POLYNOMES (2)

POLYNOMES (2)
1. Polynˆomes d’interpolation de Lagrange
Soient a,b,ctrois nombres r´eels distincts.
a) Chercher un polynˆome P1de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2, tel que
P1(a) = 1, P1(b) = 0, P1(c) = 0 .
Est-il unique?
b) Chercher des polynˆomes P2et P3de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2, tels que
P2(a) = 0, P2(b) = 1, P2(c) = 0 et P3(a) = 0, P3(b) = 0, P3(c) = 1 .
c) Soient α,β,γ, trois nombres r´eels quelconques. Chercher un polynˆome Qde degr´e inf´erieur
ou ´egal `a 2, tel que
Q(a) = α, Q(b) = β, Q(c) = γ .
[Indication : chercher Qcomme combinaison des polynˆomes P1,P2,P3].
Le polynˆome Qest-il unique?
d) Voici une tentative de g´en´eralisation de a).
Soient a,b,c,dquatre nombres r´eels distincts. Il existe un polynˆome Pde degr´e inf´erieur ou
´egal `a $ tel que
P1(a) = 1, P1(b) = 0, P1(c) = 0, P1(d) = 0 .
Remplacer le signe $ par un entier convenable, puis d´emontrer la proposition.
e) Proposer un ´enonc´e du th´eor`eme analogue `a c), ou trois est remplac´e par quatre.
f) G´en´eralisation pour nnombres distincts a1,a2, . . . ,an.
2. Calculer sur les racines d’un polynˆome sans les connaˆıtre
Soient a,b,c,dquatre nombres complexes avec a6= 0. On note z1,z2,z3les trois racines (dis-
tinctes ou confondues) de l’´equation az3+bz2+cz +d= 0.
a) En utilisant la factorisation du polynˆome P(z) = az3+bz2+cz +den facteurs du premier
degr´e, calculer en fonction de a,b,c,dles expressions
z1+z2+z3, z1z2+z2z3+z3z1, z1z2z3.
b) Exprimer en fonction de a,b,c,dles expressions
z2
1+z2 2+z2 3, z3 1+z3 2+z3 3.
c) A quelle(s) condition(s) portant sur a,b,c,dpeut-on ˆetre sˆur que 0 n’est pas racine de
l’´equation? Dans ce cas calculer (toujours en fonction de a,b,c,d) l’expression
1
z1
+1
z2
+1
z3
.
1

3. Racine commune `a deux polynˆomes
a) On consid`ere les deux polynˆomes suivants :
P(X) = 2X4+X3−X2+ 2X−1 et Q(X) = 4X3+ 4X2−X−1.
Montrer qu’ils ont une racine commune αque l’on d´eterminera.
[Indication : effectuer la division euclidienne de Ppar Qpour obtenir un polynˆome de degr´e plus
petit que ceux de Pet Qadmettant encore pour racine α; it´erer cette proc´edure].
b) Mˆeme question pour les polynˆomes :
P(X) = X4−(1 + i)X3+X2+ (1 + i)X−2 et Q(X) = X3+(2+2i)X2+ 2iX −1.
4. Les nombres alg´ebriques
Un nombre complexe αest dit alg´ebrique, s’il existe un polynˆome P,`a coefficients entiers tel
que P(α) = 0.
On note Al’ensemble des nombres alg´ebriques.
a) Montrer que tout nombre rationnel est alg´ebrique.
b) Montrer que les nombres de la forme a+√b, et a+i√bo`u aest entier, et best entier positif,
sont alg´ebriques.
c) Montrer que si αest un nombre alg´ebrique non nul, 1/α est alg´ebrique.
d) Montrer que si αest un nombre alg´ebrique et nun entier, toute racine n−i`eme de αest
alg´ebrique.
e) Soient aet bdeux entiers positifs. On veut montrer que α1=√a+√best alg´ebrique. On
introduit α2=√a−√b. Etudier le polynˆome P(X) = (X−α1)(X+α1)(X−α2)(X+α2) et
conclure.
(Remarque : on peut d´emontrer de mani`ere g´en´erale que la somme de deux nombres alg´ebriques
est alg´ebrique).
f) Soit Pun polynˆome de degr´e 3 `a coefficients entiers, et α1,α2,α3les racines (distinctes ou
non) de P. En utilisant l’exercice 2, calculer les nombres α2
1+α2 2+α2 3,α2 1α2 2+α2 2α2 3+α2 3α2 1et
α2
1α2 2α2 3en fonction des coefficients de P. En d´eduire un polynˆome dont les racines sont α2 1,α2 2
et α2
3. Qu’en d´eduit-t-on?
(Remarque : on peut d´emontrer de mani`ere g´en´erale que le produit de deux nombres alg´ebriques
est alg´ebrique).
2

Corrig´e
1. a) Le polynˆome est de degr´e au plus 2, et admet pour racines bet c. Il se factorise donc
sous la forme
P1(X) = λ(X−b)(X−c).
On d´etermine la constante λen ´ecrivant que
P1(a) = λ(a−b)(a−c) = 1 ,
ce qui donne
P1(X) = (X−b)(X−c)
(a−b)(a−c),
et l’on trouve un seul polynˆome r´epondant `a la question.
b) On obtient par la mˆeme m´ethode que dans a)
P2(X) = (X−a)(X−c)
(b−a)(b−c)et P3(X) = (X−a)(X−b) (c−a)(c−b).
c) Cherchons le polynˆome Qsous la forme
Q=λ1P1+λ2P2+λ3P3.
On a alors
α=Q(a) = λ1P1(a) + λ2P2(a) + λ3P3(a) = λ1,
β=Q(b) = λ1P1(b) + λ2P2(b) + λ3P3(b) = λ2,
et
γ=Q(c) = λ1P1(c) + λ2P2(c) + λ3P3(c) = λ3.
On trouve donc comme solution le polynˆome
Q=αP1+βP2+γP3.
Si le probl`eme a deux solutions Q1et Q2. La diff´erence Q1−Q2est un polynˆome de degr´e 2 au
plus admettant trois racines a,b,c. C’est donc le polynˆome z´ero, et l’on en d´eduit que Q1=Q2.
Il y a donc unicit´e.
Ce calcul montre en particulier que pour tout polynˆome Qde degr´e 2 au plus, on a
Q=Q(a)P1+Q(b)P2+Q(c)P3.
d) Pour utiliser le mˆeme argument que dans a), on cherche un polynˆome de degr´e 3 au plus.
Alors il se factorise donc sous la forme
P1(X) = λ(X−b)(X−c)(X−d).
On d´etermine la constante λen ´ecrivant que
P1(a) = λ(a−b)(a−c)(a−d) = 1 ,
ce qui donne
P1(X) = (X−b)(X−c)(X−d)
(a−b)(a−c)(a−d).
3

En construisant de mˆeme les polynˆomes
P2(X) = (X−a)(X−c)(X−d)
(b−a)(b−c)(b−d),
P3(X) = (X−a)(X−b)(X−d)
(c−a)(c−b)(c−d),
et
P4(X) = (X−a)(X−b)(X−c)
(d−a)(d−b)(d−c).
L’unique polynˆome Qtel que Q(a) = α,Q(b) = β,Q(c) = γ,Q(d) = δest le polynˆome
Q=αP1+βP2+γP3+δP3.
e) Ceci se g´en´eralise pour nnombres a1,a2, . . . ,an. On construit le polynˆome de degr´e n
Pk(X) = (X−a1)···(X−ak−1)(X−ak+1)···(X−an)
(ak−a1)···(ak−ak−1)(ak−ak+1)···(ak−an),
qui est tel que Pk(ak) = 1 et Pk(ar) = 0 si r6=k.
L’unique polynˆome Qtel que, si 1 ≤k≤n, on ait Q(ak) = αk, est le polynˆome
Q=
n
X
k=1
αkPk.
2. a) Le polynˆome se factorise sous la forme
P(z) = a(z−z1)(z−z2)(z−z3).
En d´eveloppant, il vient
P(z) = az3−(z1+z2+z3)z2+ (z1z2+z2z3+z3z1)z−z1z2z3,
et en identifiant,
−a(z1+z2+z3) = b , a(z1z2+z2z3+z3z1) = cet −az1z2z3=d ,
d’o`u
z1+z2+z3=−b
a, z1z2+z2z3+z3z1=c aet z1z2z3=−d a.
b) On a
(z1+z2+z3)2= (z2
1+z2 2+z2 3) + 2(z1z2+z2z3+z3z1).
Donc
z2
1+z2 2+z2 3= (z1+z2+z3)2−2(z1z2+z2z3+z3z1) = b
a2
−2c
a=b2−2ac a2.
On a aussi
(z2
1+z2 2+z2 3)(z1+z2+z3) = z3 1+z3 2+z3 3+z2 1z2+z2 1z3+z2 2z1+z2 2z3+z2 3z1+z2 3z2.
4

Mais
z2
1z2+z2 2z1=z1z2(z1+z2) = z1z2(z1+z2+z3)−z1z2z3,
z2
1z3+z2 3z1=z1z3(z1+z3) = z1z3(z1+z2+z3)−z1z2z3,
et
z2
2z3+z2 3z2=z2z3(z2+z3) = z2z3(z1+z2+z3)−z1z2z3.
Donc on obtient
z2
1z2+z2 2z1+z2 1z3+z2 3z1+z2 2z3+z2 3z2= (z1+z2+z3)(z1z2+z2z3+z3z1)−3z1z2z3.
Alors
z3
1+z3 2+z3 3= (z2 1+z2 2+z2 3)(z1+z2+z3)−[(z1+z2+z3)(z1z2+z2z3+z3z1)−3z1z2z3]
=−b
a
b2−2ac
a2−−b a
c
a+ 3d a
=−b3+ 3abc −3da2
a3.
Pour cette derni`ere formule on pouvait ´egalement proc´eder ainsi :
on remarque que P(z1) + P(z2) + P(z3) = 0, mais cette expression s’´ecrit
a(z3
1+z3 2+z3 3) + b(z2 1+z2 2+z2 3) + c(z1+z2+z3)+3d= 0 .
On a alors
z3
1+z3 2+z3 3=−1
a[b(z2
1+z2 2+z2 3) + c(z1+z2+z3)+3d)] ,
et en rempla¸cant les sommes z2
1+z2 2+z2 3et z1+z2+z3par leur valeur, on retrouve facilement
le r´esultat.
c) Le produit des racines vaut −d/a. Donc ce produit est nul si et seulement si d= 0.
Si d6= 0, le polynˆome n’admet pas la racine nulle. Alors, en r´eduisant au mˆeme d´enominateur,
1
z1
+1
z2
+1
z3
=z1z2+z2z3+z3z1
z1z2z2
=−c
d.
3. Si l’on effectue une division euclidienne A=BQ +R, on constate que αest `a la fois racine
de Aet de B, si et seulement si αest `a la fois racine de Bet de R. On utilise cette propri´et´e
dans les calculs suivants.
a) Effectuons la division euclidienne de Ppar Q.
2X4+X3−X2+2X−1 4X3+4X2−X−1
−2X4−2X3+X2/2 +X/2X/2−1/4
−X3−X2/2 +5X/2−1
X3+X2−X/4−1/4
X2/2 +9X/4−5/4
Donc
2X4+X3−X2+ 2X−1 = (X/2−1/4)(4X3+ 4X2−X−1) + X2/2+9X/4−5/4.
5