X 2 + 2X − 1
et
Q(X) = 4X 3 + 4X 2 − X − 1 .
Montrer qu’ils ont une racine commune α que l’on déterminera.
[Indication : effectuer la division euclidienne de P par Q pour obtenir un polynôme de degré plus
petit que ceux de P et Q admettant encore pour racine α ; itérer cette procédure].
b) Même question pour les polynômes :
P (X) = X 4 − (1 + i)X 3 + X 2 + (1 + i)X − 2
4.
et
Q(X) = X 3 + (2 + 2i)X 2 + 2iX − 1 .
Les nombres algébriques
Un nombre complexe α est dit algébrique, s’il existe un polynôme P , à coefficients entiers tel
que P (α) = 0.
On note A l’ensemble des nombres algébriques.
a) Montrer que tout nombre rationnel est algébrique.
√
√
b) Montrer que les nombres de la forme a + b, et a + i b où a est entier, et b est entier positif,
sont algébriques.
c) Montrer que si α est un nombre algébrique non nul, 1/α est algébrique.
d) Montrer que si α est un nombre algébrique et n un entier, toute racine n−ième de α est
algébrique.
√
√
e) Soient a et b deux√entiers positifs. On veut montrer que α1 = a + b est algébrique. On
√
introduit α2 = a − b. Etudier le polynôme P (X) = (X − α1 )(X + α1 )(X − α2 )(X + α2 ) et
conclure.
(Remarque : on peut démontrer de manière générale que la somme de deux nombres algébriques
est algébrique).
f) Soit P un polynôme de degré 3 à coefficients entiers, et α1 , α2 , α3 les racines (distinctes ou
non) de P . En utilisant l’exercice 2, calculer les nombres α12 + α22 + α32 , α12 α22 + α22 α32 + α32 α12 et
α12 α22 α32 en fonction des coefficients de P . En déduire un polynôme dont les racines sont α12 , α22
et α32 . Qu’en déduit-t-on?
(Remarque : on peut démontrer de manière générale que le produit de deux nombres algébriques
est algébrique).
2
Corrigé
1. a) Le polynôme est de degré au plus 2, et admet pour racines b et c. Il se factorise donc
sous la forme
P1 (X) = λ(X − b)(X − c) .
On détermine la constante λ en écrivant que
P1 (a) = λ(a − b)(a − c) = 1 ,
ce qui donne
P1 (X) =
(X − b)(X − c)
,
(a − b)(a − c)
et l’on trouve un seul polynôme répondant à la question.
b) On obtient par la même méthode que dans a)
P2 (X) =
(X − a)(X − c)
(b − a)(b − c)
et
P3 (X) =
(X − a)(X − b)
.
(c − a)(c − b)
c) Cherchons le polynôme Q sous la forme
Q = λ1 P1 + λ2 P2 + λ3 P3 .
On a alors
α = Q(a) = λ1 P1 (a) + λ2 P2 (a) + λ3 P3 (a) = λ1 ,
β = Q(b) = λ1 P1 (b) + λ2 P2 (b) + λ3 P3 (b) = λ2 ,
et
γ = Q(c) = λ1 P1 (c) + λ2 P2 (c) + λ3 P3 (c) = λ3 .
On trouve donc comme solution le polynôme
Q = αP1 + βP2 + γP3 .
Si le problème a deux solutions Q1 et Q2 . La différence Q1 − Q2 est un polynôme de degré 2 au
plus admettant trois racines a, b, c. C’est donc le polynôme zéro, et l’on en déduit que Q1 = Q2 .
Il y a donc unicité.
Ce calcul montre en particulier que pour tout polynôme Q de degré 2 au plus, on a
Q = Q(a)P1 + Q(b)P2 + Q(c)P3 .
d) Pour utiliser le même argument que dans a), on cherche un polynôme de degré 3 au plus.
Alors il se factorise donc sous la forme
P1 (X) = λ(X − b)(X − c)(X − d) .
On détermine la constante λ en écrivant que
P1 (a) = λ(a − b)(a − c)(a − d) = 1 ,
ce qui donne
P1 (X) =
(X − b)(X − c)(X − d)
.
(a − b)(a − c)(a − d)
3
En construisant de même les polynômes
P2 (X) =
(X − a)(X − c)(X − d)
,
(b − a)(b − c)(b − d)
P3 (X) =
(X − a)(X − b)(X − d)
,
(c − a)(c − b)(c − d)
P4 (X) =
(X − a)(X − b)(X − c)
.
(d − a)(d − b)(d − c)
et
L’unique polynôme Q tel que Q(a) = α, Q(b) = β, Q(c) = γ,Q(d) = δ est le polynôme
Q = αP1 + βP2 + γP3 + δP3 .
e) Ceci se généralise pour n nombres a1 ,a2 , . . . ,an . On construit le polynôme de degré n
Pk (X) =
(X − a1 ) · · · (X − ak−1 )(X − ak+1 ) · · · (X − an )
,
(ak − a1 ) · · · (ak − ak−1 )(ak − ak+1 ) · · · (ak − an )
qui est tel que Pk (ak ) = 1 et Pk (ar ) = 0 si r 6= k.
L’unique polynôme Q tel que, si 1 ≤ k ≤ n, on ait Q(ak ) = αk , est le polynôme
Q=
n
X
αk Pk .
k=1
2. a) Le polynôme se factorise sous la forme
P (z) = a(z − z1 )(z − z2 )(z − z3 ) .
En développant, il vient
P (z) = a z 3 − (z1 + z2 + z3 )z 2 + (z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 )z − z1 z2 z3 ,
et en identifiant,
− a(z1 + z2 + z3 ) = b , a(z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ) = c et
d’où
z 1 + z2 + z3 = −
c
b
, z 1 z2 + z2 z 3 + z 3 z1 =
a
a
et
− az1 z2 z3 = d ,
z 1 z2 z3 = −
d
.
a
b) On a
(z1 + z2 + z3 )2 = (z12 + z22 + z32 ) + 2(z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ) .
Donc
z12
+
z22
+
z32
2
b
c
b2 − 2ac
= (z1 + z2 + z3 ) − 2(z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ) =
−2 =
.
a
a
a2
2
On a aussi
(z12 + z22 + z32 )(z1 + z2 + z3 ) = z13 + z23 + z33 + z12 z2 + z12 z3 + z22 z1 + z22 z3 + z32 z1 + z32 z2 .
4
Mais
z12 z2 + z22 z1 = z1 z2 (z1 + z2 ) = z1 z2 (z1 + z2 + z3 ) − z1 z2 z3 ,
z12 z3 + z32 z1 = z1 z3 (z1 + z3 ) = z1 z3 (z1 + z2 + z3 ) − z1 z2 z3 ,
et
z22 z3 + z32 z2 = z2 z3 (z2 + z3 ) = z2 z3 (z1 + z2 + z3 ) − z1 z2 z3 .
Donc on obtient
z12 z2 + z22 z1 + z12 z3 + z32 z1 + z22 z3 + z32 z2 = (z1 + z2 + z3 )(z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ) − 3z1 z2 z3 .
Alors
z13 + z23 + z33 = (z12 + z22 + z32 )(z1 + z2 + z3 ) − [(z1 + z2 + z3 )(z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ) − 3z1 z2 z3 ]
bc
d
b b2 − 2ac
= −
− −
+3
a
a2
aa
a
3
2
−b + 3abc − 3da
=
.
a3
Pour cette dernière formule on pouvait également procéder ainsi :
on remarque que P (z1 ) + P (z2 ) + P (z3 ) = 0, mais cette expression s’écrit
a(z13 + z23 + z33 ) + b(z12 + z22 + z32 ) + c(z1 + z2 + z3 ) + 3d = 0 .
On a alors
1
z13 + z23 + z33 = − [b(z12 + z22 + z32 ) + c(z1 + z2 + z3 ) + 3d)] ,
a
et en remplaçant les sommes z12 + z22 + z32 et z1 + z2 + z3 par leur valeur, on retrouve facilement
le résultat.
c) Le produit des racines vaut −d/a. Donc ce produit est nul si et seulement si d = 0.
Si d 6= 0, le polynôme n’admet pas la racine nulle. Alors, en réduisant au même dénominateur,
1
1
z1 z 2 + z 2 z3 + z3 z 1
c
1
+
+
=
=− .
z1 z2 z3
z1 z2 z2
d
3. Si l’on effectue une division euclidienne A = BQ + R, on constate que α est à la fois racine
de A et de B, si et seulement si α est à la fois racine de B et de R. On utilise cette propriété
dans les calculs suivants.
a) Effectuons la division euclidienne de P par Q.
2X 4
+X 3
−X 2
+2X
−1 4X 3 +4X 2 −X −1
4
3
2
−2X −2X +X /2 +X/2
X/2 −1/4
−X 3 −X 2 /2 +5X/2 −1
X3
+X 2
−X/4 −1/4
X 2 /2 +9X/4 −5/4
Donc
2X 4 + X 3 − X 2 + 2X − 1 = (X/2 − 1/4)(4X 3 + 4X 2 − X − 1) + X 2 /2 + 9X/4 − 5/4 .
5
Il en résulte que α est racine de P et de Q, si et seulement si elle est racine de Q et de
X 2 /2 + 9X/4 − 5/4, ou, en multipliant par 4, de Q et de R(X) = 2X 2 + 9X − 5.
Effectuons la division euclidienne de Q par R.
4X 3
+4X 2
−X
−1 2X 2 +9X −5
3
2
−4X −18X +10X
2X
−7
−14X 2 +9X −1
14X 2 +63X −35
72X −36
Donc
4X 3 + 4X 2 − X − 1 = (2X − 7)(2X 2 + 9X − 5) + 72X − 36 .
Le polynôme 72X − 36 a pour racine 1/2. et l’on vérifie que 1/2 est racine de 2X 2 + 9X − 5.
Alors, 1/2 est racine de 4X 3 + 4X 2 − X − 1 et de 2X 2 + 9X − 5, puis de A et de B.
b) On utilise la même technique que ci-dessus.
Effectuons la division euclidienne de P par Q.
X4
−(1 + i)X 3
+X 2
+(1 + i)X
−2
X 3 +(2 + 2i)X 2 +2iX −1
4
3
2
−X −(2 + 2i)X
−2iX
+X
X
−3 − 3i
−(3 + 3i)X 3 +(1 − 2i)X 2
+(2 + i)X
−2
(3 + 3i)X 3
+12iX 2
+(−6 + 6i)X −3 − 3i
(1 + 10i)X 2 +(−4 + 7i)X −5 − 3i
Il en résulte que α est racine de P et de Q, si et seulement si elle est racine de Q et de
R(X) = (1 + 10i)X 2 + (−4 + 7i)X − 5 − 3i.
Effectuons la division euclidienne de Q par R.
X3
−X 3
+(2 + 2i)X 2
−
−4 + 7i 2
X
1 + 10i
+
−14 + 15i 2
X
1 + 10i
14 − 15i 2
X
1 + 10i
−1
+2iX
+
−
5 + 3i
X
1 + 10i
(1 + 10i)X 2 +(−4 + 7i)X −5 − 3i
X
1 + 10i
−15 + 5i
X
1 + 10i
+
−14 + 15i
(1 + 10i)2
−1
(−4 + 7i)(−14 + 15i)
(5 + 3i)(−14 + 15i)
X +
2
(1 + 10i)
(1 + 10i)2
−16 + 13i
X
(1 + 10i)2
+
−16 + 13i
(1 + 10i)2
−16 + 13i
(X + 1), et a pour racine −1. On vérifie alors que −1 est racine
(1 + 10i)2
de (1 + 10i)X 2 + (−4 + 7i)X − 5 − 3i. Alors, −1 est racine de (1 + 10i)X 2 + (−4 + 7i)X − 5 − 3i
Le reste vaut donc
6
et de Q, puis de P et de Q.
4. a) Le nombre rationnel α =
p
(où p et q sont entiers et q 6= 0), est racine du polynôme
q
P (X) = qX − p.
b) Le nombre a +
√
b est racine de
√
√
P (X) = (X − a + b)(X − a − b) = (X − a)2 − b = X 2 − 2aX + a2 − b ,
√
et a + i b est racine de
√
√
P (X) = (X − a + i b)(X − a − i b) = (X − a)2 + b = X 2 − 2aX + a2 + b ,
qui sont des polynômes à coefficients entiers.
c) Soit α une racine non nulle du polynôme P (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n . Si a0 = · · · = aq = 0,
et aq+1 6= 0, le nombre α serait aussi racine de Q(X) = aq+1 + · · · + an X n−q . On peut donc se
ramener au cas où le terme constant n’est pas nul.
On suppose donc que α est racine de P (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n avec a0 et an non nuls.
Alors
R(X) = X n P (1/X) = a0 X n + a1 X n−1 + · · · + an ,
est encore un polynôme à coefficients entiers, et
1
1
R
= n P (α) = 0 .
α
α
Donc 1/α est racine du polynôme R dont les coefficients sont entiers. C’est bien un nombre
algébrique.
d) On suppose que α est racine du polynôme P (X) à coefficients entiers. Alors si ω est une
racine n−ième de α
P (ω n ) = P (α) = 0 .
Il en résulte que ω est racine du polynôme P (X n ) qui est aussi à coefficients entiers. C’est bien
un nombre algébrique.
e) Si l’on développe, on obtient
P (X) = (X 2 − α12 )(X 2 − α22 ) = X 4 − (α12 + α22 )X 2 + α12 α22 .
Mais
√ √
√ √
α12 + α22 = (a + 2 a b + b) + (a − 2 a b + b) = 2a + 2b ,
et
α12 α22 = (α1 α2 )2 = (a − b)2 .
Donc
P (X) = X 4 − 2(a + b)X 2 + (a − b)2 ,
et c’est un polynôme à coefficients entiers. Alors α1 est racine de P . C’est donc un nombre
algébrique.
7
f) Si P (X) = aX 3 + bX 2 + cX + d, on a obtenu dans l’exercice 2)
α12 + α22 + α32 =
b2 − 2ac
.
a2
On obtient immédiatement
α12 α22 α32 = (α1 α2 α3 )2 =
d2
.
a2
Enfin
α12 α22 + α22 α32 + α32 α12 = (α1 α2 + α2 α3 + α3 α1 )2 − 2(α12 α2 α3 + α1 α22 α3 + α1 α2 α32 )
= (α1 α2 + α2 α3 + α3 α1 )2 − 2α1 α2 α3 (α1 + α2 + α3 )
c 2
bd
=
−2
a
aa
c2 − 2bd
=
.
a2
Alors
(X − α12 )(X − α22 )(X − α32 ) = X 3 −
b2 − 2ac 2 c2 − 2bd
d2
X
+
X
−
.
a2
a2
a2
Donc en multipliant par a2 , les nombres αk2 sont racines du polynôme à coefficients entiers :
Q(X) = a2 X 3 − (b2 − 2ac)X 2 + (c2 − 2bd)X − d2 .
Il en résulte que ces nombres sont algébriques.
8