POLYNOMES (2)
1. Polynˆomes d’interpolation de Lagrange
Soient a,b,ctrois nombres r´eels distincts.
a) Chercher un polynˆome P1de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2, tel que
P1(a) = 1, P1(b) = 0, P1(c) = 0 .
Est-il unique?
b) Chercher des polynˆomes P2et P3de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2, tels que
P2(a) = 0, P2(b) = 1, P2(c) = 0 et P3(a) = 0, P3(b) = 0, P3(c) = 1 .
c) Soient α,β,γ, trois nombres r´eels quelconques. Chercher un polynˆome Qde degr´e inf´erieur
ou ´egal `a 2, tel que
Q(a) = α, Q(b) = β, Q(c) = γ .
[Indication : chercher Qcomme combinaison des polynˆomes P1,P2,P3].
Le polynˆome Qest-il unique?
d) Voici une tentative de g´en´eralisation de a).
Soient a,b,c,dquatre nombres r´eels distincts. Il existe un polynˆome Pde degr´e inf´erieur ou
´egal `a $ tel que
P1(a) = 1, P1(b) = 0, P1(c) = 0, P1(d) = 0 .
Remplacer le signe $ par un entier convenable, puis d´emontrer la proposition.
e) Proposer un ´enonc´e du th´eor`eme analogue `a c), ou trois est remplac´e par quatre.
f) G´en´eralisation pour nnombres distincts a1,a2, . . . ,an.
2. Calculer sur les racines d’un polynˆome sans les connaˆıtre
Soient a,b,c,dquatre nombres complexes avec a6= 0. On note z1,z2,z3les trois racines (dis-
tinctes ou confondues) de l’´equation az3+bz2+cz +d= 0.
a) En utilisant la factorisation du polynˆome P(z) = az3+bz2+cz +den facteurs du premier
degr´e, calculer en fonction de a,b,c,dles expressions
z1+z2+z3, z1z2+z2z3+z3z1, z1z2z3.
b) Exprimer en fonction de a,b,c,dles expressions
z2
1+z2
2+z2
3, z3
1+z3
2+z3
3.
c) A quelle(s) condition(s) portant sur a,b,c,dpeut-on ˆetre sˆur que 0 n’est pas racine de
l’´equation? Dans ce cas calculer (toujours en fonction de a,b,c,d) l’expression
1
z1
+1
z2
+1
z3
.
1